1998 年贵州高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题共 65 分)
一.选择题:本大题共 15 小题;第(1)-(10)题每小题 4 分,第(11)-第(15)题每小题 5
分,65 分.在每小题给出四项选项,只一项符合题目要求的
新疆
王新敞
奎屯
(1) sin600º
(A)
1
2
(B) -
1
2
(C)
3
2
(D) -
3
2
(2) 函数 y=a|x|(a>1)的图像是
(3) 已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么 a的值是
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(4) 两条直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是
(A) A1A2+B1B2=0
(B) A1A2-B1B2=0
(C)
AA
2
1
BB
1
2
1
(D)
BB
1
2
AA
2
1
1
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(x≠0)
)
(5) 函数 f(x)=
( x≠0)的反函数 f-1(x)=
1
x
(A) x(x≠0)
1
x
(6) 已知点 P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[ 0,2π]内α的取值范围是 (
(C) -x(x≠0)
(x≠0)
(D) -
1
x
(B)
(A) (
(C) (
3
, )∪(
2
4
3
, )∪(
2
4
5
, )
4
5
3
, )
2
2
(B) (
(D) (
, )∪(
24
, )∪(
24
5
, )
4
,
3
4
)
(7) 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为
(A) 120º
(B) 150º
(C) 180º
(D) 240º
(8) 复数-i的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是
(
(
)
)
(A)
3 I
2
1
2
(B) -
3 I
2
1
2
(C) ±
3 I
2
1
2
(D) ±
(9) 如果棱台的两底面积是 S,S′,中截面的面积是 S0,那么
(A) 2
S
0
S
S
(C) 2S0=S+S′
(B) S0=
SS
(D)
S
2
0
2
SS
1
3 i
2
2
(
)
(10) 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士.不
同的分配方法共
(
)
(A) 6 种
(B) 12 种
(C) 18 种
(D) 24 种
(11) 向高为 H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V与水深 h的函数关系的图像如右图
所示,那么水瓶的形状是
(
)
(12) 椭圆
2
x
12
2
y
3
点 M的纵坐标是
=1 的焦点为 F1,点 P在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M在 y轴上,那么
(
)
(A) ±
3
4
(B) ±
3
2
(C) ±
2
2
(D) ±
3
4
(13) 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为
1
6
,经过这 3 个点的小
圆的周长为 4π,那么这个球的半径为
(
)
(A) 4 3
(B)2 3
(C) 2
(D)
3
(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为
(
)
(A)
5
1
2
(B)
2
52
2
(C)
15
2
(15) 等比数列{an}的公比为-
1
2
,前 n项的和 Sn满足
lim Sn=
n
1
a
1
,那么
2
52
2
的值为 (
)
(D)
1
a
1
(A)
3
(B)±
3
2
(C)
2
(D)
6
2
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.
(16) 设圆过双曲线
2
x
9
2
y
16
1
的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则
圆心到双曲线中心距离是__________
新疆
王新敞
奎屯
(17) (x+2)10(x2-1)的展开的 x10 系数为____________(用数字作答)
新疆
王新敞
奎屯
(18) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 A1B1C1D1 -ABCD中 , 当 底 面 四 边 形 ABCD满 足 条 件
____________时,有 A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考
试所有可能的情形
新疆)
奎屯
王新敞
(19) 关于函数 f (x)=4sin(2x+
3
)(x∈R),有下列命题
6
①y=f (x)的表达式可改写为 y=4cos(2x-
);②y=f (x)是以 2π为最小正周期的周期函
数;
③y=f (x)的图像关于点
6
0
,
对称;
④y=f (x)的图像关于直线 x=-
6
对称.
其中正确的命题的序号是______
新疆 (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.)
奎屯
王新敞
三.解答题:本大题共 6 小题;共 69 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(20) (本小题满分 10 分)
设 a≠b,解关于 x的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
21) (本小题满分 11 分)
在△ABC中,a,b,c分别是角 A,B,C的对边,设 a+c=2b,A-C=
3
,求 sinB的值.以
下公式供解题时参考:
sin
sin
sin2
,
sin
sin
2
cos
cos
cos
2
cos
,
cos
cos
sin2
sin
cos
2
2
2
2
cos
sin
2
2
,
2
.
2
(22) (本小题满分 12 分)
如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1 ⊥l2,点 N∈l1.以 A、B
为端点的曲线段 C上的任一点到 l2 的距离与到点 N的距离相等.若
△AMN为锐角三角形,|AM|= 17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当
的坐标系,求曲线 C的方程.
(23) (本小题满分 12 分)
已知斜三棱柱 ABC-A1 B1 C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC垂
直,∠ABC=90º,BC=2,AC=2 3 ,且 AA1 ⊥A1C,AA1= A1 C1.
(Ⅰ)求侧棱 A1A与底面 ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求侧棱 B1B和侧面 A1 ACC1 的距离.
(24) (本小题满分 12 分)
如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱.污水
从 A孔流入,经沉淀后从 B孔流出.设箱体的长度为 a米,高度为 b米.已知流出的水中
该杂质的质量分数与 a,b的乘积 ab成反比.现有制箱材料 60 平方米.问当 a,b各为多
少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).
(25) (本小题满分 12 分)
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(Ⅰ)求数列{bn}的能项 bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项 an =lg(1+
1
nb
1
2
lgbn+1 的大小,并证明你的结论.
),记 Sn是数列{an}的前 n项的和.试比较 Sn与
1998 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题 4 分,第(11)-(15)
题每小题 5 分.满分 65 分.
(1) D
(2) B
(3) C
(4) A
(5) B
(6) B
(7) C
(8) D
(9)
A
(10) B
(11) B
(12) A
(13) B
(14) C
(15) D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
(16)
16
3
(17) -5120
(18) AC⊥BD,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如 ABCD是正方形,菱形等
(19)①,③注:第(19)题多填、漏填的错填均给 0 分.
三.解答题:
(20)本小题主要考查不等式基本知识,不等式的解法.满分 10 分.
解:将原不等式化为
(a2-b2)x+b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2,
移项,整理后得 (a-b)2(x2-x) ≤0,
∵ a≠b 即 (a-b)2>0,
∴ x2-x≤0,
即 x(x-1) ≤0.
解此不等式,得解集 {x|0≤x≤1}.
(21) 本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用
三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.满分 11 分.
解:由正弦定理和已知条件 a+c=2b得
sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得
由 A+B+C=π,得
又 A-C=
3
,得
3
2
cos
=sinB,
sin2
B
.
CA
2
cos B
cos
)
=
,
2
sin2
sin(
CA
2
CA
2
B
2
∴
3
2
cos
∵ 0<
<
=2sin
B
2
cos
B
2
.
,
cos B
2
≠0,
B
2
2
3
4
B
2
B
2
∴sin
=
,
从而 cos
B
2
=
1
sin
2 B
2
=
13
4
∴ sinB=
3
2
13
4
=
39
8
(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本
思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.满分 12 分.
解法一:如图建立坐标系,以 l1 为 x轴,MN的垂直平分线
为 y轴,点 O为坐标原点.
依题意知:曲线段 C是以点 N为焦点,以 l2 为准线的抛线段
的一段,其中 A、B分别为 C的端点.
设曲线段 C的方程为
y2=2px (p>0),(xA≤x≤xB,y>0),其中 xA,xB分别为 A,
B的横坐标,P=|MN|.
,0),N (
,0).
P
2
所以 M (-
P
2
由 |AM|= 17 ,|AN|=3 得
(xA+
(xA-
P
2
P
2
)2+2PxA=17,
)2+2PxA=9.
由①、②两式联立解得 xA=
①
②
4
P
4
p
1
Ax
或
2
p
2
Ax
.
,再将其代入①式并由 p>0 解得
因为△AMN是锐角三角形,所以
P
2
>xA,故舍去
2
p
2
Ax
.
∴ P=4,xA=1.
由点 B在曲线段 C上,得 xB=|BN|-
P
2
=4.
综上得曲线段 C的方程为 y2=8x (1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,分别以 l1、l2 为 x、y轴,M为坐标原点.
作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为 E、D、F.
设 A (xA,yA)、B (xB,yB)、N (xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
AM
2 DA
2
=2 2 ,由于△AMN为锐角三角形,故
有
xN=|AE|+|EN|=4.
=|ME|+
2
AN
2
AE
=4
XB=|BF|=|BN|=6.
设点 P (x,y)是曲线段 C上任一点,则由题意知 P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段 C的方程
y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,
空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.满分 12 分.
注:题中赋分为得到该结论时所得分值,不给中间分.
解:(Ⅰ)作 A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥面 ABC,得
A1D⊥面 ABC,
∴ ∠A1AD为 A1A与面 ABC所成的角.
∵ AA1⊥A1C,AA1=A1C,
∴ ∠A1AD=45º为所求.
(Ⅱ)作 DE⊥AB,垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB.
∴∠A1ED是面 A1ABB1 与面 ABC所成二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得 ED∥BC.又 D是 AC的中点,BC=2,AC=2 3 ,
∴ DE=1,AD=A1D= 3 ,tgA1ED=
DA1 = 3 .
DE
故∠A1ED=60º为所求.
(Ⅲ) 作 BF⊥AC,F为垂足,由面 A1ACC1⊥面 ABC,知 BF⊥面 A1ACC1.
∵ B1B∥面 A1ACC1,
∴ BF的长是 B1B和面 A1ACC1 的距离.
在 Rt△ABC中,
AB
2
AC
BC
2
22
,
∴
BF
AB
BC
AC
62
3
为所求.
(24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查
建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.满分 12 分.
解法一:设 y为流出的水中杂质的质量分数,则 y=
意,即所求的 a,b值使 y值最小.
根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
k
ab
,其中 k>0 为比例系数,依题
得
b
于是
y
30
a
2
a
k
ab
(0<a<30=, ①
k
30
aa
2
a
2
k
32
a
64
a
2
k
34
a
2
64
a
2
k
34
2
a
2
64
a
2
k
18
64
a
当 a+2=
时取等号,y达最小值.
2