目
录
第 0 章 绪 论....................................................................(1)
0.1 小波变换简要回顾 ............................................................. (1)
0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换 ......................................... (3)
0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相似性 ............................. (7)
0.4 本书主要内容和结构 ....................................................... (15)
第 1 章 小波变换与傅里叶变换....................................(18)
1.1 小波和小波变换 ............................................................... (18)
1.2 小波变换的性质 ............................................................... (20)
1.3 离散小波和离散小波变换 ............................................... (22)
1.4 傅里叶变换和小波变换................................................... (25)
第 2 章 多分辨分析和小波构造....................................(30)
2.1 Shannon 小波 ......................................................................(30)
2.2 正交多分辨分析和正交小波 ........................................... (36)
2.3 正交多分辨分析的例子 ................................................... (42)
2.4 Daubechies 的紧支小波.....................................................(47)
第 3 章 小波变换与时-频分析...................................... (58)
3.1 Gabor 变换和时-频分析 ....................................................(58)
3.2 窗口傅里叶变换和时-频分析...........................................(61)
3.3 小波变换与时-频分析.......................................................(65)
3.4 离散小波与时-频分析.......................................................(67)
3.5 小波分析和信号处理........................................................ (71)
第 4 章 小波包与时-频分析........................................ (80)
4.1 引言 ....................................................................................(80)
4.2 正交小波包 ........................................................................(81)
4.3 小波包函数的傅里叶变换 ............................................... (84)
4.4 小波包函数的两种正交性 ............................................... (85)
4.5 正交小波包空间 ............................................................... (86)
4.6 小波空间的小波包分割 ................................................... (89)
4.7 时-频原子.......................................................................... (90)
1
4.8 紧支小波包 ........................................................................(93)
4.9 最优小波包基 ................................................................... (96)
4.10 正交二分算法 ................................................................. (97)
4.11 用法及其他 ................................................................... (100)
第 5 章 多分辨分析和塔式算法..................................(102)
5.1 多分辨分析和记号 ......................................................... (102)
5.2 Mallat 分解算法 ...............................................................(103)
5.3 Mallat 合成算法 ...............................................................(103)
5.4 小波包变换的 Mallat 算法.............................................(104)
5.5 金字塔算法 ......................................................................(105)
5.6 小波包完全分解的空间塔式结构 ................................. (108)
5.7 二维小波变换的 Mallat 算法 .........................................(108)
5.8 数字信号和图像的小波算法 ......................................... (111)
第 6 章 小波时-频特性与应用.................................... (124)
6.1 小波变换的频带重叠现象 ............................................. (124)
6.2 小波算法应用 ................................................................. (158)
6.3 二进小波构造算法 ......................................................... (166)
第 7 章 特殊小波及应用..............................................(176)
7.1 Malvar 小波与信号最优描述..........................................(176)
7.2 小波与采样定理 ............................................................. (187)
7.3 快速小波变换 ................................................................. (197)
第 8 章 图像压缩与计算机视觉..................................(209)
8.1 图像的金字塔算法 ......................................................... (209)
8.2 数字图像压缩 ................................................................. (215)
8.3 金字塔算法和多分辨分析 ............................................. (217)
8.4 共轭正交小波 ................................................................. (223)
8.5 Marr 的视觉理论 ............................................................. (226)
8.6 Marr 猜想 ..........................................................................(227)
8.7 Marr 猜想的反例 ............................................................. (229)
8.8 Mallat 猜想 .......................................................................(230)
8.9 二维 Mallat 算法.............................................................(233)
2
8.10 Mallat 重构算法.............................................................(234)
第 9 章 分数傅里叶变换..............................................(240)
9.1 分数傅里叶变换与置换矩阵 ......................................... (240)
9.2 分数傅里叶变换的多样性(一).......................................(244)
9.3 分数傅里叶变换的多样性(二).......................................(251)
9.4 任意周期的分数傅里叶变换 ......................................... (256)
9.5 分数傅里叶变换的极限关系 ......................................... (260)
第 10 章 分数傅里叶变换的离散算法........................(263)
10.1 离散傅里叶变换及其周期性 ....................................... (263)
10.2 离散分数傅里叶变换算法 ........................................... (267)
10.3 任意周期离散分数傅里叶变换 ................................... (270)
第 11 章 小波变换与分数傅里叶变换比较................(275)
11.1 傅里叶变换的特征子空间 ........................................... (275)
11.2 分数傅里叶变换的特征子空间 ................................... (276)
11.3 小波变换的小波子空间 ............................................... (283)
11.4 小波算法和分数傅里叶算法 ....................................... (286)
参考文献........................................................................(294)
3
第 0 章 绪 论
0.1 小波变换简要回顾
小波变换是一种新的变换分析方法,它的主要特点是通过变
换能够充分突出问题某些方面的特征,因此,小波变换在许多领
域都得到了成功的应用,特别是小波变换的离散数字算法已被广
泛用于许多问题的变换研究中。
从小波变换的数学理论来说,它是继傅里叶变换之后纯粹数
学和应用数学完美结合的又一光辉典范,享有“数学显微镜”的
美称[1~2]。从纯粹数学的角度来说,小波变换是调和分析(包括
函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等)这一重要
学科大半个世纪以来的工作结晶[3];从应用科学和技术科学的角
度来说,小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线
性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破[4~7]。实际上,
由于小波变换在它的产生、发展、完善和应用的整个过程中都广
泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数学和纯粹数
学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领
域的专家、学者和工程师的共同努力,所以,现在它已经成为科
学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题[8]。
从小波变换的发展过程来说,大致可分成三个阶段。
(1)孤立应用时期。主要特征是一些特殊构造的小波在某
些专业领域的零散应用。这个时期最典型的代表性工作是法国地
质学家 J.Morlet 和 A.Grossmann 第一次把“小波”用于分析处理
地 质 数 据 , 引 进 了 以 他 们 的 名 字 命 名 的 时 间- 尺 度 小 波 , 即
Grossmann-Morlet 小波[9~10]。这个时期的另一个代表性工作是
1981 年 J.Strömberg 对 A.Harr 在 1910 年所给出的 Haar 系标准正
交小波产生的正交基的改进[11]。同时,著名的计算机视觉专家
D.Marr 在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺度大小”变化的
滤波算子,现在称为“墨西哥帽”的小波也是这个时期有名的工
作之一[12],这部分工作与后来成为 S.Mallat 的小波分析构造理论
支柱的“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切联系。这个时期
1
一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解
别人的研究工作的状态下巧妙地、独立地构造自己需要的“小
波”。虽然如此,但通观全局可以发现,这些专家、学者和工程
师所从事研究的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面,因
此,这个现象从另一个侧面预示小波分析热潮的到来,说明了小
波理论产生的必然性。
(2)国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开
始于 1986 年,当时法国数学家 Y.Meyer 成功地构造出了具有一
定衰减性质的光滑函数ψ,这个函数(算子)的二进尺度伸缩和
二进整倍数平移产生的函数系构成著名的函数空间 L2(R)的标准
正交基[13]。这项成果标志“小波分析”新时期的到来。在此之前,
学术界普遍认为不会存在性质如此之好的函数。实际上,不仅数
学家这样,其他领域的学者也有此倾向,比如前述提到的那些科
学家或者放弃进一步的研究或者放弃对小波性质的特殊要求,比
如 I.Daubechies、A.Grossmann、Y.Meyer 在此之前就是研究函数
ψ和常数 a 与 b,使函数系
j
j
xa
2
;
,
kj
Z
kb
a
构成函数空间 L2(R)的框架[14]。进入这个时期之后,P.Lemarie[15]
和 G.Battle [16]又分别独立地构造得到了这样“好的”小波。之后
Y.Meyer 和计算机科学家 S.Mallat 提出多分辨分析概念[17~18],成
功地统一了此前 J.Strömberg、Y.Meyer、P.Lemarie 和 G.Battle 的
各别的小波构造方法。同时,S.Mallat 还简洁地得到了离散小波
的数值算法即 Mallat 分解和合成算法,并且将此算法用于数字图
像的分解与重构[19~20]。几乎同时,比利时数学家 I.Daubechies 基
于多项式方式构造出具有有限支集的正交小波基[21],C.K.Chui
和中国籍学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数,并讨
论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数的一般构造方
法[22~24] 。这个时期的结束标志之一是国际性综合杂志《IEEE
Transaction on Information Theory(信息论)》在 1992 年 3 月份
的“小波分析及其应用”的专刊上,比较全面地介绍了在此之前
小波分析理论和应用在各个学科领域的发展。
(3)全面应用时期。从 1992 年开始,小波分析方法进入全
2
面应用阶段。在前一段研究工作基础上,特别是数字信号和数字
图像的 Mallat 分解和重构算法的确定,使小波分析的应用迅速波
及科学研究和工程技术应用研究的许多领域。编辑部设在美国
Texas A&M 大学的国际杂志《Applied and Computation Harmonic
Analysis》从 1993 年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究
作为其主要内容,编辑部的三位主编 C.K.Chi、R.Coifman 与
I.Daubechies 都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至
今日,小波分析的应用范围还在不断扩大,许多科技期刊都刊载
与小波分析相关的文章,各个学科领域的地区性和国际性学术会
议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告,同时,在国际互
联网 INTERNET 和其他有较大影响的网络上,与小波有关的书
籍、论文、报告、软件随时随地都可以找到并可以免费下载,甚
至颇有国际影响的软件公司像 MathWorks 在它的“科学研究和工
程应用”软件 MATLAB 中,特意把小波分析作为其“ToolBox”
的单独一个工具箱。这样的局面使得任何人都不可能完全了解小
波分析全面的研究和应用情况,而只能择其中相关的内容进行跟
踪、消化和展开深入研究。
随着小波变换理论研究的不断深入和实际应用的日益广泛,
小波分析的各种优势也在不断明确,但同时,一些常用的小波包
括其相应的算法在某些特殊应用上的局限性也渐渐为人们所认
识[25~26]。比如在小波变换用于信号分离时经常出现的频率混叠现
象给信号分析带来麻烦,本书后面的分析将说明这种现象产生的
根源在于常用小波之离散小波变换特殊的时-频分析性质,即“频
域分割不到位”。
关于小波变换本书选择与计算机应用技术密切相关的涉及
数字信号处理、数字图像处理及压缩、图像纹理分析、数值计算
等多个方面的离散小波数值计算之理论和算法展开论述,包括为
了缓解小波变换“频域分割不到位”造成的频率混叠现象和特殊
应用需要的小波构造方法,离散正交小波的算法分析以及小波算
法与分数傅里叶变换理论及算法的全面比较等基本内容。
0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换
傅里叶变换是一个十分重要的工具,无论是在一般的科学研
3
究中,还是在工程技术的应用研究中,它都发挥着基本工具的作
用。从历史发展的角度来看,自从法国科学家 J.Fourier 在 1807
年为了得到热传导方程简便解法而首次提出著名的傅里叶分析
技术以来,傅里叶变换首先在电气工程领域得到了成功应用,之
后,傅里叶变换迅速得到了越来越广泛的应用,而且,理论上也
得到了深入研究,特别是进入 20 世纪 40 年代之后,由于计算机
技术的产生和迅速发展,以离散傅里叶变换形式出现的 FFT 以频
域分析、谱分析和频谱分析的形式在极短的时间内迅速渗透到现
代科学技术的几乎所有领域,无人不知无人不晓!时至今日,甚
至于发展到:在理论研究和应用技术研究中,分别把傅里叶变换
和 FFT 当作最基本的有效的经典工具来使用和看待。正是这些深
入的研究和广泛的应用,逐渐暴露了傅里叶变换在研究某些问题
时的局限性以及 FFT 在处理一些特殊数据时的局限性。因为各种
科学问题研究的特殊需要,对傅里叶变换的改进也选择了完全不
同的方向。
D.Gabor 在 1946 年给出的现在以他的名字命名的 Gabor 变换
代表了改进傅里叶变换的一个方向,即信号加窗或基函数加窗,
有时也称为窗口傅里叶变换[27]。这是一种信号局部分析的新思
想,这个方向的深入研究最终导致小波分析的出现。
V.Namias 在 1980 年 首 先 进 行 研 究 的 分 数 傅 里 叶 变 换
(Fractional Fourier Transformation 即 FRFT)是改进傅里叶变换
的另一个方向[28]。当时他的问题是要求出在量子力学研究中出现
的一个特殊偏微分方程的解析解。抽象地说,他是把分数傅里叶
变换作为傅里叶变换算子的非整数次幂运算结果来引进的。基本
的想法是把经典傅里叶变换的特征值作为一般的复数进行幂次
运算,将所得结果作为一个新变换的特征值并利用傅里叶变换的
特征函数二者合一,从而构造得到与前述幂次相同的分数傅里叶
变换。因此,V. Namias 研究的分数傅里叶变换是经典傅里叶变
换在分数级次上的推广,它同 Gabor 变换和小波变换一样,都是
把研究对象变换成维数更高的新对象来进行处理。所以从一般的
科学研究方法来看,小波变换和分数傅里叶变换都是升维方法。
1987 年,A. C. Mcbride 和 F. H. Kerr 用积分形式从数学上严
格定义了分数傅里叶变换[29]。1993 年,光学专家 A.W.Lohmann
利用傅里叶变换相当于在 Wigner 分布函数相空间中角度为 2
4