2016广西考研数学三真题及答案.doc-资料库

2016 广西考研数学三真题及答案一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1） n   1 lim n  1 n   n      ______. （2）设函数 ( ) f x 在 2 x  的某邻域内可导,且  x f  （ 3 ）设函数 ( ) f u 可微 , 且   0 f   1 2 , 则 z    e f x   4 x 2 f ，  2 f  y  2  ，则  f  1 2  ____. 在点 (1,2) 处的全微分 d z  1,2  _____. （4）设矩阵 A 2 1    1 2     ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B   ，则 B E 2 . （ 5 ）设随机变量 X Y与相互独立，且均服从区间   max  _______.  X Y   1 P  , 0,3 上的均匀分布，则（6）设总体 X 的概率密度为  f x 1 2 单随机样本，其样本方差为 2S ，则 2   ES  ____.  x e      x  , X X , 1 , 2  为总体 X 的简 X , n 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y  ( ) f x 具有二阶导数，且 ( ) 0,  f x  f  ( ) 0 x  ， x 为自变量 x 在点 0x 处的增量，  与分别为 ( ) dy y f x 在点 0x 处对应的增量与微分，若 x  ，则 0 (A) 0 dy    . y (B) 0    dy y . (C) y   d y 0  . (D) d y y   0 . [ ] （8）设函数  f x 在 0 x  处连续，且  2  f h 2 h lim 0 h  1  ，则 (A) f   0  f   且 0   0 存在 (B) f   0  1 f   且   0 存在 (C) f   0 f   且 0    0 存在 (D) f   0 1 f   且    0 存在 [ ] （9）若级数  收敛，则级数 a n  n 1 

(A) (C)   收敛 . a n n 1    n 1  a a n n 1  收敛. （B） (D)   ( 1)n n 1  a n 收敛. n  a a  2 1  n n 1  收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程   ( ) y P x y Q x ( )  有两个不同的解 1 y x y x C 为任意常 ( ), ( ), 2 数，则该方程的通解是（Ａ）  ( ) C y x ( ) y x 2  1 （Ｃ）  ( ) C y x 1  ( ) y x 2   . . （Ｂ） ( ) y x C y x 1 ( )  1   ( ) y x 2  . （Ｄ） ( ) y x C y x 1 ( )  1   ( ) y x 2  [ ] （11）设 ( , f x y ) ( , x y与 ) y x y 均为可微函数，且 ( , ) 束条件 ( , x y ) 0  下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若  xf ( , x y 0 0 ) 0  ，则  yf ( , x y 0 0 ) 0  . (B) 若  xf ( , x y 0 0 ) 0  ，则  yf ( , x y 0 0 ) 0  . (C) 若  xf ( , x y 0 0 )  ，则 0  yf ( , x y 0 0 ) 0  . (D) 若  xf ( , x y 0 0 )  ，则 0  yf ( , x y 0 0 ) 0  .  ，已知 0 0 ( x y 是 ( , f x y 在约 ) ) , 0 [ ] （12）设 1    均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是 , , , 2 s (A) 若 1    线性相关，则 1 A   2 A 2 s , , , , (B) 若 1    线性相关，则 1 A   2 A 2 s , , , , (C) 若 1    线性无关，则 1 A   2 A 2 s , , , , , ,  s A ,  s A , ,  s A , 线性相关. 线性无关. 线性相关. (D) 若 1    s 2 , , , 线性无关，则 A   2 A , 1 ,  s A , 线性无关 . [ ] （13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得C ，记 P       1 1 0 0 1 0 0 0 1      ，则（Ａ） C P AP 1 . （Ｂ） C PAP   1 . （Ｃ） C P AP  T . （Ｄ） C PAP  T . ［］

（14）设随机变量 X 服从正态分布  P X   1  则必有 (A) 2  1 (C) 2  1 1 ) ( 2 1 N   ，Y 服从正态分布  1 ,  P Y  1  2    N   ，且 ( ) , 2 2 2 (B) 2  1 (D) 2  1 [ ] 三、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分）设  , f x y   1  y sin arctan x  y x y xy  1  (Ⅰ) (Ⅱ)  g x   lim y   , f x y  ；  g x  . lim  0 x , x  0, y  0 ,求（16）（本题满分 7 分） y 计算二重积分 2  D  d d xy x y ，其中 D 是由直线 y  , x y  1, x  所围成的平面区域. 0 （17）（本题满分 10 分）证明：当 0 a b  2cos    时， sin b  b  （18）（本题满分 8 分） b b   a sin a  2cos a  a  . 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点  1,0M 斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax （常数 >0a ）. ，其上任意点  , P x y  x  处的切线 0  (Ⅰ) 求 L 的方程； (Ⅱ) 当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 8 3 时，确定 a 的值. （19）（本题满分 10 分）求幂级数   n 1   n  1   2 n 1  n x  2 n 1   1 的收敛域及和函数 ( ) s x . （20）（本题满分 13 分）设 4 维向量组  1  1   a T ,1,1,1 ,   2   2,2  a  T ,2,2 ,  3   3,3,3  a  T ,3 ,   4  T 4,4,4,4 a  ，问 a 为何值时 1     线性相关?当 1 , , , 2 3 4 ,     线性相关时, 4 , 2 , 3 求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量  1    T 1,2, 1 ,    2   0, 1,1  T  是

线性方程组 Ax  的两个解. 0 (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵  ,使得 TQ AQ   ；（Ⅲ）求 A 及  A   3 2 E 6    ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （22）（本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为 f X  x  0 x    1 , 1 2 1 ,0 4 0, 　其他   x 2 ，          令 , Y X F x y 2,  为二维随机变量 ( )X Y 的分布函数. ,  (Ⅰ)求Y 的概率密度  Yf  y ； (Ⅱ) Cov( )X Y ； , (Ⅲ) F    1 ,4 2    . （23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为  f x  ;  ,    1     0,  0 1, x   ,1 2, x   其他, 其中是未知参数 0 1  ， 1 X X ,  ..., 2 X 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 n ..., , x x 2 x 中小于 1 的个数. n 值 1 （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计

填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. 参考答案（1） lim n  n   n  1    n   1  1. 【分析】将其对数恒等化 N  lne N 求解. 【详解】 n    1 lim n  n   n  1     lim e n  n ( 1)  ln    1 n  n     e n lim ( 1) ln n      1 n  n    ，而数列 ( 1)n 有界，  lim ln n  1 n   n      0 ，所以 n lim( 1) ln n   n   n  1     0 . n   1 故 lim n  n   n  1     0 e  1 . （2）设函数 ( ) f x 在 2 x  的某邻域内可导,且  x f     e f x ，  f 2  ，则  f  1 2   3 2e . 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，  x  e f x   f  ，两边对 x 求导得 f   x   e  f x   ( ) f x  e 2  f x  ，两边再对 x 求导得 f  ( ) x  2e 2  f x   ( ) f x  2e 3  f x  ，又  f 2 1  ，故 f  (2)  2e 3 f   2  3 2e . （ 3 ）设函数 ( ) f u 可微 , 且   0 f   1 2 , 则 z  f  2 4 x  2 y  在点 (1,2) 处的全微分 d z  1,2  4d x  2d . y 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为 z  x  z  y   f (4 x 2  2 y ) 8  x  4 ， (1,2) (1,2)  f (4 x 2  2 y    ) 2 y    2 ， (1,2) (1,2) 所以 d z   1,2     z  x  d x   1,2  z  y  d y  1,2      4d x  2d y .

方法二：对 z  f  2 4 x  2 y  微分得 d z  f 2  (4 x  y 2 )d(4 x 2  y 2 )  f 2  (4 x  2 y  ) 8 d x x  2 d y y  ，故 d z  1,2   f (0) 8d  x  2d y   4d x  2d y . （4）设矩阵 A 2 1    1 2     ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA B   ，则 B E 2 2 . 【分析】将矩阵方程改写为 AX B XA B AXB C 或或    的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】由题设，有 ( B A E  )  2 E 于是有 B A E  ，而 4 A E  1 1 1 1   2 ，所以 2B  . （5）设随机变量 X Y与相互独立，且均服从区间 0,3 上的均匀分布，则  max P   X Y  ,  1  1 9 . 【分析】利用 X Y与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知， X Y与具有相同的概率密度 ( ) f x 则  max  P , X Y  x   　　0 1 ,    3  0, 　　　其他  1  P X 1, Y    3 .   1   P X    1 P Y   1    P X  2  1      1  0 1 3 d x 2     1 9 . 【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

则  max  P , X Y    1   P X  1, Y   1  S 阴 S 1 9 . （6）设总体 X 的概率密度为  f x 1 2 单随机样本，其样本方差为 2S ，则 2   ES  2.  x e      x  , X X , 1 , 2  为总体 X 的简 X , n 【分析】利用样本方差的性质 2ES DX 即可. 【详解】因为 EX     ( )d xf x x     x  e d x  0 ， x 2 2 EX     2 ( )d x f x x     2 x 2 x  e d x   0  2 x x e d  x   x 2 e  x  0  2   0 x x e d  x   2 e x  x  0  x e d  x   2e  x  0  2 ， 2  0  2 0 所以 DX EX  2   EX 2 所以 2 ES DX 2  .    ，又因 2S 是 DX 的无偏估计量， 2 二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数 y  ( ) f x 具有二阶导数，且 ( ) 0,  f x  f  ( ) 0 x  ， x 为自变量 x 在点 0x 处的增量，  与分别为 ( ) dy y f x 在点 0x 处对应的增量与微分，若 x  ，则 0 (A) 0 dy    . y (B) 0    dy y . (C) y   d y  0 . (D) d y y   0 . [ Ａ ] 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由 ( ) 0,  f x  f  ( ) 0 x  知，函数 ( ) f x 单调增加，曲线 y  ( ) f x 凹向，作函数 y  ( ) f x 的图形如右图所示，显然当 x  时， 0

y   d y   ( f x 0 )d x   ( f x 0 ) x   ，故应选(Ａ). 0 （8）设函数  f x 在 0 x  处连续，且  2  f h 2 h lim 0 h  1  ，则 f   0  f   且 0   0 存在 (B) f   0  1 f   且   0 存在 f   0 f   且 0    0 存在 (D) f   0 1 f   且    0 存在 (A) (C) [ C ] 【分析】从的存在性. 【详解】由 2  f h 2 h lim 0 h  2  f h 2 h lim 0 h   入手计算 (0) 1 f ，利用导数的左右导数定义判定 (0), f    f  (0) 1  知， lim 0 h   f h 2  .又因为  0 f x 在 0 x  处连续，则  f (0)  lim ( ) f x x  0  lim 0 h   f h 2  . 0 令 t 2 h ，则 1 lim  0  h 2   f h 2 h  lim 0 t   f (0) f   t  t   (0) f  . 所以 (0) f  存在，故本题选（C）. （9）若级数  收敛，则级数 a n  n 1  (A) (C)   收敛 . a n n 1  （B）   ( 1)n n 1  a n 收敛.   n 1  a a n n 1  收敛. (D) n  a a  2 1  n n 1  收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由  收敛知 a n  收敛，所以级数 a 1  n  n 1   n 1  n  a a  2 1  n n 1  收敛，故应选(Ｄ). 取 na   ( 1)n 或利用排除法： 1 n 1 n ( 1)n   na 取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.

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