2011年陕西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年陕西高考理科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）．  b   1．设 a   是向量，命题“若 a ，b   b  （A）若 a   | | b a  a  ，则 a  | | | b  b  （C）若| ，则| |  a  | | b ，则| | ”的逆命题是    a b  （B）若 a    | | b a ，则 a （D）若| ，则| |  | | | b  b   【解】选 D 原命题的条件是 a 命题的条件，即得逆命题“若|  ，作为逆命题的结论；原命题的结论是| b    | | b a  ，则 a ”，故选 D．  b  | （）  a  | | b | ，作为逆 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x   ，则抛物线的方程是 2 （）（A） 2 y   8 x （B） 2 y 8 x （C） 2 y   4 x （D） 2 y 4 x 【解】选 B 由准线方程 x   得 2 p 2   ,且抛物线的开口向右（或焦点在 x 轴的正半轴）， 2 所以 2 y  2 px  ． 8 x 3．设函数 ( ) f x （ x  R）满足 ( f  x )  ( ) f x ， ( f x  2)  ( ) f x ，则函数 y  ( ) f x 的图像是（）【解】选 B 由 ( f  x )  ( ) f x 得 y  ( ) f x 是偶函数，所以函数 y  ( ) f x 的图象关于 y 轴对称，可知 B，D 符合；由 ( f x  2)  ( ) f x 得 y  ( ) f x 是周期为 2 的周期函数，选项 D 的图像的最小正周期是 4，不符合，选项 B 的图像的最小正周期是 2，符合，故选 B．

4． x (4 x 2 ) 6 （ x  R）展开式中的常数项是（）（A） 20 （B） 15 （C）15 （D）20 【解】选 C rT   1 C r 6 x (4 ) 6  r  x r (2 )  C r 6  2 2 (6 x  r )  xr  2  C r 6  12 2 x 3  xr ，令12 x  3 xr  ，则 4 r  ，所以 0 T C 5 4 6  ，故选 C． 15 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）（B）8 28   3  3  （C）8 2 （D） 2  3 【解】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是 V  3 2     1 3 2 2    2 8 8  3 . 6．函数 ( ) f x  x  cos x 在[0, ) 内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点【解】选 B （方法一）数形结合法，令 ( ) f x  x  cos x 0 ，则 x  cos x ，设函数 y x 和 cos  y x ，它们在[0, ) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 ( ) f x  x  cos x 在[0, ) 内有且仅有一个零点；

（方法二）在 [  x  , 2  上， ) x  ， cos 1 1x  ，所以 ( ) f x  x  cos x 0 ；在 (0,  x  ] 2 ，  ( ) f x  1 2 x  sin x  ，所以函数 ( ) f x 0  x  cos x 是增函数，又因为 f (0)   ， ( f 1   2 2  )  ，所以 ( ) f x 0  x  cos x 在 [0,  x  ] 2 上有且只有一个零点． 7．设集合 M y y { |  | cos  2 x  sin 2 |, } x x R N  ，  { || x x   ，i 为虚数单位，x  R} ， 2 | 1 i 则 M N 为（）（A）（0，1）（B） (0 ，1] （C）[0 ，1) （D）[0 ，1] 【解】选 C y | cos  2 x  sin 2 x | | cos2 | [0,1]   x ，所以 M  [0,1] ；因为   ，所以| 2 | x i  ，即| 2 | x i   ，又因为 x  R，所以 1    ，即 1x ) | 2 ( | x 1 i ( 1,1) N   ；所以 M N  [0,1) ，故选 C. 8．右图中， 1x ， 2x ， 3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， p 为该题的最终得分，当 1 x  ， 2 x  ， 8.5 p  时， 3x 等于 6 9 （）（A）11 （B）10 （C）8 （D）7 【解】选 C x  ， 2 1 9 x  , 6 | x 1 x 2 | 3  不成立,即为“否”， 2

所以再输入 3x ；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式 3 x |  x 1 | |  x 3  知， x 2 | 点 3x 到点 1x 的距离小于点 3x 到 2x 的距离，所以当 3 x  时， 3 x 7.5 |  x 1 | |  x 3  成立，即为 x 2 | x “是”，此时 2 x ，所以 3 p  x 3 x 1  2 ，即 6 x 3 2  ，解得 3 11 x  8.5 7.5 ，不合题意；当  x 1 | |  x 3 x  不成立，即为“否”，此时 1 x 2 | x ，所以 3 p  x 3 x 2  2 ，即 | 7.5 x 时， 3 x 3 3 9 x  2 8.5  ，解得 3 x  8 7.5 ，符合题意，故选 C． 9．设 1 , x y 1 ( ),( x y ，…， 3 2 ) ( , 2 3 x y 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过 ) , 最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（）（A） x 和 y 的相关系数为直线l 的斜率（B） x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间（C）当 n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（D）直线l 过点 ( , x y ) 【解】选 D 选项具体分析结论不正确不正确 A B C D 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同相关系数的值有正有负，还可以是 0；当相关系数在 0 到 1 之间时，两个变量为正相关，在 1 到 0 之间时，两个变量负相关 l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确回归直线 l 一定过样本点中心 ( , x y ；由回归直线方程的计算公式 ) a    可知直线l 必过点 ( , x y y bx ) 正确 10．甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4

个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A） 1 36 （B） 1 9 （C） 5 36 （D） 1 6 【解】选 D 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 4 A A （种）；最后一小时他们同在 6 4 6 一个景点的情形有 3 3 5 6 A A  （种），所以 5 P  3 3 A A   5 5 4 4 A A  6 6 6  1 6 ．二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．设 ( ) f x lg x    x  【解】因为 1 0 a 0 x x  0 0 2 3 t dt ，若 ( f f (1)) 1  ，则 a  ． x   ，所以 (1) f  lg1 0  ，又因为 ( ) f x   x 3a 2 t dt  0   x a 3 ， 3 a ，所以 3 1 a  ， 1a  ．所以 f (0) 【答案】1 12．设 n N  ，一元二次方程 2 4  x x n   有整数．．根的充要条件是 n  0 ．【解】 x  4  n 16 4  2   2 4 n  ，因为 x 是整数，即 2  4 n  为整数，所以 4 n 为整数，且 n ，又因为 n N  ，取 1,2,3,4 n  4 ，验证可知 3,4 n  符合题意；反之 3,4 n  时，可推出一元二次方程 2 4  x x n   有整数．．根． 0 【答案】3 或 4 13．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……

照此规律，第 n 个等式为 . 【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 n ，加数的个数是 2 1n  ；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 1 2 3 4 1 3 5 7 …… …… …… 所以 n  ( n 1)     [ n  (2 n 1) 1]    (2 n  1) 2 ，即 n  ( n 1)     (3 n  2)  (2 n  1) 2 14．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图）， 1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是    1) 10 ( i   ( i 2) 10       ) 10 [( i ( i  i 1)    ] 10 i    (20   ) 10 i 1)  2 210) i   (20   ) i (20  i )( 1 20) i   2 ] ，所以当 10 i  或11时， s 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的 s  10 [    i i ( i i  10( i 2  21 i  最小值是 2000 米.

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 10 (1 2      19) 2 10    10 个（或第 11 个）树坑旁边时，路程总和是10 (1 2     19(1 19) 2 3800    2 9) 10 (1 2      ；树苗放在第   10) 2   10  9 (1 9)   2   2 10  10 (1 10)   2 米.   2 900 1100   2000 ，所以路程总和最小为 2000 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）若关于 x 的不等式| a | | x 1|   | x  2 | 存在实数解，则实数 a 的取值范围是．【解】当 x  时，| 1 x 1|   | x 2         2 | 1 2 x x x 1  ； 3 当 1   时，| 2 x x 1|   | x       ； 2 3 2 | 1 x x 当 2 x  时，| x 1|   | x       2 | 1 2 x x 2 x 1 3   ；综上可得| x 1|   | x  ，所以只要| 2 | 3 a ，解得 | 3 a  或 3 a ， 3 即实数 a 的取值范围是 (   , 3]  [3,  ) ．【答案】 (   , 3]  [3,  ) B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D， AE BC ， ACD  90  ，且 AB=6，AC=4，AD=12，则 BE= ．【解】因为 AE BC ，  ，又因为∠B=∠D，所以△ 所以∠AEB= ACD AEB∽△ACD，所以  90  AC AD AE AB 6 4   12 , 所以 AE  AB AC  AD  ，在 Rt△AEB 中， 2 BE  2 AB  2 AE  2 6  2 2  4 2 ．

【答案】 4 2 C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 1C ：则| |AB 的最小值为． x       y  3 cos 4 sin   （为参数）和曲线 2C ： 1 上，【解】曲线 1C 的方程是 ( x  3) 2  ( y  2 4)  ，曲线 2C 的方程是 2 1 x 2 y  ，两圆外离，所 1 以| |AB 的最小值为 2 3  2 4 1 1 3    ．【答案】3 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16．（本小题满分 12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC= 60 ，∠BAC 90  ，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使∠ BDC 90  ．（1）证明：平面 ADB⊥平面 BDC；  （2）设 E 为 BC 的中点，求 AE  与 DB 夹角的余弦值．【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．【解】（1）∵折起前 AD 是 BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，又 DB DC D  ，∴AD⊥平面 BDC，

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