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2020年五一赛B题论文.pdf

发布时间：2022-06-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.22M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    五 一 数 学 建 模 竞 赛 题 目： 基于系统性风险角度的基金资产配置策略分析 关键词：层次聚类模型 均值-方差模型 动态规划模型 旋转算法 摘 要：本文建立相应的模型对基金资产配置策略问题进行分析，旨在得出最优组 合策略，并求出风险价值等数据，对于公司选购股票有着一定的借鉴意义。 针对问题一，建立层次聚类模型，按照算法流程利用 SPSS 进行聚类，画出系谱 图，利用肘部法则确定聚类数量，最终将 10 家公司分为 5 类，其中公司 A,G,C,F 分 别各为一类，公司 E,J,D,B,H,I 为一类，即投资组合策略存在相似性。 针对问题二，建立均值-方差模型，确定目标函数： 计算出协方差矩阵等一系列相关数据，利用旋转算法对模型进行求解，经过构建初 始表-预处理-主迭代步骤后得出结果，对于一个给定的最低期望标准 0.05，最优的 股票投资组合策略为股票 3，股票 7，股票 10，股票 22，股票 27，股票 41 分别投 资占比 7.22%，25.14%，17.46%，28.32%，6.25%，5.61%，对于其他股票不进行投 资。 针对问题三，给出风险价值的计算公式： 将 95%的置信水平和相关数据，最终算出各个公司的风险价值，风险价值最大是公 司 H，为-1075700000，在未来一段时间内的最大可能损失最大，风险价值最小的是 公司 A，为-2382100，在未来一段时间内的最大可能损失最小。 针对问题四，建立动态规划模型，确定目标函数： 并 根 据 给 出 的 约 束 条 件 进 行 求 解 ， 得 出 结 果 最 优 的 投 资 组 合 策 略 为 ： 公 司 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 分别投资股票 5,14,12,32,14,14,45,14,55,14。 1min2TxGx()0VaRwZ=+()()010010max0.30.7niiwxzppwZp==−−+
    一、问题背景与重述 1.1 背景分析 金融活动是国家经济活动中的一个重要领域。金融交易的频繁度是衡量国家经济繁 荣水平的重要指标，因此必须保证金融市场的正常有序运转。随着国家经济发展，越来 越多的生产生活领域与金融业产生了联系，改革开放后，我国经济运行中的各类风险逐 渐明显并集中体现在金融市场上。为使国家经济持续健康发展，必须通过各种金融经济 政策对其进行规范调整，降低金融风险发生的可能，促进经济平稳。资产管理业务是金 融系统的重要组成部分，而公募基金又是典型的资产管理形态。 根据各类研究、探讨资料显示，公募基金具有投资项目明确易估值、信息透明度高； 基金财产独立性强、各类监管制度严格；服务费和固定管理成本低三大基本特征，因此 更受欢迎并发展迅速，且快速聚集了大量的资金。各基金公司在股票市场上的投入和资 金配置应当进行合理规划和计算，避免金融市场震荡，导致风险提高。目前国内针对公 募基金的资产配置问题主要研究的是基于基金公司的长远发展角度该如何配置以及整 体基金市场环境和行情下该如何选择分配份额等问题。 1.2 问题重述 本文通过建立数学模型，解决以下问题： 1.对于给出的 2019 年十家公募基金公司在股市中的一部分资产配置信息，建立合适的 数学模型，分析不同公司间资产配置策略的相似性； 2.将所有基金的持股市值总和作为初始财富，建立合适的数学模型，求解出以投资效用 最大化为目标的投资组合策略； 3.在与 2019 年的资产配置策略相同的前提下进行投资，建立合适的模型求解 2020 年各 个公司在 95%置信水平下的风险价值并排序； 4.要求所有样本基金公司组成的系统在 2020 年的投资效用最大化，风险价值最低，根 据这两个目标建立合适的数学模型，求解出最优的股票投资组合策略，并给出投资效 用和风险价值。 二、问题分析 2.1 对于问题一的分析 针对问题一，需要分析不同公司之间资产配置策略的相似性，需要先分别求出不同 公司对于不同股票的侧重程度，然后根据侧重程度进行聚类分析，计算公司策略的相似 程度，最终求解出冉公司之间资产配置的相似性。 2.2 对于问题二的分析 针对问题二，由于所给的数据中存在缺失值问题，因此需要先补全数据，然后在根 据计算投资效用最大化给出相应的约束条件，并建立相关的模型进行求解，得出最优的 股票投资组合策略。 2.3 对于问题三的分析 针对问题三，要度量各个公司的风险价值，需要按照 2019 年的资产配置策略进行 1
    投资，将需要的数据直接代入到求解投资组合风险价值的公式中即可求出，然后在按照 一定的顺序进行排序。 2.4 对于问题四的分析 针对问题四，由于投资效用的并不是一个明确可以计算的对象，因此可以选择一个 代理变量代表投资效用从而进行分析，将投资效用和风险价值进行组合作为目标，然后 给出相应的约束条件，分析并求出最终结果。 三、模型假设 结合本题的实际，为确保模型求解的准确性和合理性，本文排除一些因素的干扰， 提出以下几点假设： 1.假设不考虑交易成本与税收； 2.假设资产是无限可分的； 3.假设股票不允许卖空。 为便于问题的求解，本文给出以下符号说明： 四、符号说明 符号 说明 协方差矩阵 股票收益率 股票价格 投资占比 风险价值 置信水平 畸变程度 五、模型的建立与求解 经过以上的分析和准备，本文将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建 立过程。 5.1 问题一模型的建立与求解 本题采用聚类模型来分析不同公司之间策略的相似性，由于事先并不清楚需要划分 的类别数量，考虑到层次聚类模型不需要人为地确定聚类数量，可以减小误差，因此本 文选择层次聚类模型。 层次聚类算法是基于各个节点之间的距离大小从而进行聚类的一种方法，距离的大小按 照有小到大分别对应着相似性的由低到高。 2 GRpixVaRJ
    5.1.1 模型的建立步骤 算法流程如下： 图 5-1 层次聚类算法流程图 5.1.2 层次聚类模型的建立与求解 （a）求出不同公司对于不同股票的持股占比 汇总如下表所示： 股票 1 表 5-1 持股占比 股票 2 股票 3 0.150172664 0.114563726 0.105916491 0 0 0.080814247 …… 0 0 0 公司 A 公司 B 公司 J ...... 股票 57 0 0 0.04273 完整表格见附录 3 ()11,2,,===iniiaxina
    （b）利用软件 SPSS 进行分析，画出聚类谱系图 由于单位一致，因此可以跳过标准化处理直接济宁分析，类与类之间的聚类方法采 用间平均连接法（5-1），点与点之间的距离的计算采用闵可夫斯基距离法（5-2）。 （5-1） （5-2） （ ） 图 5-2 谱系图 由上述谱系图可知按照不同的标准 10 个公司可以换分为不同的种类。 （c）估计聚类数量 采用肘部法则对聚类数量进行估计，用 表示第 k 个类，第 k 类的畸变程度为： 所有类的总畸变程度（聚合系数）： 4 ()1234,4ddddDxy+++=()1234,,,,（表示与y两类的距离，分别表示两类间点的距离）Dxyxdddd()11,ppnpqiDpqxx==−(),,Dpqpq表示两点间的距离kC2−kijiCxx21==−kKijKiCJxx
    将求出的结果利用 excel 做成图如下所示： 系数 0.500 0.450 0.400 0.350 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图 5-3 聚合系数与聚类数 k 关系图 根据聚合系数折线图可知，k 值从 1 到 5 时，畸变程度变化最大，超过 5 以后畸变 程度变化降低，因此肘部就是 5，因此可以将类别数设置为 5。 5.1.3 结论分析 图 5-4 聚类结果 因此按照 5 个类别对谱系图进行划分，可以得到，公司 E，公司 J，公司 D，公司 5
    B，公司 H，公司 I 为一类，即这些公司之间资产配置策略的的相似性较高，公司 F，公 司 C，公司 G，公司 A 分别为一类，即与别的公司之间资产配置策略不存在较高的相似 性。 5.2 问题二模型的建立与求解 由于本题所涉及到的数据量较大，为了方便之后的计算，只选择对 2019.1.2- 2019.1.31 的数据进行分析。 5.2.1 缺失数据的补全 题目所给出的数据存在缺失情况，因此需要先补全数据，由于三次样条插值具有计 算简单，有很好的稳定性与收敛性，准确等优点，本题选择采用三次样条插值算法来进 行缺失数据的求解，可直接利用软件 MATLAB 进行求解。结果如下： 2019-1-2 2019-1-3 2019-1-4 2019-1-5 2019-1-31 表 5-2 缺失的数据 股票 1 8.28 7.94 8.08 8.2575 10.26 股票 2 25.65 25.32 25.91 26.5799 …… 30.03 股票 3 11.5 11.27 11.47 11.616 12.34 …… 股票 57 59.8 56.98 57.1 57.304 54.5 （由于数据量过大且无太大作用，为了版面美观因此不详细列出。） 5.2.2 模型的建立与求解 本题采用改良之后的均值-方差模型来求解最优投资组合策略，由于最终投资组合 策略与初始财富无太大关系，只与不同股票投资比重有关，因此初始财富可以先不同分 析。 本题涉及到 57 种股票，设 天的 股票价格，第 种股票在第 天的收益率 为： 第 种股票的收益率 为： 6 ()()1,2,571,2,,30itpiitt==表示第，中股票在第ititR()1ititititppRp−−=iiR11TiittRrT==()30T=
    的期望 为： 记 协方差矩阵 为： 设 表示对于第 种股票的投资比例，有 设 为分量全为 1 的 n 维列向量，则 （n=57） 因此将所有投资组合之后的收益率在第 天的收益率 为： 投资组合的期望收益率 为： 其均值 为： 方差 为： 7 iRir()iirER=()12,,,TnRRRR=()12,,,Tnrrrr=G()ijnnG=(),ijijCOVRR=(),ijijijCOVRRERRERER=−ixi1ix11niix==e1Tex=ttR1==ntiitiRxRpR1==npiiiRxrprTprRx=22TxGx=
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