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Handbook of MRI Pulse Sequences中文版（第一章）.doc

发布时间：2022-06-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.67M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    1.1 傅里叶变换 傅里叶变换（FT）是一种数学运算，它产生于信号的频谱内容（Bracewell 1978）。以法国数学家 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)命名。如果一个信 号由一个单一震荡频率组成（例如 163Hz），那么它的 FT 将在这个频率包含一个 峰值（图 1.1a）。如果这个信号由多种频率叠加而成，FT 运算本质上提供了频谱 内容的直方图(图 1.1b)。例如，考虑以下的物理模拟。假设，钢琴上的几个键同 时被敲击，对由此产生的声音进行采样和数字化。信号的 FT 将提供哪个键被敲 击，以何种强度敲击的信息。 在实际的 MR 数据重建中，FT 是无处不在的，它也存在于 MR 过程的理论 分析中。这是因为横向磁化的物理演化非常自然地被 FT 所描述。在 MRI 中，我 们通常使用复傅里叶变换，复傅里叶变换使用复指数而不是单一的正弦或余弦傅 里叶变换。做出这种选择是因为复指数能方便的表示磁化矢量的运动。表 1.1 回 顾了复指数的很多基本性质。通常，一个级操作（如|Z|）在像素乘像素基础上， 将 FT 输出复数转化为正实数，这对像素强度的显示更方便些。 图 1.1 FT 的粗略描述 （a） 如果一个时域信号包含一个单一频率的音调，它的 FT 将在那个频率包含 一个峰值，以 163Hz 为例 （b） 如果这个信号包含两个音调，它的 FT 展现第二个峰值。所示情况下，15Hz 的幅值是 163Hz 幅值的四分之一
    对于一个连续变量的函数，它的 FT 被一个包含积分的过程计算得到。这个 连续 FT 在 MRI 的理论工作中得到广泛应用。然而，实际的 MRI 信号，在有限的 离散时间点被测量，被采样，所以，离散傅里叶变换（DFT）被用于实际的图像 重建中。对于 DFT，FT 的积分运算被有限求和代替。快速傅里叶变换（FFT）（Cooley and Tukey 1965;Brigham 1988）是 DFT 的一种重要的特殊情况。FFT 是一种计 算 DFT 信号的运算，DFT 信号的长度是特殊值（最典型的是等于 2 的幂次方，例 如，256=2^8）。正如名字所隐含的，FFT 比标准 DFT 的运算速度快。 1.1.1 连续傅里叶变换及其反变换 设 g(x)是一个实变量函数。g(x)的输出可以包含复数值。g(x)的复数傅里 叶变换是另一个函数，称为 G（k）:
    两个实变量 x 和 k 被称为傅里叶对，代表一对 FT 域。MR 中经常用到的域对 是（时间，频率）和（距离，K 空间）。如果代表这两个域的一对变量的物理单 元是相乘的，结果通常是量纲。例如，对于时间-频率，乘积是： 公式（1.1）中的两个函数 g(x)和 G（k）被称为傅里叶变换对。知道这个 变换对的其中一个就足以重构出另一个。如果已知 G（k），那么 g(x)就可以由 反傅里叶变换（IFT）得到： IFT 可以抵消 FT 的效果，如下： 相反亦然： 请注意，公式（1.4）和（1.5）的右侧只是简单的 g(x)和 G（k），并没有 各自乘上任何比列因子。这是因为公式（1.3）中 IFT 的定义被适当的归一化。 归一化的进一步讨论将在 1.1.10 中提及。 注意，在公式（1.1）和（1.3）中， 2因子出现在参数的幂上。如果域变量被 时间和角频率代替（，弧度/秒），那么 FT 的形式将有所不同。FT 及其反变换变为：
    注意，在公式（1.6）中，在指数上缺少 2因子，在 FT 前面乘上额外的归 一化因子。公式（1.6）可以改写成一种更对称的形式，在 FT 和 IFT 的定义中， 在分母上，通过将 2分裂成等同于 2 因子。另外，我们可以利用一个熟悉的 变换来改写公式（1.6），角频率改写成标准频率 f (cycles/second 或者 hertz): 将公式（1.7）带入公式（1.6）得到对称的 FT 对： 和 在这本书中，我们主要应用这种形式（ 2因子在指数上）的 FT 和 IFT，例如公 式（1.1）和（1.8）。 1.1.2 多维傅里叶变换与可分 在 MRI 中，经常出现多维傅里叶变换。例如，两个变量的函数的两维傅里叶 变换（2D-FT）被定义为：
    这里， ( , x y   r  k 和 (  ) , k k x y ) 是矢量。2D-FT 的反变换被定义为: 公式（1.10）和（1.11）可以容易的推广到三维或者多维。 如果函数 g 可在 x 和 y 分离为: 那么，FT 也是可分离的： 一个可分离的二维函数例子是高斯函数： 对比地： 是不可分离的。 1.1.3 傅里叶变换的性质 FT 的一个重要性质是移位定理。在一个域中的坐标移位或者偏移，在另一 个域中，等于信号乘上一个线性相位斜坡，反之亦然：
    FT 的另一个有用性质是，在一个域中的卷积等于在另一个域中简单的相乘。 如果 ( ) f x 和 ( )g x 是两个函数，那么卷积被定义为： 和 帕斯瓦尔定理（以 Marc-Antoine Parseval des Chesnes,1755-1836,法国 数学家）是第三个常用的 FT 性质。它描述为，如果 f 和 g 是两个函数，它们的 傅里叶变换分别为 F 和 G，那么， 这里，*表示复共轭。假设公式（1.19）中 g=f,将产生一种特别有用的情况， 它显示 FT 操作隐藏的归一化： 表 1.2 提供了几种在 MRI 中常用的一维傅里叶变换对。如果变量可分离，这 些关系可应用到多维傅里叶变换。 1.1.4 离散傅里叶变换及其反变换 在 MRI 中，采样过程提供了有限的（如 256 个）复数数据点，而不是一个连 续变量的功能。因此，MR 成像通常使用 DFT 重建。假设有 N 个复数数据点：
    DFT 的第 J 个元素被定义为： 注意，J=0 代表 DFT 的直流，或者零频率元素（DC 采用电气工程中直流的缩 写）。公式（1.22）中的指数因子有时被称为旋转因子。离散傅里叶反变换的第 K 个元素被定义为： 公式（1.23）中的1/ N 因子应归一化的要求，所以， 这类似于公式（1.6）-（1.9）中复傅里叶变换归一化因子 2的操作，公式 （1.23）中归一化因子1/ N 可以从反离散傅里叶变换转移到离散傅里叶变换。另 外，在 DFT 和 IDFT 中，它有时对称分布为等于1/ N 。你最好核对一下你所使 用的特定数值程序的说明书。公式（1.24）中归一化因子1/ N 被需要是因为： 尽管 DFT 是通常数值计算，但是它确实有些有用的分析性能，表 1.3 总结 了这些特性。
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