无痛苦NS方程.pdf

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：3.24M 资料格式：pdf 举报版权申诉

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方程标识

矢量标识法

张量标识法

偏导标识法

运算符标识法

流体与N-S方程

导论

泰勒公式

流动模型

有限控制体模型

无穷小微团模型

物质导数

连续性方程

从空间位置固定的无穷小微团推导连续性方程

空间位置固定有限控制体推导的连续性方程

通量与速度散度的物理意义

从空间位置移动的无穷小微团推导的连续性方程

连续性方程小结

动量方程

受力分析

动量守恒

守恒/非守恒转化

封闭

积分观点

拓展内容

变量有界性

附录：补充资料

无痛苦N-S方程笔记An Introduction of The Navier-Stokes EquationWithout Pain李东岳

杉前言本笔记素材主要来源于为参加东岳流体权杆杄课程的同学准备的预习资料。本笔记一步一步地从最基本的守恒法则开始推导李札杓方程，推导过程详实且不失简短（朲朰余页），是非常易懂的权杆杄入门补充资料。因此非常适用于无权杆杄基础的初学者。注意是无权杆杄基础而不是权杆杄基础薄弱。同学们只要懂高等数学，直接上手学习本笔记即可。李条杶杩来杲札杓杴杯杫来杳方程（李札杓方程）是权杆杄最基本的控制方程，其由守恒定律推导而来：末 ∇ · 木ρ杕朩朽朰 ∂ρ ∂t ∂ρ杕 ∂t 末 ∇ · 木ρ杕杕朩朽 −∇p 末 ∇ · τ 木朱朩木朲朩其中ρ为密度，杕为速度，p为压力，ν为粘度，τ 为剪切应力。李札杓方程具有以下特点： • 方程木朲朩中左边第二项是关于杕乘积的偏导数，这种未知量和未知量乘积的问题构成非线性问题，权杆杄对非线性问题需要特殊处理。另一方面，非线性的双曲问题的解可能会存在间断（如激波）。激波通常存在于高超声速的欧拉问题求解中。同时，非线性项也是湍流在数学方程中的体现； • 方程木朲朩的数学特征为抛物线。不同数学特征的问题需要调用不同的时间离散格式，隐性时间格式更有利于求解抛物线问题。若方程木朲朩中省略若干项则会改变方程的数学特征，例如若将方程右侧置为朰，则变为双曲特征的欧拉方程。欧拉方程得益于其双曲特性，可采用迎风类显性算法推进，各种基于有限体积法的高分辨率格式因此而生（交错网格中心格式、中心札迎风格式等）； • 在马赫数较大时（如大于朰朮朳），方程木朱朩可用来求解密度，方程木朲朩可用来求解速度，同时附加能量方程求解温度以及状态方程求解压力，即密度基求解器。在马赫数较小时，并没有单独的压力方程，并且方程木朱朩缺少主要求解变量。这导致压力的求解需要特殊的策略。这也是权杆杄中压力基杓杉杍材杌杅术材杉杓杏算法、耦合术解耦算法要处理的问题； • 李札杓方程之源起：李札杓方程为宏观方程，调用了宏观假定，其可从玻尔兹曼方程（又名动理学方程）推导而来。在更底层的介尺度研究领域，李札杓方程也即从介尺度模型演化的宏观二阶矩模型。在无压力无粘性的条件下具备弱双曲特征。由于失去了高阶矩的统计学特征，因此李札杓方程在某些情况下是不适用的；结合上述特点可见李札杓方程中存在大量的数学问题。初学者在这里肯定不明白其具体含义。同时方程中充满火星符号（如∇，∂）。东岳流体权杆杄课程（主要是其中的杇来杮来杲条杬权杆杄课程）因此分为两步，第一步是基本的李札杓方程入门，第二部是李札杓方程求解。第一步需要同学们通过本笔记进行预习。第二部将在杇来杮来杲条杬权杆杄课程上讲授。致谢算法博大精深、作者水平有限，本笔记难免有不妥和错误之处，敬请各位老师同学批评指正。勘误、内容增补等基于本笔记的任何问题可前往权杆杄中文网讨论，或邮件联系勘误：杬杩朮杤杹杀杤杹服杵杩杤朮杣杯杭作者简介李东岳，东岳流体、权杆杄界、权杆杄中文网创始人

杉杉本笔记采用杌A杔杅杘制作，撰写工作由东岳流体提供赞助支持。电子版首发于朲朰朱朹年朲月朱朴日，最新修订于朲朰朱朹年朹月朱朴日 • 小勘误：去掉一个的，增加脚注朳，朱朹朰朷朰朵，陈佳。修正一些笔误，朱朹朰朶朱朹，谢鹏。流畅更正为流场，朱朹朰朶朱朰，沈学峰。修正一些错别字，朱朹朰朵朰朴，杆杲条杮杫朰朵朱朴 • 中勘误：修正朸个问题，朱朹朰朶朱朰，刘威。修正若干错误，朱朹朰朶朰朷，汪洋。修正交叉引用，朱朹朰朳朱朴，凃灿。方程木朱朮朳朱朩左侧第二项 ∂ ∂t 修正为 ∂ ∂x ，朱朹朰朲朲朲，金国庆 • 增补：朲朮朴朮朳节，朱朹朰朲朲朰，李东岳。增加方程木朲朮朳朹朩札木朲朮朴朵朩，朱朹朰朲朲朵，李东岳。朲朮朱节中关于计算流体力学和流体力学的区别，朱朹朰朳朰朷，李东岳。朲朮朵朮朳节；朲朮朵朮朴节中关于τ 在可压缩和不可压缩情况下的讨论，朱朹朰朳朱朳，李东岳。附录朱，朱朹朰朸朲朹，李东岳

目录第一章方程标识朱朮朱矢量标识法朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朱朮朲张量标识法朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朱朮朳偏导标识法朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朱朮朴运算符标识法朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮第二章流体与李札杓方程朲朮朱导论朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朲泰勒公式朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朳流动模型朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朳朮朱有限控制体模型朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朳朮朲无穷小微团模型朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朳朮朳物质导数朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴连续性方程朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴朮朱从空间位置固定的无穷小微团推导连续性方程朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴朮朲空间位置固定有限控制体推导的连续性方程朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴朮朳通量与速度散度的物理意义朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴朮朴从空间位置移动的无穷小微团推导的连续性方程朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朴朮朵连续性方程小结朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵动量方程朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵朮朱受力分析朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵朮朲动量守恒朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵朮朳守恒术非守恒转化朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵朮朴封闭朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朲朮朵朮朵积分观点朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮第三章拓展内容朳朮朱变量有界性朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮朮附录：补充资料朱朱朲朴朵朷朷朸朹朹朹朱朰朱朲朱朲朱朳朱朴朱朷朱朷朱朸朱朸朲朱朲朱朲朲朲朳朲朵朲朵朲朹杉杉杉

杉杖目录

第一章方程标识权杆杄糅合物理、数值方法和计算机科学于一体，用于模拟流体的流动。早期的工作可以追溯到上世纪朵朰年代。上世纪朷朰年代，得益于计算机技术的高速发展，权杆杄被大量地应用于航空航天的流场模拟中。在某种程度上来讲，早期的权杆杄的发展和计算机计算能力的演变直接相关。多亏大型计算集群，朱朹朸朰年代，大型计算机已经可以用于求解二维势流和三维欧拉方程。随后，一些加速数值算法也被提出，如多重网格技术。朸朰年代中后期，权杆杄已经可以用于求解粘性李札杓方程。与此同时，大量的涡粘模型被提出。随后，直接模拟（杄杩杲来杣杴李杵杭来杲杩杣条杬杓杩杭杵杬条杴杩杯杮本杄李杓）以及大涡模拟（杌条杲杧来杅杤杤杹杓杩杭杵杬条杴杩杯杮本杌杅杓）成为了权杆杄中一种解析度非常高的模拟技术。学习权杆杄理论首先遇到的就是各种各样的偏微分算符。能看懂、拆分权杆杄方程是研究算法的最基本步骤。给出一个权杆杄方程（如动量方程），可以不知道是怎么推出来的，但要能看懂。本章介绍权杆杄方程的各种写法，不涉及到任何的权杆杄算法。 1.1 矢量标识法本笔记中主要采用矢量标识法讨论权杆杄方程，在矢量标识法中，标量全部采用斜体，如压力p。矢量采用正体加粗，如速度矢量杕，其具有三个分量u1，u2，u3或u，v，w。二阶张量也采用正体1，比如应力张量τ ，其具备朹个分量，其可表示为： τ11 τ21 τ31 τ 朽  τ12 τ22 τ32 τ13 τ23 τ33 木朱朮朱朩木朱朮朲朩下面粘度ν为朱的不可压缩流体动量方程为例对其进行拆分，这个方程若采用矢量标识法可以写为： ∂杕 ∂t 末 ∇ · 木杕杕朩朽 −∇ p ρ 末 ∇ · 木∇杕朩其中的杕为速度矢量，p为压力，ρ为密度。一般来讲，权杆杄文献中通常采用方程木朱朮朲朩的形式，而并不进行展开进而更加紧凑。下面介绍如何将其展开为朳个方程。 • 方程木朱朮朲朩第一项表示杕对时间的偏导数，因为杕为矢量，故其导数的分量形式为：   ∂u1 ∂t ∂u2 ∂t ∂u3 ∂t ∂杕 ∂t 朽木朱朮朳朩其中u1表示x方向速度，u2表示y方向速度，u3表示z方向速度。这样拆分之后的方程，即为各个方向的速度针对时间的偏导数。如果理解方程木朱朮朳朩有困难，那么有必要预习一下《高等数学》（同济大学版）第二章。 1如果难以理解二阶张量的含义，可以这样尝试：矢量是一阶张量，具有三个分量，二阶张量则具有9个分量。朱

朲第一章方程标识 • 方程木朱朮朲朩第二项∇·木杕杕朩中的杕杕是一种简写，完整形式为杕⊗杕，⊗是一个张量运算符。依据⊗的定义，杕杕可以写为：杕 ⊗ 杕朽杕杕朽  杛u1, u2, u3杝朽 u1 u2 u3 u1u1 u1u2 u1u3 u2u1 u2u2 u2u3 u3u1 u3u2 u3u3  接下来看 ∇·，其为散度算符，有时用杤杩杶来表示。对一个矢量（朱阶张量）做散度的结果为一个标量（朰阶张量），对一个朲阶张量做散度的结果为矢量（朱阶张量）。因此，对任意n阶张量做散度操作之后，结果为n− 朱阶。因此，方程木朱朮朲朩中的第二项∇ · 木杕杕朩即为对张量。举例，对一个矢量杕做散度有：∇ · 杕朽 ∂u1 一个朲阶张量做散度： ∂x 末 ∂u2 ∂y 末 ∂u3 ∂z ∇ · 木杕杕朩朽 ∇ · u1u1 u1u2 u1u3 u2u1 u2u2 u2u3 u3u1 u3u2 u3u3  朽  ∂u1u1 ∂x 末 ∂u2u1 ∂u1u2 ∂x 末 ∂u2u2 ∂x 末 ∂u2u3 ∂u1u3 ∂y 末 ∂u3u1 ∂y 末 ∂u3u2 ∂y 末 ∂u3u3 ∂z ∂z ∂z  • 方程木朱朮朲朩第三项也存在∇，这一项中没有了·符号。单独的∇表示梯度运算，有时也被写为杧杲条杤。对一个标量（朰阶张量）做梯度的结果为一个矢量（朱阶张量），对一个矢量做梯度的结果为朲阶张量。因此，【对任意n阶张量做梯度之后的结果为n 末朱阶张量】。举例，对一个标量p做梯度有：方程木朱朮朲朩第四项∇ · 木∇杕朩为对速度杕先做梯度再做散度。∇ · ∇通常也写为∇2，并称为拉普拉斯算子，有时也被写为杬条杰杬条杣杩条杮。即∇ · 木∇杕朩朽 ∇2杕。现尝试对其进行展开： ∇ · 木∇杕朩朽 ∇ ·  ∂u1 ∂x ∂u1 ∂y ∂u1 ∂z ∂u2 ∂x ∂u2 ∂y ∂u2 ∂z ∂u3 ∂x ∂u3 ∂y ∂u3 ∂z 木朱朮朴朩木朱朮朵朩木朱朮朶朩木朱朮朷朩木朱朮朸朩 ∇p 朽 ∂x ∂p ∂y ∂p ∂z   ∂p  ∂ 末 ∂ ∂u1  朽末 ∂ ∂u2 末 ∂ ∂u3 ∂u1 ∂ ∂x ∂ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂y ∂y 末 ∂ ∂z 末 ∂ ∂z 末 ∂ ∂z ∂z ∂z  ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂z ∂z 结合方程木朱朮朳朩、木朱朮朵朩、木朱朮朶朩、木朱朮朷朩这四项，有三个方程。下面仅列出x方向（取各个项展开形式杛杝中的第一行）： ∂u1 ∂t 末 ∂u1u1 ∂x 末 ∂u2u1 ∂y 末 ∂u3u1 ∂z 朽 − 朱 ρ ∂p ∂x 末 ∂ ∂x 末 ∂ ∂y ∂x 末 ∂ ∂z 方程木朱朮朸朩即为关于u1的方程。仔细观察方程木朱朮朸朩，其只不过是各种导数的加和。除了u1之外，如果所有的变量均为已知，那么就可以求出u1关于时间的步进（看那个第一项速度关于时间的导数）。方程木朱朮朸朩的特点可参考前言部分的内容。 1.2 张量标识法权杆杄中的偏微分方程除了用矢量标识法表示外，还可以用张量标识法表示，这种方法在杓权杉论文以及书籍中也非常常见杛朷杝。在张量标识法中，符号的下标表示张量的阶数。如标量压力p可以记为（二者无区别）：矢量杕可以写为ui： ui ≡ 杕朽 p ≡ p u1 u2 u3  木朱朮朹朩木朱朮朱朰朩

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