数学建模雨中行走问题.doc-资料库

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2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：山东理工大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 魏业陈军郭凤娇指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：丁树江日期： 2010 年 8 月 28 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

关键词雨中行走问题摘要一问题重述人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少？ a 将人体简化成一个长方体，高 v ,跑步最大速度跑步距离 1000m 速度为 v .按以下步骤进行讨论。 D  5.1 5 m sm (颈部以下)，宽 0.5m ,雨速 ,降雨量 b  sm w 2 u 4 ,厚 0.2m c  h cm .设 ,记跑步（1）如何度量一个人的形体？（2）如何度量雨下的大小？二、问题分析三、问题假设 1、降雨的速度和降水的强度保持不变； 2、人在雨中行走的速度是定量； 3、风速保持恒定； 4、人体视为一个长方体 5、假设产生的影响各个因素相互独立；四、符号说明 D :人在雨中行走的距离（米） t ：人在雨中行走的时间（秒） v ：人在雨中行走的速度（米/秒） cba , , ：人的高度，宽度和厚度（米） w ：降雨量（降雨强度，单位时间平面上的降下雨水的厚度，厘米/小时） C :淋雨的总量（升） u ：雨滴落下的速度 p p ：雨滴的密度（ ：降雨的角度（雨滴落下的方向与行走的方向之间的夹角）利用新的记号，时意味着大雨倾盆）。  p ,1 1  w  pu （注：以上是本文中的全局变量符号说明，在建模过程中引入的局部变量在论文中局部说明）模型建立：五、模型的建立与求解问题一：不考虑降雨的角度影响：模型一：当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位时全身所有部位，因此淋雨的面积为 bc  ，淋雨量为： twS  。淋雨时间为：  (2  DSw   bcD ab  / vDt   wac )  ) ac (2 ab  v v S C - 1 -

问题二：考虑降雨的角度影响（迎面）：模型二：头顶部淋雨量为：   2 0 ，淋雨的部位为顶部和前方。 C  1 ( bcvD )/ ( pu sin )  C 2  ( abvD )/ ( ( up sin   v )) ，总的淋雨量为： CCC   1 2 ，前方的淋雨量为： )  cu ( ua sin sin      v ， Dbp v 从表达式可以看出，雨中行走的速度越快，淋雨量越小。问题三：考虑降雨的角度影响（背面）：模型三： v  （1）: sin ( u pabD  2/  sinu /) v   3 C 于 v 的限制，最大的行走速度为，雨滴将从身后落下（设    2/ ）行走的速度慢于雨滴的水平运动速度。淋在后背上的雨水量为 v ，淋雨总量为：  v /) 。由 v C  cos uc  sinu C  ，雨水量 pbD ( ua   cos ( pbD uc sin   /) mv  vm  行走的速度快于雨滴的水平运动速度，此时可以想象人在追赶雨。总的淋雨量为 /) uv  pbDa sin v ( （2）: v  sinu 滴，雨水淋在胸前，淋雨量为 CCC  ( uva pbD  uc   cos sin     4 C  v /)  。 C  4 1 这样得到淋雨量的数学模型为： CC  1  CC  1 两个式子都是速度的减函数，第二个式子中关于 v的增减性取决于 ,  ,   uc pbD  pbD uc sin ( ua ( uva  v   sin        cos cos sin sin  /)  /)   2/ 2/     u u   v v v v 4 3 cos  sin  a  c 是否大于零，而这需要看人的体形决定。模型求解： 5.1 问题一的求解 , am  1000 D  进行求解，有 1000  5.2 问题二的求解： / , vh  /5 sm 将上述数据代入模型一 C  twS ,5.1 bm 5.0  DSw mc   bcD ,2.0 2.0 wm cm   ) (2 ab wac   v    2.0*)2.0*5.15.0*5.1(22.0*5.0*   v  5 * 1000 360000  .2 444 L 由模型二知：雨中行走的速度越快，淋雨量越小。所以取 /5 sm 时淋雨量最少。 vm L 当  0 时: 当  30  时: CCC   1  2  cu sin   ( ua sin   v )   .0 069 CCC   1 2   cu sin   ( ua sin   v )   .0 606 L 。 Dbp v Dbp v 5.3 问题三的求解：由模型三可知当速度越快时，淋雨量越少。所以取 vm /5 sm 时淋雨量最少。当：   30 (1) v  sinu : C  pbD ( uc cos /)  v m  .0 096 ; L (2) 即速度为 v  v sinu /2 sm  sin cos a  时  pbD C uc ，此时   c   小于零，是关于 v 的增函数，所以速度应当最小， cos - 2 - ( uva 024  /) sin  .0 L   v

5.4 问题四、问题五的求解： 1. 人行走的路线为直线,行走距离为 d, 跑步最大速度选择适当的直角坐标系,使人行走速度为： 2. 雨的速度不变,记为：    v  相对速度： uwv  x z , x y , , vvu y z , vvvw 3. 人体为长方体,其前、侧、顶的面积之比为 u  v max )0,0,(u ，则行走的时间为 ul 。 sm 5 v  单位时间内的淋雨量正比于   uR Tcv au    x v    bv  y  ulkau z 已知 1.   uR   vx  求u 为何值是  uR 最小？ avL x , , 0xv         vaL  u  vaL  u uL uL        v v x x x x vx  ;a vx  a : cba cv z :    au bv y v x (行走的时间为 ul  0 k cvbv y  z ) ，从而总淋雨量正比于 vx  的情形（有最小值）   uR 取最小值当 ;a vx  时， vLa vx  时，u 尽可能大时，  uR 才会尽可能小。 minR 才使   a u a v x x vx  的情形（无最小值） a 。当 0xv   uR   其图像为下图  uul    aL  a  v x  v x Lu  易知无最小值. - 3 -

同样有对 vx 结论：仅当  vx xv 0及 a  0 a 时，取情形的讨论。 u  可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下， xv 应使 u 尽可能的大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。六、模型评价与改进七、参考文献八、附录 - 4 -

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