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2013年山东高考理科数学试题及答案.doc
2013 年山东高考理科数学试题及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
（1）复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为(
D
)
A. 2+i
B.2-i
C. 5+i
D.5-i
（2）设集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y
|x∈A, y∈A }中元素的个数是(
C )
A. 1
B. 3
C. 5
D.9
（3）已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+
,则 f(-1)= (
A
)
（A）-2
（B）0
（C）1
1
x
（D）2
（4）已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为
9
4
,底面积是边长为 3 的正
三
角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 (
B
)
（A）
5
12
（B）
3
（C）
4
（D）
6
（5）将函数 y=sin（2x +）的图像沿 x 轴向左平移
8
个单位后，得到一个偶函数的图像，
则的一个可能取值为
（A）
3
4
（B）
B
4
（C）0
（D）
4
（6）在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组：
则直线 OM 斜率的最小值为
C
2x y 2 0
x 2y 1 0
3x y 8 0
，所表示的区域上一动点，
（A）2
（B）1
（C）
1
3
（D）
1
2
（7）给定两个命题 p、q，若﹁p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是﹁q 的
B
（A）充分而不必条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为
D
（A）
（B）
(C)
(D)
（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程
为
A
（A）2x+y-3=0
（B）2x-y-3=0
（C）4x-y-3=0
（D）4x+y-3=0
（10）用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
B
（A）243
（B）252
（C）261
（D）279
（11）抛物线 C1：y=
1
2 p
x2(p＞0)的焦点与双曲线 C2：
2
x
3
2
y
的右焦点的连线交
1
C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p=
D
（12）设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当
xy
z
取得最大值时，
2
x
为
B
（A）0
（B）1
（C）
的最大值
1
y
2
z
9
4
（D）3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分
（13）执行右面的程序框图，若输入的的值为 0.25，则输入的 n 的值为 3
(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x，使得 |x+1
|-
|x-2
|≥1 成立的概率为 1
3
（15）已知向量 AB
AP
AB AC
,
与 AC
的夹角为120 ，且|
且 AP BC
,则实数的值为
AB
AC
| 2,
若
| 3,|
7
12
（16）定义“正对数”：
ln
x
0,
ln ,
x
0
1
1
x
x
，现有四个命题：
①若 0,
b
a
，则 ln (
0
ba
)
b
ln
a
②若 0,
b
a
，则 ln (
0
③若 0,
b
a
，则 ln (
0
④若 0,
b
a
，则 ln (
0
ab
a
b
a b
)
)
ln
a
ln
b
ln
a
ln
b
)
ln
a
ln
b
ln 2
其中的真命题有： ①③④
（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
（17）设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a+c=6，b=2，cosB=
7
9
.
（Ⅰ）求 a，c 的值；
（Ⅱ）求 sin（A-B）的值.
7
9
解 答 ：（ 1 ） 由 cosB=
与 余 弦 定 理 得 ，
2
a
2
c
4
ac
，又 a+c=6，解得
a
c
3
14
9
（2）又 a=3,b=2，
sin
B
4 2
9
与正弦定理可得，
sin
A
2 2
3
,
cos
A ，
1
3
所以 sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=
10 2
27
（18）（本小题满分 12 分）
如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP
的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。
（Ⅰ）求证：AB//GH；
（Ⅱ）求二面角 D-GH-E 的余弦值 .
解答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD//AB
同理：EF//AB，所以 EF//CD，EF 平面 EFQ，
所以 CD//平面 EFQ，又 CD 平面 PCD,所以
CD//GH，又 AB//CD，所以 AB//GH.
(2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、BP 为 x、
n
y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法向量为 1
(0,2,1)
，平面
n
EFG 的一个法向量为 2
(0,1,2)
，可得
cos
4
5 5
,所以二面角 D-GH-E 的余弦值为
4
5
4
5
（19）本小题满分 12 分
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队
获胜的概率是
1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是
2
3
.假设每局比赛结果互相独立.
（1）分别求甲队以 3：0，3：1，3：2 胜利的概率
（2）若比赛结果为 3：0 或 3：1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为
3：2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分，求乙队得分 x 的分布列及数学期望.
1
2
1 2
，
3 3
1
2
) ( )
3
p C
3
2
4
，
3
p C
1
3
(
8
27
2
C
3
(
8
27
(
2
3
2
3
3
)
2
3
2
)
2
4
27
解答：（1）
p
2
（2）由题意可知 X 的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为：
1 4
4 16
9 27 27 27
,
,
,
，所以 EX=
7
9
（20）（本小题满分 12 分）
设等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 设数列｛bn｝的前 n 项和 Tn，且 Tn+
1
a
n
n
2
｛cn｝的前 n 项和 Rn.
= λ（λ为常数），令 cn=b2n，（n∈N•）.求数列
解答：（1）由 S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得， 1 1,
d
a
2
（2）由 Tn+
= λ可得， 1
b ，Tn-1+
1
所以
na
2
n
1
1
a
n
n
2
所以当
0 时，cn=b2n=
当
0 时，cn=b2n=
1
n
1
4n
1
1
n
1
4n
2
n
2n
b
n 时，
n
= λ两式相减可得，当 2
4
9
3
1
n
1
9 4n
2
n
1
n
2
，
，错位相减法可得，Rn=
n
1
n
2
，可得 Rn=
5
9
3
1
n
1
9 4n
（21）（本小题满分 13 分）
设函数
( )
f x
x
2
x
e
(
c e
2.71828
是自然对数的底数，
)
c R .
（1）求 ( )
f x 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于 x 的方程| ln |
x
( )
f x
根的个数.
解答：（1） '
( )
f x
x
1 2
2
x
e
，令 '( ) 0
f x 得，
x ，
1
2
当
x
'
f x
( ) 0,
函数单调递增；
(
,
1(
2
( )
x
x
f
max
),
1
2
，
),
1
2
e
'
f x
( ) 0,
函数单调递减；所以当
x 时，函数取得最的最大值
1
2
c
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