2014年重庆理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2014 年重庆理工大学数学分析考研真题 A 卷一. 求极限（共 8 小题,共 30 分） 1. lim 0 x  sin x 1 1 x   ；(3 分) 2. lim 1 sin n     n 1 n    ；(3 分) 3. 计算 lim n  n n 2  n , 并用数列极限的定义加以证明；(4 分) 4. lim n  1 2   n  ；(4 分) n 3 5. lim 1n n   ；(4 分) 1 n 6. lim 1 x  1   x  1  1 ln x    ；(4 分)

7. 1 lim  0   1 2 x   dx ；(4 分) 8. lim ( , ) x y  (0,0) 2 xy 2 x sin y  x 2 ；(4 分) 二. 求 ,a b 的值,使得函数 ( ) f x     2 , x ax b  , x x   1, 1, 在 1x  处连续且可导。（12 分）三. 计算题(共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. 求函数 ( ) f x  1  x 的导函数； 2. 求函数 ( ) f x x x 的导函数； 3. 求函数 ( ) f x  arcsin 1 2  的导函数； x 4. 求函数 ( ) f x  (2 6 (1 3 ) x x    4 ) (1 2 ) x 在 0 x  处的导数； 2

5. 求含参量方程   x  y  t e e t cos sin t t 所确定的函数 y  ( ) f x 的导数 2 dy d y 2 dx dx , ; 6. 求不定积分 x x 4 4 dx ； 7. 求不定积分 5 lnx  xdx ； 8. 求定积分 1  0 xe dx 。四. 求函数 y  32 x  6 x  的极值点, 极值, 单调区间, 凸性区间及拐点。 (14 分) 9 五. 说明方程 x  2 y   z 1 sin 2 z  0 该函数的一阶偏导数。(12 分) 在点 (0,0,0) 附近可决定隐函数 z  ( , z x y ) ,并计算六. 解答题.(共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分) 1. 用 Cauchy 收敛准则证明级数   n  0 n sin 2 n 2 收敛；

2. 计算瑕积分   0 1 ln  nx dx 。七. 计算幂级数   n  0 n 3 n ( 2)   n n x 的收敛半径, 收敛区间及收敛域。(10 分) 八. 已知 I   D e 2  y dxdy  1  0 2  y 1  dx e x dy ，求 I 的值。(10 分) 九. 设函数 ( ) f x 在闭区间 [ , ]a b 上连续, 在开区间 ( , )a b 内可导, ( ) 0, f b  证明存在  ( , )a b , 使得 '( )  （8 分） f  f a ( )  .   十. 若数列 na 收敛, 且 lim n a n   , 则 a lim n  a 1  a 2   a n  n  a 。( 10 分)

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