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2015年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

发布时间：2022-09-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.21M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2015 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 当= 时，多项式 ( ) f x  2 x  与 x ( ) g x  2 x  4 x   有公共根。 2. 设 A 是 n 阶方阵，且| | 2A  ，则 | 4  A  1  * A | = 。  3. 已知向量组 1  (1,0,2,3),  2  (1,1,3,5),  3  (1, 1,  t  2,1),  4  (1,2,4, t  线 9) 性相关，则t = 。 4. 已知方阵 A 满足 2 A 5. 当 t 满 足 2 , tx 3 2 tx 1 tx    2 2 ) 2 , ( f x x x 3 1  4 x x 1 2  4 x x 1 3  4 x x 2 3 是正定的。   A 2 E O  ，则 1A = ( ， A  2 ) E  1 = 。 时 ， 二 次 型 6. 已知数域 P 上线性空间V 中线性无关的元素组为 1     ，令 1    2  ， 2 3 4 1 , , ,    3  2 2 ，    4  3 3 ， { W k      1 1 4    k k k 2 2 3 3 4 | k i  } P    1  4 4 ， 则 子 空 间 的维数是 ，它的一组基为 。 7. 已知 3 阶方阵 A 的特征值为1, 1,2 ，则矩阵 B A  3  22 A 的特征值为 ， 行列式| |B = 。 2 0 0   2 2 x    1 1 3       与 B 1 0 0   0 2 0    0 0 y       8. 设 矩 阵 A y = 。 相 似 ， 则 x = ， 9. 欧氏空间 3R 中一组基 1 1 1             0 , 1 , 1             0 1       0 的度量矩阵是 。 10. 设 V 为 4 维 欧 氏 空 间 ， 1     为 V 的 一 个 标 准 正 交 基 ， 子 空 间 , , , 2 3 4 W L   2  ( , 1 ) ，其中 1        3  ，则W  =     1 2 2 1 2 , 。 二、计算题（共 90 分） 1. （15 分） 计算 n 阶行列式
    x x  1 1 D n   0 0   z y   0 0  z  0 0 0 0  y 1  2. （15 分） 讨论取何值时，下列线性方程组 1) ( 1 x x         2 3 2) ( 1) ( x x        2 3 ( 1) 1) (2 x x        2 3 (2 1)   2) ( x   1 1) (2 x   1 （其中 x x 1          1 x x yz ）。 有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。 3. （20 分） 求一个正交变换，将二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  4 x x 1 2  4 x x 1 3  5 2 x 2  8 x x 2 3  5 2 x 3 化成标准二次型。 4. （20 分） 给定 3P 的两组基  1  2  3    (1,0,1) (2,1,0) (1,1,1)  1  2  3 (1,2, 1)   (2,2, 1)   (2, 1, 1)    现定义线性变换 A 满足 ( A   i i i  1,2,3) ， （1） 试求由基 1 ,   到基 1 , ,   的过渡矩阵； , 2 3 2 3 （2） 试求 A 在基 1 ,   和基 1 ,   下的矩阵。 , , 2 3 2 3 5. （20 分）在线性空间 [ ]P x 中定义线性变换 A 为： 3 ( A a bx   cx 2 )  ( a c  )  bx  ( ) c a x  2 。 （1）求 A 在基 1, 2 ,x x 下的矩阵； （2）求出 [ ]P x 的一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 3 三、证明题 （共 30 分） 1. （15 分） 设是数域 P 上线性空间V 的线性变换，且满足 2  ，求证： （1） 1(0) {        ) | (  ； }V （2） V  ( V )   1 (0) 。
    2. （15 分） 设 P 是数域， m n A P   , ,m n  B P  ( ) n m n   ,V V 分别是齐次线性方 ， 1 2 程组 AX  和 0 BX  的解空间。求证： 0 nP 零解。   的充分必要条件是 V 2 V 1    A B    X  0 只有
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