2017 广西高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A=
( ,
x y
)
x
│
2
2
y
1
,B=
( ,
x y
)
x│
y
,则 A B中元素的个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
2.设复数 z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=
A.
1
2
B.
2
2
C. 2
D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.学#科&
网
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份
D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳
4.( x + y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为
A.-80
B.-40
C.40
D.80
5.已知双曲线 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y
5
2
x
,且与椭圆
2
x
12
2
y
3
有公共焦点,则 C的方程为
1
A.
2
x
8
2
y
10
1
B.
2
x
4
2
y
5
1
C.
2
x
5
2
y
4
1
D.
2
x
4
2
y
3
1
6.设函数 f(x)=cos(x+
3
),则下列结论错误的是
A.f(x)的一个周期为−2π
B.y=f(x)的图像关于直线 x= 8
3
对称
C.f(x+π)的一个零点为 x=
6
D.f(x)在(
2
,π)单调递减
7.执行下面的程序框图,为使输出 S的值小于 91,则输入的正整数 N的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的
体积为
A. π
B. 3π
4
C. π
2
D. π
4
9.等差数列 na 的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则 na 前 6 项的和
为
A.-24
B.-3
C.3
D.8
10.已知椭圆 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
,(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直
1
径的圆与直线
bx ay
2
ab
相切,则 C的离心率为
0
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
11.已知函数
( )
f x
2
x
x
1
e
1
x
)
有唯一零点,则 a=
D. 1
3
D.1
A. 1
2
(
2
x a e
B. 1
3
C. 1
2
12.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP
=
AB
+ AD
,则 + 的最大值为
A.3
B.2 2
C. 5
D.2
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若 x , y 满足约束条件
y 0
x
2 0
x
y
0
y
,则 z 3
4x
的最小值为__________.
y
14.设等比数列 na 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则 a4 = ___________.
15.设函数
( )
f x
x
2
1
0
, ,
x
x
, ,
0
x
则满足
( )
f x
(
f x
1
2
) 1
的 x的取值范围是_________。
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC的直角边 AC所在直线与 a,b
都垂直,斜边 AB以直线 AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线 AB与 a成 60°角时,AB与 b成 30°角;
②当直线 AB与 a成 60°角时,AB与 b成 60°角;
③直线 AB与 a所成角的最小值为 45°;
④直线 AB与 a所成角的最小值为 60°;
其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 sinA+ 3 cosA=0,a=2 7 ,b=2.
(1)求 c;
(2)设 D 为 BC边上一点,且AD AC,求△ABD的面积.
18.(12 分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为
了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的
进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?学科*网
19.(12 分)
如图,四面体 ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC;
(2)过 AC的平面交 BD于点 E,若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分,求
二面角 D–AE–C的余弦值.
20.(12 分)
已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l交 C与 A,B两点,圆 M是以线段 AB为直径
的圆.
(1)证明:坐标原点 O在圆 M上;
(2)设圆 M过点 P(4,-2),求直线 l与圆 M的方程.
21.(12 分)
已知函数 ( )
f x
=x﹣1﹣alnx.
(1)若 ( ) 0
f x ,求 a的值;
1+
(
(2)设 m为整数,且对于任意正整数 n,
1
2
+
)(1
1
2
2
) (
1+
1
2n
)
﹤m,求 m的最小
值.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy中,直线 l1 的参数方程为
x
y
2+ ,
t
,
kt
(t为参数),直线 l2 的参数方
程为
2
x
my
k
,
,
m
( 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k变化时,P的轨迹为曲线 C.
m
(1)写出 C的普通方程;
( 2 ) 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 设 l3 :
ρ(cosθ+sinθ)- 2 =0,M为 l3 与 C的交点,求 M的极径.
23.[选修 4 - 5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式 f(x)≥1 的解集;
(2)若不等式 f(x)≥x2–x +m的解集非空,求 m的取值范围.
绝密★启用前
一、选择题
1.B
7.D
2.C
8.B
二、填空题
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
3.A
9.A
4.C
5.B
6.D
10.A
11.C
12.A
(- ,+ )
1
4
15.
16. ②③
13. -1
14. -8
三、解答题
17.解:
(1)由已知得 tanA=
3, 所 以 A =
2
3
在 △ABC 中,由余弦定理得
28 4
2
c
4 cos
c
2
3
c
,即
2
+2 -24=0
c
解得 (舍去), =4
c
6
c
(2)有题设可得
CAD
= , 所 以
2
BAD
BAC
CAD
6
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为
6
1
1
2
AB AD
sin
1
2
AC AD
又△ABC 的面积为
1
2
18.解:
4
2 sin
BAC
2 3, 所 以
ABD
的 面 积 为 3 .
(1)由题意知, X 所有的可能取值为 200,300,500,由表格数据知
P X
200
2 16
90
0.2
P X
300
P X
500
0.4
36
90
25 7 4
90
0.4
.
因此 X 的分布列为
X
P
200
0.2
300
0.4
500
0.4
⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑 200
当 300
n≤ ≤ 时,
500
n≤ ≤
500
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间
20,,25 ,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当 200
n ≤
300
时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:
(1)由题设可得,
ABD
CBD
,
从而
AD DC
又 ACD
是直角三角形,所以
ACD
0=90
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于 ABC
是正三角形,故
BO AC
所以 DOB
为二面角
D AC B
的平面角
在
Rt AOB
AB BD
又
2
2
BO
DO
所以平面
中,
,
所以
BO
ACD
(2)
2
BO
2
AO
2
AB
2
AB
BD
2
,故 DOB=90
0
2
2
平面
AO
ABC
由题设及(1)知,OA, OB, OD 两两垂直,以 O 为坐标原点,OA
的方向为 x 轴正方向,OA
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz- ,则
(1,0,0), (0,3,0), ( 1,0,0), (0,0,1)
A
D
B
C
由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的
1
2
,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D
到平面 ABC 的距离的
1
2
,即 E 为 DB 的中点,得 E
AD
AC
1,0,1 ,
AE
2,0,0 ,
3 1
1, ,
2 2
3 1
0, ,
2 2
.故
设
= x, y,z
n
是平面 DAE 的法向量,则
AD
AE
n
n
0,
即
0,
x
z
0
x
3
2
y
1
2
z
0
可取
n
= ,
1
3
3
,
1
设 m 是平面 AEC 的法向量,则
则
cos
n m
,
n m
n m
7
7
AC
AE
m
m
0,
同理可得
0,
m
所以二面角 D-AE-C 的余弦值为
7
7
20.解
,
0 1 3
,
(1)设
A x , y ,B x , y
1
2
,l : x my
2
2
1