小波变换与分数傅里叶变换理论与应用.doc

发布时间：2022-06-20 发布人：admin 分类：说明书资料大小：9.85M 资料格式：doc 举报版权申诉

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第0章绪论

0.1 小波变换简要回顾

0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换

0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相似性

0.3.1 小波变换与傅里叶变换

0.3.2 分数傅里叶变换（A）

0.3.3 分数傅里叶变换（B）

0.3.4 小波变换与分数傅里叶变换

0.4 本书主要内容和结构

0.4.1 主要研究内容

0.4.2 全书结构

第1章小波变换与傅里叶变换

1.1 小波和小波变换

1.1.1 小波(Wavelet)

1.1.2 小波变换

1.2 小波变换的性质

1.2.1 小波变换的Parseval恒等式

1.2.2 小波变换的反演公式

1.2.3 吸收公式

1.2.4 吸收反演公式

1.3 离散小波和离散小波变换

1.3.1 二进小波和二进小波变换

1.3.2 正交小波和小波级数

1.4 傅里叶变换和小波变换

1.4.1 傅里叶级数

1.4.2 傅里叶变换和小波变换

第2章多分辨分析和小波构造

2.1 Shannon小波

2.2 正交多分辨分析和正交小波

2.2.1 正交多分辨分析(Multiresolution Analysis)

2.2.2 正交小波的构造

2.2.2.1尺度方程和小波方程

2.2.2.2标准正交系的频域形式

2.2.2.3尺度函数和低通滤波器

2.2.2.4小波函数和高通滤波器

2.2.2.5低通滤波器和高通滤波器

2.2.2.6正交小波的充要条件

2.2.2.7正交小波的构造

2.3 正交多分辨分析的例子

2.3.1 Haar的多分辨分析

2.3.2 Shannon的多分辨分析

2.3.3 Meyer的多分辨分析

2.4 Daubechies的紧支小波

2.4.1 基本定理

2.4.2 紧支尺度函数

2.4.3 系数有限的共轭滤波器

2.4.3.1 引用公式

2.4.3.2 一个恒等式

2.4.3.3 解法之一

2.4.3.4 一般解法

2.4.3.5 有限系数共轭滤波器的构造

2.4.4 紧支的尺度函数和小波函数

2.4.5 紧支的尺度函数和小波函数算例

第3章小波变换与时-频分析

3.1 Gabor变换和时-频分析

3.2窗口傅里叶变换和时-频分析

3.3小波变换与时-频分析

3.4离散小波与时-频分析

3.4.1 二进小波和频带的二进分割

3.4.2 正交小波和时-频分析

3.5小波分析和信号处理

3.5.1小波分析与瞬态信号

3.5.2 Grossmann-Morlet的时间-尺度小波

3.5.3 Malvar的时-频小波

3.5.4 Malvar小波与信号的最优描述

第 4 章小波包与时-频分析

4.1 引言

4.2 正交小波包

4.2.1 多分辨分析和小波包

4.2.2 正交小波包

4.3 小波包函数的傅里叶变换

4.4 小波包函数的两种正交性

4.4.1 第一种正交性

4.4.2 第二种正交性

4.5 正交小波包空间

4.6 小波空间的小波包分割

4.7 时-频原子

4.8 紧支小波包

4.9 最优小波包基

4.10 正交二分算法

4.11 用法及其他

第5章多分辨分析和塔式算法

5.1 多分辨分析和记号

5.2 Mallat分解算法

5.3 Mallat合成算法

5.4 小波包变换的Mallat算法

5.4.1 小波包分解的Mallat算法

5.4.2 小波包合成的Mallat算法

5.5 金字塔算法

5.5.1 信号的分解过程

5.5.2 空间的分解过程

5.5.3 系数的分解过程

5.5.4 信号的重建过程

5.5.5 空间的重建过程

5.5.6 系数的重建过程

5.6 小波包完全分解的空间塔式结构

5.7 二维小波变换的Mallat算法

5.7.1 二维多分辨分析

5.7.2 二维小波变换及小波包变换的Mallat算法

5.8 数字信号和图像的小波算法

5.8.1 金字塔算法的矩阵形式

5.8.1.1 .正交多分辨分析的矩阵形式

5.8.1.2 金字塔算法和矩阵

5.8.2 数字信号的小波变换

5.8.2.1 数字信号的小波变换算法

5.8.2.2 数字信号的矩阵变换算法

5.8.3 数字图像的小波变换

5.8.3.1 数字图像的小波金字塔算法与矩阵

5.8.3.2 数字图像的二维小波算法

5.8.4 结束语

第6章小波时-频特性与应用

6.1 小波变换的频带重叠现象

6.1.1 小波

6.1.2 小波变换的时-频特性

6.1.3 小波变换频带重叠现象

6.1.4 频带重叠和泄漏现象

6.1.5 严格分频的频域紧支小波

6.1.5.1 频域紧支二进小波构造

6.1.5.2 频域紧支二进重构小波

6.1.5.3 奇异信号检测

6.1.5.4 稳态信号分析

6.1.5.5 电力系统暂态信号分析

6.2 小波算法应用

6.2.1 多分辨分析与正交小波算法

6.2.2 时变谐波与小波算法

6.2.3 数值仿真

6.3 二进小波构造算法

6.3.1 正交尺度函数

6.3.2 二进尺度函数

6.3.3 二进小波函数

6.3.4 紧支的尺度和小波

6.3.5 二进小波算法

第7章特殊小波及应用

7.1 Malvar小波与信号最优描述

7.1.1 信号的描述和最优描述

7.1.2 Malvar小波分析

7.1.2.1 Malvar小波

7.1.2.2 可变窗口的Malvar小波

7.1.3 分裂-合并算法

7.1.3.1 分裂与合并

7.1.3.2 熵

7.1.4 搜索最优Malvar小波基的算法

7.1.5 例子

7.1.6 仿真和结论

7.2 小波与采样定理

7.2.1 Shannon采样定理

7.2.2 小波采样定理

7.3 快速小波变换

7.3.1 快速算法和快速傅里叶变换

7.3.2 一个例子：按Haar小波基展开

7.3.3 快速小波变换算法

第8章图像压缩与计算机视觉

8.1 图像的金字塔算法

8.2 数字图像压缩

8.3 金字塔算法和多分辨分析

8.4 共轭正交小波

8.5 Marr的视觉理论

8.6 Marr猜想

8.7 Marr猜想的反例

8.8 Mallat猜想

8.9 二维Mallat算法

8.10 Mallat重构算法

第9章分数傅里叶变换

9.1 分数傅里叶变换与置换矩阵

9.1.1 傅里叶变换与置换矩阵

9.1.2 分数傅里叶变换和置换矩阵

9.2 分数傅里叶变换的多样性(一)

9.2.1 周期4的分数傅里叶变换

9.2.2 周期3的分数傅里叶变换

9.2.3 周期3的特征值

9.3 分数傅里叶变换的多样性(二)

9.3.1 第二个周期3的分数傅里叶变换算子

9.3.2 两个周期3的分数傅里叶变换的关系

9.3.3 几个分数傅里叶变换的异同

9.4 任意周期的分数傅里叶变换

9.4.1 任意周期分数傅里叶变换的构造

9.4.2 特征值的周期性

9.4.3 分数傅里叶变换和广义置换矩阵群

9.5 分数傅里叶变换的极限关系

第10章分数傅里叶变换的离散算法

10.1 离散傅里叶变换及其周期性

10.1.1 离散傅里叶变换的矩阵

10.1.2 离散傅里叶变换的周期性

10.2 离散分数傅里叶变换算法

10.2.1 离散分数傅里叶变换

10.2.2 离散分数傅里叶变换算法

10.3 任意周期离散分数傅里叶变换

10.3.1 任意周期的分数幂次矩阵

10.3.2 任意周期离散分数傅里叶变换

第11章小波变换与分数傅里叶变换比较

11.1 傅里叶变换的特征子空间

11.2 分数傅里叶变换的特征子空间

11.2.1 V.Namias分数傅里叶变换的特征子空间

11.2.2 C.C.Shih分数傅里叶变换的特征子空间

11.2.3 周期3分数傅里叶变换的特征子空间

11.2.3.1 第一个周期3的分数傅里叶变换

11.2.3.2 第二个周期3的分数傅里叶变换

11.2.4 任意周期分数傅里叶变换的特征子空间

11.3 小波变换的小波子空间

11.3.1 正交多分辨分析

11.3.2 小波空间

11.3.3 小波空间和特征子空间

11.4 小波算法和分数傅里叶算法

11.4.1 构造算法对比

11.4.2 数字算法对比

11.4.2.1 有限数字信号的小波算法

1. 数字信号的小波变换算法

2. 小波变换算法的正交性

11.4.2.2 有限数字信号的分数傅里叶变换算法

参考文献

目录第 0 章绪论....................................................................(1) 0.1 小波变换简要回顾 ............................................................. (1) 0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换 ......................................... (3) 0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相似性 ............................. (7) 0.4 本书主要内容和结构 ....................................................... (15) 第 1 章小波变换与傅里叶变换....................................(18) 1.1 小波和小波变换 ............................................................... (18) 1.2 小波变换的性质 ............................................................... (20) 1.3 离散小波和离散小波变换 ............................................... (22) 1.4 傅里叶变换和小波变换................................................... (25) 第 2 章多分辨分析和小波构造....................................(30) 2.1 Shannon 小波 ......................................................................(30) 2.2 正交多分辨分析和正交小波 ........................................... (36) 2.3 正交多分辨分析的例子 ................................................... (42) 2.4 Daubechies 的紧支小波.....................................................(47) 第 3 章小波变换与时-频分析...................................... (58) 3.1 Gabor 变换和时-频分析 ....................................................(58) 3.2 窗口傅里叶变换和时-频分析...........................................(61) 3.3 小波变换与时-频分析.......................................................(65) 3.4 离散小波与时-频分析.......................................................(67) 3.5 小波分析和信号处理........................................................ (71) 第 4 章小波包与时-频分析........................................ (80) 4.1 引言 ....................................................................................(80) 4.2 正交小波包 ........................................................................(81) 4.3 小波包函数的傅里叶变换 ............................................... (84) 4.4 小波包函数的两种正交性 ............................................... (85) 4.5 正交小波包空间 ............................................................... (86) 4.6 小波空间的小波包分割 ................................................... (89) 4.7 时-频原子.......................................................................... (90) 1

4.8 紧支小波包 ........................................................................(93) 4.9 最优小波包基 ................................................................... (96) 4.10 正交二分算法 ................................................................. (97) 4.11 用法及其他 ................................................................... (100) 第 5 章多分辨分析和塔式算法..................................(102) 5.1 多分辨分析和记号 ......................................................... (102) 5.2 Mallat 分解算法 ...............................................................(103) 5.3 Mallat 合成算法 ...............................................................(103) 5.4 小波包变换的 Mallat 算法.............................................(104) 5.5 金字塔算法 ......................................................................(105) 5.6 小波包完全分解的空间塔式结构 ................................. (108) 5.7 二维小波变换的 Mallat 算法 .........................................(108) 5.8 数字信号和图像的小波算法 ......................................... (111) 第 6 章小波时-频特性与应用.................................... (124) 6.1 小波变换的频带重叠现象 ............................................. (124) 6.2 小波算法应用 ................................................................. (158) 6.3 二进小波构造算法 ......................................................... (166) 第 7 章特殊小波及应用..............................................(176) 7.1 Malvar 小波与信号最优描述..........................................(176) 7.2 小波与采样定理 ............................................................. (187) 7.3 快速小波变换 ................................................................. (197) 第 8 章图像压缩与计算机视觉..................................(209) 8.1 图像的金字塔算法 ......................................................... (209) 8.2 数字图像压缩 ................................................................. (215) 8.3 金字塔算法和多分辨分析 ............................................. (217) 8.4 共轭正交小波 ................................................................. (223) 8.5 Marr 的视觉理论 ............................................................. (226) 8.6 Marr 猜想 ..........................................................................(227) 8.7 Marr 猜想的反例 ............................................................. (229) 8.8 Mallat 猜想 .......................................................................(230) 8.9 二维 Mallat 算法.............................................................(233) 2

8.10 Mallat 重构算法.............................................................(234) 第 9 章分数傅里叶变换..............................................(240) 9.1 分数傅里叶变换与置换矩阵 ......................................... (240) 9.2 分数傅里叶变换的多样性(一).......................................(244) 9.3 分数傅里叶变换的多样性(二).......................................(251) 9.4 任意周期的分数傅里叶变换 ......................................... (256) 9.5 分数傅里叶变换的极限关系 ......................................... (260) 第 10 章分数傅里叶变换的离散算法........................(263) 10.1 离散傅里叶变换及其周期性 ....................................... (263) 10.2 离散分数傅里叶变换算法 ........................................... (267) 10.3 任意周期离散分数傅里叶变换 ................................... (270) 第 11 章小波变换与分数傅里叶变换比较................(275) 11.1 傅里叶变换的特征子空间 ........................................... (275) 11.2 分数傅里叶变换的特征子空间 ................................... (276) 11.3 小波变换的小波子空间 ............................................... (283) 11.4 小波算法和分数傅里叶算法 ....................................... (286) 参考文献........................................................................(294) 3

第 0 章绪论 0.1 小波变换简要回顾小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从小波变换的数学理论来说，它是继傅里叶变换之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范，享有“数学显微镜”的美称[1~2]。从纯粹数学的角度来说，小波变换是调和分析（包括函数空间、广义函数、傅里叶分析和抽象调和分析等）这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶[3]；从应用科学和技术科学的角度来说，小波变换又是计算机应用、信号处理、图像分析、非线性科学和工程技术近几年来在方法上的重大突破[4~7]。实际上，由于小波变换在它的产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信号和图像处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领域的专家、学者和工程师的共同努力，所以，现在它已经成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题[8]。从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段。（1）孤立应用时期。主要特征是一些特殊构造的小波在某些专业领域的零散应用。这个时期最典型的代表性工作是法国地质学家 J.Morlet 和 A.Grossmann 第一次把“小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间- 尺度小波，即 Grossmann-Morlet 小波[9~10]。这个时期的另一个代表性工作是 1981 年 J.Strömberg 对 A.Harr 在 1910 年所给出的 Haar 系标准正交小波产生的正交基的改进[11]。同时，著名的计算机视觉专家 D.Marr 在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺度大小”变化的滤波算子，现在称为“墨西哥帽”的小波也是这个时期有名的工作之一[12]，这部分工作与后来成为 S.Mallat 的小波分析构造理论支柱的“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切联系。这个时期 1

一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解别人的研究工作的状态下巧妙地、独立地构造自己需要的“小波”。虽然如此，但通观全局可以发现，这些专家、学者和工程师所从事研究的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面，因此，这个现象从另一个侧面预示小波分析热潮的到来，说明了小波理论产生的必然性。（2）国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始于 1986 年，当时法国数学家 Y.Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性质的光滑函数ψ，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的函数空间 L2(R)的标准正交基[13]。这项成果标志“小波分析”新时期的到来。在此之前，学术界普遍认为不会存在性质如此之好的函数。实际上，不仅数学家这样，其他领域的学者也有此倾向，比如前述提到的那些科学家或者放弃进一步的研究或者放弃对小波性质的特殊要求，比如 I.Daubechies、A.Grossmann、Y.Meyer 在此之前就是研究函数 ψ和常数 a 与 b，使函数系 j  j  xa 2   ; , kj  Z  kb   a         构成函数空间 L2(R)的框架[14]。进入这个时期之后，P.Lemarie[15] 和 G.Battle [16]又分别独立地构造得到了这样“好的”小波。之后 Y.Meyer 和计算机科学家 S.Mallat 提出多分辨分析概念[17~18]，成功地统一了此前 J.Strömberg、Y.Meyer、P.Lemarie 和 G.Battle 的各别的小波构造方法。同时，S.Mallat 还简洁地得到了离散小波的数值算法即 Mallat 分解和合成算法，并且将此算法用于数字图像的分解与重构[19~20]。几乎同时，比利时数学家 I.Daubechies 基于多项式方式构造出具有有限支集的正交小波基[21]，C.K.Chui 和中国籍学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数的一般构造方法[22~24] 。这个时期的结束标志之一是国际性综合杂志《IEEE Transaction on Information Theory（信息论）》在 1992 年 3 月份的“小波分析及其应用”的专刊上，比较全面地介绍了在此之前小波分析理论和应用在各个学科领域的发展。（3）全面应用时期。从 1992 年开始，小波分析方法进入全 2

面应用阶段。在前一段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的 Mallat 分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的许多领域。编辑部设在美国 Texas A&M 大学的国际杂志《Applied and Computation Harmonic Analysis》从 1993 年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究作为其主要内容，编辑部的三位主编 C.K.Chi、R.Coifman 与 I.Daubechies 都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析相关的文章，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告，同时，在国际互联网 INTERNET 和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件随时随地都可以找到并可以免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司像 MathWorks 在它的“科学研究和工程应用”软件 MATLAB 中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。这样的局面使得任何人都不可能完全了解小波分析全面的研究和应用情况，而只能择其中相关的内容进行跟踪、消化和展开深入研究。随着小波变换理论研究的不断深入和实际应用的日益广泛，小波分析的各种优势也在不断明确，但同时，一些常用的小波包括其相应的算法在某些特殊应用上的局限性也渐渐为人们所认识[25~26]。比如在小波变换用于信号分离时经常出现的频率混叠现象给信号分析带来麻烦，本书后面的分析将说明这种现象产生的根源在于常用小波之离散小波变换特殊的时-频分析性质，即“频域分割不到位”。关于小波变换本书选择与计算机应用技术密切相关的涉及数字信号处理、数字图像处理及压缩、图像纹理分析、数值计算等多个方面的离散小波数值计算之理论和算法展开论述，包括为了缓解小波变换“频域分割不到位”造成的频率混叠现象和特殊应用需要的小波构造方法，离散正交小波的算法分析以及小波算法与分数傅里叶变换理论及算法的全面比较等基本内容。 0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换傅里叶变换是一个十分重要的工具，无论是在一般的科学研 3

究中，还是在工程技术的应用研究中，它都发挥着基本工具的作用。从历史发展的角度来看，自从法国科学家 J.Fourier 在 1807 年为了得到热传导方程简便解法而首次提出著名的傅里叶分析技术以来，傅里叶变换首先在电气工程领域得到了成功应用，之后，傅里叶变换迅速得到了越来越广泛的应用，而且，理论上也得到了深入研究，特别是进入 20 世纪 40 年代之后，由于计算机技术的产生和迅速发展，以离散傅里叶变换形式出现的 FFT 以频域分析、谱分析和频谱分析的形式在极短的时间内迅速渗透到现代科学技术的几乎所有领域，无人不知无人不晓！时至今日，甚至于发展到：在理论研究和应用技术研究中，分别把傅里叶变换和 FFT 当作最基本的有效的经典工具来使用和看待。正是这些深入的研究和广泛的应用，逐渐暴露了傅里叶变换在研究某些问题时的局限性以及 FFT 在处理一些特殊数据时的局限性。因为各种科学问题研究的特殊需要，对傅里叶变换的改进也选择了完全不同的方向。 D.Gabor 在 1946 年给出的现在以他的名字命名的 Gabor 变换代表了改进傅里叶变换的一个方向，即信号加窗或基函数加窗，有时也称为窗口傅里叶变换[27]。这是一种信号局部分析的新思想，这个方向的深入研究最终导致小波分析的出现。 V.Namias 在 1980 年首先进行研究的分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transformation 即 FRFT）是改进傅里叶变换的另一个方向[28]。当时他的问题是要求出在量子力学研究中出现的一个特殊偏微分方程的解析解。抽象地说，他是把分数傅里叶变换作为傅里叶变换算子的非整数次幂运算结果来引进的。基本的想法是把经典傅里叶变换的特征值作为一般的复数进行幂次运算，将所得结果作为一个新变换的特征值并利用傅里叶变换的特征函数二者合一，从而构造得到与前述幂次相同的分数傅里叶变换。因此，V. Namias 研究的分数傅里叶变换是经典傅里叶变换在分数级次上的推广，它同 Gabor 变换和小波变换一样，都是把研究对象变换成维数更高的新对象来进行处理。所以从一般的科学研究方法来看，小波变换和分数傅里叶变换都是升维方法。 1987 年，A. C. Mcbride 和 F. H. Kerr 用积分形式从数学上严格定义了分数傅里叶变换[29]。1993 年，光学专家 A.W.Lohmann 利用傅里叶变换相当于在 Wigner 分布函数相空间中角度为 2 4

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