2017 陕西高考文科数学真题及答案
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合
A
1 2 3
B
,, ,
2 3 4
,, , 则
A
B
=
A.
1 2 3,4,,
B.
1 2 3,,
C.
2 3 4,,
D.
1 3 4,,
2.(1+i)(2+i)=
A.1-i
B. 1+3i
C. 3+i
D.3+3i
3.函数
f
x =
s i n ( 2 x + )
的最小正周期为
3
A.4
B.2
C.
D.
2
b
4.设非零向量 a ,b 满足 + = -
a 则
a
b
A a ⊥b
B.
a
= b
C. a ∥b
D.
a
b
5.若 a >1,则双曲线
2
2
x
a
2
y
-
1 的离心率的取值范围是
A.
2 +( , )
B.
2 2( ,) C.
2(1, ) D. 1 2( ,)
6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一
平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为
A.90
B.63
C.42 D.36
7.设 x、y满足约束条件
2 +3
3 0
x
y
3
2
3 0
y
x
3 0
y
。则 2
z
x
的最小值是
y
A. -15
B.-9
C. 1
D 9
8.函数
( )
f x
2
ln(
x
2
x
8)
的单调递增区间是
C.(1, + )
D. (4, + )
A.(- ,-2) B. (- ,-1)
9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有 2
位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后
甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则
A.乙可以知道两人的成绩
B.丁可能知道两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
10.执行右面的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 S=
A.2
B.3
C.4
D.5
11.从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽得的
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A.
1
10
B.
1
5
C.
3
10
D.
2
5
12.过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方),l为 C 的
准线,点 N 在 l上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为
A. 5
B. 2 2
C. 2 3
D. 3 3
二、填空题,本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数
f
x
=2
cos
x
sin
x 的最大值为
x 是定义在 R 上的奇函数,当 x
时,
f
- ,0
f
14.已知函数
则 2 =
f
.
x
2
x
3
2
x ,
15.长方体的长、宽、高分别为 3,2,1,学|科网其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积
为
16.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B=
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 至 21 题为必考
题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a3+b2=2.
(1) 若 a3+b2=5,求{bn}的通项公式;
(2) 若 T=21,求 S1
18.(12 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=
1
2
AD, ∠BAD=
∠ABC=90°。
(1) 证明:直线 BC∥平面 PAD;
(2) 若△PAD 面积为 2 7 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积。
19(12 分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网
箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 学.科网其频率分布直方图如下:
(1) 记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”,估计 A 的概率;
(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3) 根据箱产量的频率分布直方图,对两种养殖方法的优劣进行比较。
附:
P(
k
2
K
(
)
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
2
(
)
n ad bc
)(
)
a b c d a c b d
)(
)(
20.(12 分)
设 O为坐标原点,动点 M在椭圆 C
上,过 M作 x轴的垂线,垂足为 N,点 P
满足
(1) 求点 P 的轨迹方程;
(2) 设点 在直线 x=-3 上,且
.证明过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左
焦点 F.
(21)(12 分)
设函数 f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)当 x 0 时,f(x) ax+1,求 a的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 C1
的极坐标方程为
(1)M为曲线 C1 的动点,点 P在线段 OM上,且满足
迹 C2 的直角坐标方程;
OM OP = ,求点 P的轨
16
(2)设点 A的极坐标为
π2
( , ),点 B在曲线 C2 上,求△OAB面积的最大值。
3
23. [选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知
(1)
=2。证明:
:
(2)
。
绝密★启用前
一、选择题
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题答案
1.A
2.B 3.C
4.A
5.C
6.B
7.A
8.D
9.D
10.B
11.D
12.C
二、填空题
13.
14. 12
15.
14π 16.
三、解答题
17.解:
设 的公差为 d, 的公比为 q,则
,
.由
得
(1) 由
得
d+q=3.
①
②
联立①和②解得
(舍去),
因此 的通项公式
(2) 由
得
.
解得
当
当
时,由①得
,则
时,由①得
,则
.
.
18.解:
( 1 ) 在 平 面 ABCD 内 , 因 为 ∠ BAD= ∠ ABC=90 ° , 所 以 BC ∥ AD. 又 BC
平面
PAD
,
AD
平面
PAD
,故 BC∥平面 PAD.
(2)去 AD 的中点 M,学 科&网连结 PM,CM,由
AB BC
1
2
AD
及 BC∥AD,∠ABC=90°
得四边形 ABCM 为正方形,则 CM⊥AD.
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 PM⊥AD,PM
⊥底面 ABCD,因为CM
底面
ABCD
,所以 PM⊥CM.
设 BC=x,则 CM=x,CD= ,PM= ,PC=PD=2x.取 CD 的中点 N,连结 PN,则 PN⊥CD,所
以
因为△PCD 的面积为 ,所以
,
解得 x=-2(舍去),x=2,于是 AB=BC=2,AD=4,PM= ,
所以四棱锥 P-ABCD 的体积
.
19.解:
(1)旧养殖法的箱产量低于 50kg 的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62
因此,事件 A 的概率估计值为 0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
62
34
38
66
K2= 200
66-34 38
100 100 96 104
(62
)
≈
15.705
由于 15.705>6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在 45kg 到 50kg 之间,且新养殖法的箱
产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量
较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
20.解:
(1)设 P(x,y),M(
),则 N( ),
由
得
.
因为 M(
)在 C 上,所以
.
因此点 P 的轨迹为
.
(3) 由题意知 F(-1,0),设 Q(-3,t),P(m,n),则
,
.
由
得-3m-
+tn-
=1,学&科网又由(1)知
,故
3+3m-tn=0.
所以
,即
.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ
的直线 l 过 C 的左焦点 F.
21. 解
(1)f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令 f’(x)=0 得 x=-1- 2 ,x=-1+ 2
当 x∈(-∞,-1- 2 )时,f’(x)<0;当 x∈(-1- 2 ,-1+ 2 )时,f’(x)>0;当 x∈
(-1- 2 ,+∞)时,f’(x)<0
所以 f(x)在(-∞,-1- 2 ),(-1+ 2 ,+∞)单调递减,在(-1- 2 ,-1+ 2 )单调递
增
(2) f (x)=(1+x)(1-x)ex
当 a≥1 时,设函数 h(x)=(1-x)ex,h’(x)= -xex<0(x>0),因此 h(x)在[0,+∞)单调