2020 年陕西高考文科数学试题及答案
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,在选涂其它答案标号框。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=
A.
C.{–2,0,2}
2.(1–i)4=
A.–4
C.–4i
B.{–3,–2,2,3)
D.{–2,2}
B.4
D.4i
3.如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i
S
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5–a3=12,a6–a4=24,则 n
a =
n
A.2n–1
B.2–21–n
C.2–2n–1
D.21–n–1
7.执行右面的程序框图,若输入的 k=0,a=0,则输出的 k为
A.2
B.3
C.4
D.5
8.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为
A. 5
5
B. 2 5
5
C. 3 5
5
D. 4 5
5
9.设 O为坐标原点,直线 x=a与双曲线 C:
ODE的面积为 8,则 C的焦距的最小值为
2
2
y
2x
a
b
2
=l(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于 D,E两点.若△
A.4
B.8
C.16
D.32
10.设函数 f(x)=x3-
1
3
x
,则 f(x)
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
11.已知△ABC是面积为 9 3
4
到平面 ABC的距离为
的等边三角形,且其顶点都在球 O的球面上.若球 O的表面积为 16π,则 O
A. 3
B. 3
2
C.1
D. 3
2
12.若 2x-2y<3−x-3−y,则
A.ln(y-x+1)>0
B.ln(y-x+1)<0
C.ln∣x-y∣>0
D.ln∣x-y∣<0
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若
sin
x ,则 cos2x __________.
2
3
14.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=–2,a2+a6=2,则S10=__________.
1
x
y
,
1
y
x
,则
2
1,
x
y
z
15.若x,y满足约束条件
16.设有下列四个命题:
的最大值是__________.
2
y
x
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
1
p
1
p
4
p
② 1
p
2
p
③ 2
p
3
p
④ 3
p
4
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2
cos (
2
)
A
cos
A
.
5
4
(1)求A;
(2)若
b c
3
3
a
18. (12 分)
,证明:△ABC是直角三角形.
某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物
的数量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,
调查得到样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,20),其中 xi 和 yi分别表示第 i个样区的植物覆盖面积(单位:
公 顷 ) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 , 并 计 算 得
20
ix
i
1
60
,
20
iy
i
1
1200
,
20
(
i
1
x
i
2
x
)
80
,
20
(
i
1
iy
2
y
)
9000
,
20
(
i
1
ix
)
x
(
y
i
y
) 800
.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的
平均数乘以地块数);
(2)求样本(xi,yi) (i=1,2,…,20)的相关系数(精确到 0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数 r=
n
(
1
i
x
i
)
x
y
(
i
y
)
n
(
1
i
x
i
2
x
)
n
(
1
i
y
i
2
y
)
, 2 =1.414.
19.(12 分)
已知椭圆 C1:
2
2
x
a
2
2
y
b
(a>b>0)的右焦点 F与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C2 的顶点重合.过 F
1
且与 x轴重直的直线交 C1 于 A,B两点,交 C2 于 C,D两点,且|CD|= 4
3
|AB|.
(1)求 C1 的离心率;
(2)若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12,求 C1 与 C2 的标准方程.
20.(12 分)
如图,已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形,侧面 BB1C1C是矩形,M,N分别为 BC,B1C1 的中点,P
为 AM上一点.过 B1C1 和 P的平面交 AB于 E,交 AC于 F.
(1)证明:AA1//MN,且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F;
(2)设 O为△A1B1C1 的中心,若 AO=AB=6,AO//平面 EB1C1F,且∠MPN= π
3
,求四棱锥 B–EB1C1F的体积.
21.(12 分)
已知函数 f(x)=2lnx+1.
(1)若 f(x)≤2x+c,求 c的取值范围;
x a
(2)设 a>0 时,讨论函数 g(x)=
( )
f x
( )
f a
的单调性.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应
的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
已知曲线 C1,C2 的参数方程分别为
C1:
x
y
2
4 cos
2
4sin
,
(θ为参数),C2:
x
t
y
t
1,
t
1
t
(t为参数).
(1)将 C1,C2 的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1,C2 的交点为 P,求圆心在极轴上,且
经过极点和 P的圆的极坐标方程.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4 的解集;
(2)若 f(x)≥4,求 a的取值范围.
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.B
10.A
11.C
12.A
参考答案
13. 1
9
14.25
15.8
16.①③④
17.解:(1)由已知得 2
sin
A
cos
A
,即 2
cos
5
4
A
cos
A
.
0
1
4
3
所以
(cos
A
21
)
2
,
0
cos
A .由于 0 A
1
2
,故
A
.
(2)由正弦定理及已知条件可得
sin
B
sin
C
3
3
sin
A
.
由(1)知
B C
,所以
2
3
sin
B
sin(
2
3
B
)
3
3
sin
3
.
即 1
2
sin
B
cos
B
,
1
2
sin(
B
3
)
.
1
2
3
2
3
由于 0
B
,故
B
.从而 ABC△
2
是直角三角形.
18.解:(1)由己知得样本平均数
y
20
1
20 i
1
y
i
60
,从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200= 12
000.
(2)样本 (
,
x y
i
i
)
(
i
1,2,
,20)
的相关系数
r
20
(
1
i
x
i
)
y
x
(
i
y
)
20
(
1
i
x
i
2
x
)
20
y
(
1
i
i
2
y
)
80
80 9000
2 2
3
0.94
.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对 200 个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物
覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了
样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
的估计.
19.解:(1)由已知可设 2C 的方程为 2
y
4
cx
,其中
c
2
a
2
b
.
不妨设 ,A C 在第一象限,由题设得 ,A B 的纵坐标分别为
2b
a
,
; ,C D 的纵坐标分别为 2c , 2c ,
2b
a
故
|
AB
|
22
b
a
,|
CD
| 4
c
.
由
|
CD
|
4
3
|
AB
|
得
4
c
28
b
3
a
,即
3
所以 1C 的离心率为
1
2
.
2 2(
c
a
c
a
2
)
,解得
c
a
(舍去),
2
c
a
.
1
2
(2)由(1)知 2a
c ,
b
3
c
,故
C
1
:
2
x
4
c
2
2
y
3
c
2
,所以 1C 的四个顶点坐标分别为 (2 ,0)c ,
1
( 2 ,0)c
, (0, 3 )c , (0,
3 )c
, 2C 的准线为 x
c .
由已知得3
,即 2c .
c c c c
12
所以 1C 的标准方程为
2
x
16
2
y
12
, 2C 的标准方程为 2
y
1
8
x
.
20.解:(1)因为 M,N分别为 BC,B1C1 的中点,所以 MN∥CC1.又由已知得 AA1∥CC1,故 AA1∥MN.
因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)AO∥平面EB1C1F,AO 平面A1AMN,平面A1AMN 平面EB1C1F = PN,
故AO∥PN,又AP∥ON,故四边形APNO是平行四边形,
所以PN=AO=6,AP = ON=
1
3
AM= 3 ,PM=
2
3
AM=2 3 ,EF=
1
3
BC=2.
因为BC∥平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.
作MT⊥PN,垂足为T,则由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,故MT =PM sin∠MPN=3.
底面EB1C1F的面积为
1
2
(
所以四棱锥B-EB1C1F的体积为
(6 2) 6 24.
B C EF
11
)
PN
1
2
1 24 3 24
3
.
21.解:设 h(x)=f(x)−2x−c,则 h(x)=2lnx−2x+1−c,
其定义域为(0,+∞),
( )
h x
2
x
.
2
(1)当 00;当 x>1 时,h'(x)<0.所以 h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)
单调递减.从而当 x=1 时,h(x)取得最大值,最大值为 h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0,即 c≥−1 时,f(x)≤2x+c.
所以 c的取值范围为[−1,+∞).
(2)
( )
g x
( )
f a
( )
f x
x a
2(ln
( )
g x
2(
x a
x
(
ln
x a
a
2
)
ln )
x
,x∈(0,a)∪(a,+∞).
ln )
a
x
x a
a
x
x a
(
2(1
a
ln )
x
2
)
取 c=−1 得 h(x)=2lnx−2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当 x≠1 时,h(x)<0,即
1−x+lnx<0.故当 x∈(0,a)∪(a,+∞)时,1
a
x
ln
a
x
g x
,从而 ( )
0
.
0
所以 ( )g x 在区间(0,a),(a,+∞)单调递减.
22.解:(1) 1C 的普通方程为
x
y
4(0
.
4)
x
由 2C 的参数方程得 2
x
2
t
1
2
t
, 2
y
2
2
t
1
2
t
,所以 2
x
2
2
y
.
4
故 2C 的普通方程为 2
x
2
y
.
4
x
(2)由 2
x
y
2
y
4,
4
得
x
y
5 ,
2
3 ,
2
所以 P 的直角坐标为
(
5 3
,
2 2
)
.
设所求圆的圆心的直角坐标为 0(
x ,由题意得 2
x
0
,0)
(
x
0
5
2
2
)
,
9
4
解得 0
x .
17
10
因此,所求圆的极坐标方程为
17 cos
5
.
23.解:(1)当 2
a 时,
( )
f x
7 2 ,
x x
1,3
x
7,
2
x
x
3,
4,
4,
因此,不等式 ( )
f x 的解集为
4
{ |
x x
3
2
或
x
11
}
2
.
(2)因为
( )
f x
|
x a
2
|
|
x
2
a
1|
|
2
a
2
a
1|
(
a
2
1)
,故当
(
a
1)
2
,即|
4
以当 a≥3 或 a≤-1 时, ( )
f x .
4
所以 a的取值范围是 (
, 1]
[3,
)
.
a 时, ( )
1| 2
f x .所
4