《线性系统理论》课程论文 二级直线倒立摆系统建模与系统仿真 摘 要： 倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、不稳定的系统。由于倒立摆是许多工程控制问题的抽 象模型，其控制方法可以在实际控制系统中推广，如直立行走机器人的平衡控制、导弹拦截控制等等，因此，倒 立摆控制方法的研究具有重要的实际应用意义。本论文对二级直线倒立摆系统模型包括控制算法与平衡条件进行 研究，采用建立牛顿运动学的方法进行模型分析，并对模型进行系统仿真。 关键词： 二级倒立摆，牛顿运动学，能观性，能控性，稳定性 Abstract: Inverted pendulum is a high-order, nonlinear, fast, multivariate, unstable system. As the inverted pendulum is an abstract model for many engineering control problems, its control method can be popularized in practical control syste ms, such as balance control of upright walking robots, missile interception control, etc. Therefore, the research on the co ntrol method of inverted pendulum has an important practical application significance. In this thesis, the system model of the second-order in-line inverted pendulum is studied, including the control algorithm and the equilibrium condition, and the simulation of the model is carried out. Key words：The double inverted pendulum ；Newton kinematics；Observability；Controllability； Stability 1 引言 倒立摆系统被誉为“控制领域的一颗明珠”， 其最初是在二十世纪五十年代，由美国麻省理工学 院(ⅪT)电机系的研究者设计发明的。倒立摆系统是 典型的非线性、强耦合性、多变量的绝对不稳定欠 驱动系统，一级倒立摆的原理与火箭发射过程中助 推器类似，二级倒立摆的原理与双足机器人类似， 在控制上有相当的难度。倒立摆可用以研究控制理 论中诸多抽象概念如：系统稳定性、能控性、能观 性、收敛速度、随动性、跟踪问题等；也可作为研 究智能控制、变结构控制、仿人控制、云模型控制 等非线性控制算法的理想实验平台。此外，倒立摆 控制系统通常使用伺服电机驱动器、运动控制器以 及各种传感器构成闭环系统，整个系统涉及计算机 控制、嵌入式理论、伺服技术、运动控制、传感器 技术、数据融合技术等多个学科领域，是一个综合 性的课题。随着研究的不断深入，逐渐演化出多种 多样的倒立摆，并且级数不断增加，因此，设计或 改进控制算法来控制不同类型、不同级数的倒立摆 是一项具有极大挑战的课题，受到了国内外控制领 域专家的高度重视。 由于最初的倒立摆是火箭助推器以及双足机器 人等工程实际系统的抽象模型，因此理论研究成果 可以广泛应用于工程实践。目前，研究所得的方法 与技术已经被应用到多个领域，如半导体与精密仪 器加工、机器人控制技术、火箭发射中的垂直度控 制、卫星飞行中的姿态控制等。现今国内外广为流 行的两轮智能平衡车，其模型就近似于一级倒立摆， 可以将理论研究成果广为应用，有巨大的实际意义 与商业价值。可见，对倒立摆的研究既有理论意义 又有重要的工程意义。正因如此，倒立摆系统是控 制领域经久不衰的课题。 而对直线倒立摆的研究也可以分为以下几个方 向：(1)维持其各级摆体稳定在垂直向上的不稳定平 衡位置，称之为平衡控制；(2)控制各级摆体由垂直 向下的稳定的平衡位置过渡至并稳定在垂直向上的 不稳定的平衡位置，称之为自摆起控制；(3)控制倒 立摆的转动臂做周期运动，与此同时保持各级摆体 垂直向上，称之为旋转平衡控制。 2 系统建模与仿真 2.1 系统建模 系统建模可分为实验建模和机理建模两种形 式，实验建模是通过实验的方法将一些已知的输 入信号传送给研究对象，使用传感器检测输出的 信号，运用数学的方法建立输入与输出之间的关 系，建立系统的数学模型。机理建模是在了解研 究对象已知的运动情况的前提下，建立研究系统 内部的输入变量与各状态变量之间的关系。本文 采用的是机理建模方法。 2.1.1 直线二级倒立摆系统建模 对于直线二级倒立摆系统，由于摆杆的数量不 算多，系统受力还在人工能分析的范围内，受力分 析也是能够通过画受力图的方法标出，计算量不算 大，因此本文本章节中采用建立牛顿力学运动方程 的方法建模，通过清晰的受力分析图，可以清楚的 看出两摆杆之间以及摆杆与小车之间的受力情况， 这也能让读者对其为何能平衡有了更加准确的了 解。 二级直线倒立摆系统由下部分组成：一条光滑 

导轨和可以在导轨上来回移动的小车，材料为铝的 摆杆绞接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级 摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面 运动，一级摆杆和二级摆杆的规格相同。小车的驱 动系统由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组 成，小车相对参考点（即导轨的中心位置）相对位 移。直流伺服电机产生驱动力 F 使小车根据摆角的 变化而在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的 平衡。系统模型如图 2-1 所示。 下摆转动方向力矩平衡，其旋转方程 然后进行上摆的受力分析。 上摆的重心在水平方向受力平衡方程 上摆在垂直方向受力平衡方程为 (3) (4) (5) 上摆转动方向力矩平衡，其旋转方程上摆转动方向 力矩平衡，其转动方程为 整理的二级小车倒立摆的动力学方程 (6) 图 2-1 二级直线倒立摆系统模型 系统的各器件受力分析如图 2-2 所示。 图 2-2 二级直线倒立摆系统受力分析图 各参数定义表 2-1 所示。 表 2-1 倒立摆系统参数表 以上三式是二级小车倒立摆的动力学方程。联 立这 3 个方程，得矩阵形式的系统非线性数学模型 为 其中， (10) 首先进行小车的受力分析 由牛顿力学方程可得小车的水平方向的运动方 程为 (1) 其中， 其次进行下摆的受力分析。 由下摆的受力分析图，利用牛顿第二定律和动 量矩定理得下摆的运动学和动力学方程重心在水平 方向受力平衡方程为 考虑到二级倒立摆系统的最终目的是平衡，因 此可以进行简化处理，即对所得到的状态方程在平 衡点附近进行必要的线性化处理。 令 ,则有 (2) 则线性模型简化为 

其中， 整理上式得 设 系统的状态方程为 其中 (11) (12) 2.2 系统仿真结果 用电动机给小车一个动力，之后小车开始运动， 上下摆杆便随着小车的运动而运动起来，本文所做 的建模仿真工作便是观察小车、下摆杆、上摆杆三 者的运动情况，采用的方法是模拟运动情况观察小 车位移、上摆杆摆动角度、下摆杆摆动角度来确定 运动情况。仿真结果如图 2-3 所示。 图 2-3 二级直线倒立摆系统仿真图 (13) 2.3 系统分析 从上式可以看出该系统是单输入多输出系统。 根据二级小车倒立摆数据模型得到状态方程，将 表中的倒立摆机械参数代入数学模型的参数 A,B,C 中，可得 考虑一个系统，输入和输出构成系统的外部变 量，状态属于反映运动行为的系统内部变量。从物 理直观性来看，能控性研究系统内部状态“是否可 由输入影响”的问题，能观性研究系统内部“是否 可由输出反映”的问题。如果系统内部每个状态变 量都可由输入完全影响，则称系统的状态为完全能 控。如果系统内部每个状态变量都可由输出完全反 映，则称系统的状态为完全能观。 对 n 维连续时间线性定常系统判断其能控性， 我们可以构造能控性矩阵，判断其秩是否满足： （14） 

对于 n 维连续时间线性定常系统判断其能观 测性，我们可以构造能控观测性矩阵，判断其秩是 否满足： （15） 对于 n 维连续时间线性定常系统判断其是否 渐进稳定，我们可以判断系统矩阵 A 的所有特征值 均具有负实部，即系统矩阵的特征值是否满足： （16） 根据式 14-16 通过 MATLAB 编写系统分析代码 如下： A=[0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 -1.5576 0.0583 -70.5910 0.0179 -0.0038; 0 46.3474 -16.5787 185.9764 -0.6490 0.2320; 0 -60.5989 56.5263 -25.4433 1.1249 -0.5797]; B=[0;0;0;4.2785;-11.2721;1.5421]; C=[1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1]; D=[0 0 0]; OB=obsv(A,C); CO=ctrb(A,B); n=length(A); o=rank(OB); c=rank(CO); E=eig(A)'; j=length(E); for i=1:j if E(i)>= 0 S=('this system is unstabled'); i=j; else S=('this system is stabled'); end end if (o == n) && (c == n) disp ( strcat(S ,',controlled and observable ')) elseif (o == n) && (c ~= n) disp ( strcat(S ,'and observable，but uncontrolled ')) elseif (c == n) && (o ~= n) disp (strcat(S ,'and controlled ，but unobservable ')) else disp (strcat(S ,', unobservable and uncontrolled')) end 程序运行结果： 3 结 论 本文论述了直线二级倒立摆系统具有的特性及 其来由与应用，在广义坐标中使用牛顿运动学方法 建立了直线二级倒立摆系统的数学模型并且在自然 不稳定位置处进行线性化处理进而得到系统的线性 模型，然后根据其状态方程的各种判别矩阵分别判 别了稳定性、 能控性和能观性，判别结果表明该系 统是一个自然状态下的不稳定，但其线性系统完全 能控且能观的系统。 参考文献 (References) [1] 郑大 钟[编].线性 系统理论 [M].清华 大学出版 社， 2002. [2] 陈晓平，和卫星，傅海军编著.线性系统理论[M].机 械工业出版社 [3] 汤乐.倒立摆系统建模与控制方法研究.河海大学. 2013 [4] 张葛祥,李众立,毕效辉.三级倒立摆系统非线性模型 的建立.西北工学院 学报,2001,16(4):5-15. [5] 桑英军，范媛媛等.单级倒立摆的控制方法研究[J].控 制工程.2010，6(17):743-746. [6] 李新飞.基于极点配置的二级倒立摆最优控制器设计 [J].控制工程:2005:74-77. 标准编号，标准名称[S]. [7] 宋君烈,肖军,徐心和.倒立摆系统的 Lagrange 方程建 模与模糊控制[J].东北大报,2002,23(4):333-336.