实习指导 --《计量地理学》（徐建华，华东师范大学） §11. 利用 Matlab 编程进行马尔可夫预测 利用 Matlab 和 SPSS 学软件进行 Markov 分析是非常方便的，只需要进行相 应的矩阵乘法即可。 1.原始数据 以下我们以教材第 3 章第 7 节中的例子，进行分析计算。 例如，考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。 记 E1 为“丰收”状态，E2 为“平收”状态，E3 为“欠收”状态。表 3.7.1 给出 了该地区 1965～2004 年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成 变化的状态转移概率矩阵。 表 3.7.1 某地区农业收成变化的状态转移情况 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1965 1 E1 1975 11 E3 1985 21 E3 1995 31 E1 1966 2 E1 1976 12 E1 1986 22 E3 1996 32 E3 1967 3 E2 1977 13 E2 1987 23 E2 1997 33 E2 1968 4 E3 1978 14 E3 1988 24 E1 1998 34 E1 1969 5 E2 1979 15 E1 1989 25 E1 1999 35 E1 1970 6 E1 1980 16 E2 1990 26 E3 2000 36 E2 1971 7 E3 1981 17 E1 1991 27 E2 2001 37 E2 1972 8 E2 1982 18 E3 1992 28 E2 2002 38 E3 1973 9 E1 1983 19 E3 1993 29 E1 2003 39 E1 1974 10 E2 1984 20 E1 1994 30 E2 2004 40 E2 2. 马尔可夫预测的基本原理 （1）首先计算状态转移概率矩阵 假定某一个事件的发展过程有 n 个可能的状态，即 E1，E2， …，En。记 ijP 为从状态 转变为状态 的状态转移概率，则矩阵 iE jE 70 

实习指导 --《计量地理学》（徐建华，华东师范大学） P = P 11 P 21 M P n 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ P 12 P 22 M P n 2 L L M L P n 1 P 2 n M P nn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 从表 3.7.1 中可以知道，在 15 个从 E1 出发（转移出去）的状态中，有 3 个 是从 E1 转移到 E1 的（即 1→2，24→25，34→35），有 7 个是从 E1 转移到 E2 的（即 2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40），有 5 个是 从 E1 转移到 E3 的（即 6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）。 所以 P 11 = EP ( 1 P 12 = EP ( 1 P 13 = EP ( 1 =→ E 1 ) EEP ( 1 1 ) = 3 15 = .0 2000 =→ E ) 2 =→ E ) 3 EEP ( 1 2 ) = EEP ( 1 3 ) = 7 15 5 15 = .0 4667 = .0 3333 按照上述同样的办法计算可以得到 P 21 = EP ( 2 P 22 = EP ( 2 P 23 = EP ( 2 P 31 = EP ( 3 P 32 = EP ( 3 P 33 = EP ( 3 =→ E 1 ) EEP ( 1 2 ) = 7 13 = .0 5385 =→ E ) 2 =→ E ) 3 =→ E 1 ) =→ E ) 2 =→ E ) 3 EEP ( 2 2 ) = EEP ( 3 2 ) = 2 13 4 13 = .0 1538 = .0 3077 EEP ( 1 3 ) = 4 11 = .0 3636 EEP ( 2 3 ) = EEP ( 3 3 ) = 5 11 2 11 = .0 4545 = .0 1818 71 

实习指导 --《计量地理学》（徐建华，华东师范大学） 所以，该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为 P = .0 .0 .0 2000 5385 3636 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ .0 .0 .0 4667 1538 4545 .0 .0 .0 3333 3077 1818 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ （2）进行预测计算 状态概率 π j (k) 表示事件在初始（k＝0）状态为已知的条件下，经过 k 次状 态转移后，在第 k 个时刻（时期）处于状态 的概率。根据概率的性质，显然 jE 有： n ∑ j 1 = j kπ 1)( = 从初始状态开始，经过 k 次状态转移后到达状态 这一状态转移过程，可 jE 以看作是首先经过（k-1）次状态转移后到达状态 i (E i ,2,1 L= n ), ，然后再由 经 iE 过一次状态转移到达状态 。根据马尔可夫过程的无后效性及 Bayes 条件概率 jE 公式，有： π j k )( n = ∑ i 1 = π j ( k − )1 P ij ( j ,2,1 L= n ), 若记行向量 π k )( = [ ππ 2 ), k ( 1 ( k ), , nπ L ( k )] ，则由（3.7.7）式可以得到逐次计 算状态概率的递推公式： = = )1( )2( )0( ππ ⎧ ⎪ )1( π π ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ π ⎩ M ( π k )( = k P P = π )0( P 1 − )1 P = L = π )0( kP 72 

实习指导 --《计量地理学》（徐建华，华东师范大学） 式中： π )0( = [ ππ 2 ),0( 1 ),0( , nπ L )]0( 为初始状态概率向量。 3.利用 Matlab 编程进行马尔可夫预测计算 以 2004 年的农业收成状态为初始状态，预测今后 11 年（即 2005－2015） 中每一年的农业收成状态。 源程序（markov.m），如下： clear clc % 读入状态转移概率矩阵 p=[0.2000 0.4667 0.3333;0.5385 0.1538 0.3077;0.3636 0.4545 0.1818]; % 读入初始状态概率向量（2004 年的农业收成状态） x=[0,1,0]; % 预测今后 11 年（即 2005－2015）的农业收成状态 for i=1:11, y=x*p^i end 程序运行后，输出结果如下： y = 0.5385 0.1538 0.3077 y = 0.3024 0.4148 0.2827 y = 0.3867 0.3334 0.2798 y = 0.3586 0.3589 0.2823 73 

实习指导 --《计量地理学》（徐建华，华东师范大学） y = 0.3677 0.3509 0.2813 y = 0.3648 0.3534 0.2817 y = 0.3657 0.3526 0.2815 y = 0.3654 0.3529 0.2816 y = 0.3655 0.3528 0.2815 y = 0.3654 0.3528 0.2815 y = 0.3654 0.3528 0.2815 74