2012吉林考研数学三真题及答案.doc-资料库

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项是符合题目要求的。） 2012 吉林考研数学三真题及答案一、选择题（1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 (1) 曲线=2+ 2−1渐近线的条数为 (A)0 (C)2 【答案】C。【解析】 (B)1 (D)3 【答案】A 【解析】【方法 1】 (B)−1 −1! 综上所述，本题正确答案是 C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线由→+∞= →+∞2+ 2−1=1= →−∞= →−∞2+ 2−1, 得=1 是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由→1=→12+ 2−1= ∞得=1 是曲线的一条垂直渐近线；由→−1= →−12+ 2−1=12得=−1 不是曲线的渐近线； (2) 设函数 =(−1)(2−2)⋯(−),其中为正整数，则'0 = (A)−1 −1−1! (C)−1 −1!(D)−1 ! 令g =(2−2)⋯(−),则 =(−1)g '()=g +(−1)g''0 =g0 = −1 −2⋯(−(−1)) 由于0 =0,由导数定义知'0 =→0() =→0(−1)(2−2)⋯(−) =→0(−1) ∙→0(2−2)⋯(−) = −1 −2⋯− −1 = −1 −1−1!. 排除法，令=2,则 =(−1)(2−2) ' =2−2 +22(−1)'0 =1−2=−1 = −1 −1−1! 则(B)(C)(D)均不正确故应选 A. 【方法 2】【方法 3】

综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念【答案】B。【解析】的积分区域得在直角坐标下的表示为条件收敛，则 (2) = (3) 设函数()连续，则二次积分 02 2 2 (A)02 2+2(2+2) 4−2 2−2 (B)02 4−2(2+2) 2−2 (C)02 2+2(2+2) 4−2 1+ 1−2 (D)02 4−2 (2+2) 1+ 1−2 令=,=,则=2 所对应的直角坐标方程为2+2=4,=2所对应的直角坐标方程为(−1)2+2=1。由02 (2) 2 2 2<<2,0<<2 0<<2 2−2<< 4−2, 所以 02 = 02 (2) 4−2(2+2) 2 2 2−2 (4) 已知级数 =1∞ (−1) 1 绝对收敛，级数 =1∞ (−1) 2− (B)12<≤1 (A)0<≤12 (D)32<<2 (C)1<≤32 绝对收敛，且当→ ∞时(−1) 1~ 1α−12，故α− 由级数 =1∞ (−1) 1 12>1,即α>32 由级数 =1∞ (−1) 2− 综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算条件收敛，知α<2 【答案】D。【解析】综上所述，本题正确答案是(D) 【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定

组线性相关的为【答案】C。【解析】综上所述，本题正确答案是(C)。【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关 (5) 设1= 001 ,2= 012 ,3= 1−13 ,4= −114 ,其中1,2,3,4为任意常数，则下列向量 (B)1,2,4 (A)1,2,3 (C)1,3,4 (D)2,3,4 个维向量相关⇔ 1,2,⋯ =0 1 −1 显然1,3,4 = 0 1 0 −1 4 =0 1 3 所以1,3,4必线性相关 (6) 设为 3 阶矩阵，为 3 阶可逆矩阵，且−= 1 0 0 0 0 2 .若= ,,,= 0 1 0 (+,,),则−= (B)1 0 0 (A)1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 (D)2 0 0 (C)2 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 【解析】由于经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为，有 = 1 0 0 0 0 1 =21(1) 1 1 0 那么−1=[()]−()=()−−() 0 0 1 =1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 = 1 0 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0 (7) 设随机变量,相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则+2≤1 = (A)14(B)12 (C)π8 (D)π4 综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换【答案】B。【答案】D。【解析】

综上所述，本题正确答案是 D。【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布 2+2≤1 = 2+2≤1(,) 而, = = 1,0<<1,0<<1, 0, 其他即, 是在正方形0<<1,0<<1 上等于常数 1，其余地方均为 0，实际上就是单位圆2+2≤1 在第一象限的面积。 2+2≤1(,) (8) 设1,2,3,4为来自总体1,2(>0)的简单随机样本，则统计量 1−2 (A)0,1 (B)(1) (D)(1,1) (C)2(1) 1，1−2~0,22 ，故1−22σ~0,1 ； 2σ ~0,1 ，(3+4−2 2，3+4−2~0,22 ，故3+4−2 2σ )2~2(1), 2σ )2/1= 3+4−2 (3+4−2 2σ 2σ )2也相互独立，与(3+4−2 3，1−2与3+4−2 相互独立。1−22σ 所以 1−22σ3+4−2 3+4−2~(1) 2σ = 1−2 二、填空题（9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。） (9)→4() −=。 1 【答案】− 2。【解析】这是一个‘1∞’型极限，由于 () −=[1+(−1)] 1 1 − (1−)=→4 −1=− 2 −1 −1 −=→4 →4 所以→4() −=− 2 1 (10)设函数 = ,≥1 2−1,<1,= ,则==。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念 3+4−2 的分布为【答案】B。【解析】【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

【解析】由复合函数求导法则知【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念【答案】1 = 可看做= ,与= 的复合，当=时 = = =12=12 ==' 12 ∙' =2∙12==1 2+(−1)2 =0,则(0,1)= (11)设连续函数=(,)满足lim→0→1,−2+−2 【答案】2− 2+(−1)2 =0，且=(,)连续，可得0,1 =1,且由lim→0→1,−2+−2 , −0,1 =2− −1 +( 2+(−1)2),(→0 →1) 由可微的定义得'0,1 =2,'0,1 =−1,即 (12)由曲线=4和直线=及=4在第一象限中围成的平面图形的面积为。【答案】42 曲线=4和直线=及=4在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为 1 4− = 0 (0,1)='0,1+'0,1=2− 2(4−) + 1 【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算 y =42 。【解析】【解析】【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用 (13)设为 3 阶矩阵， =3，∗为的伴随矩阵。若交换的第 1 行与第 2 行得到矩阵，则∗ =。【答案】-27 【解析】【方法 1】

【方法 2】根据题意【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性 1−()=1223=34 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换两行互换两列互换变成，所以 =− ,再由行列式乘法公式及∗ = −1，则 ∗ = |∙|∗ =− 2=−27 0 1 0 0 0 1 =，即=12 1 0 0 那么∗=12∗= 12=312 从而∗ = 312 =3312 =−27 (14)设,,是随机事件，,互不相容， =12, =13,则 =。【答案】34 ,互不相容，自然有⊃,当然更有⊃，所以 =() () = () 三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限lim→02−2−2cos 4 lim→02−2−2cos 4 =lim→02−2+2cos 4 =lim→02−2sin 43 lim→02−2−2cos 4 =lim→02−2+2cos 4 =lim→02−2+2(1−22!+44!+(4)) 4 =lim→02−2cos∙lim→02−2+2cos−1 4 1222 = 112 =12lim→01−cos 32 =16lim→0 =lim→02−2cos∙lim→02−2+2cos−1 4 1124+(4) =112 4 (等价无穷小代换) (泰勒公式) =lim→0 (等价无穷小代换) (洛必达法则) 【解析】【解析】【方法 1】【方法 2】【方法 3】

(拉格朗日中值定理) =lim→02−2+2cos 4 = 112 lim→02−2−2cos 4 =lim→02−2sin 43 =12lim→01633 =∙lim→0(2−2+2cos) 4 (洛必达法则) (−~163) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算【解析】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则 (16)计算二重积分 ,其中是以曲线= ,= 1及轴为边界的无界区域。 =12 0 1 1 1(1−2) = 0 =12(1−2)0 1+ 0 1 =−12+01− 0 1 =12 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000（万元）。设该企业生产 (II)当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (III)求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。【解析】甲、乙两种产品的产量分别是(件)和（件），且这两种产品的边际成本分别为20+2(万元/件)与6+(万元/件). (I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(,)(万元)； (I)总成本函数, =10000+20+24+6+22 （万元） (II)由题意知，求, 在+=50 时的最小值，构造拉格朗日函数 ,, =, ++−50 =10000+20+24+6+22++−50 解方程组 '=20+2+=0, +−50 =0. 得=24,=26. '=6++=0,

(万元) 时甲产品的边际成本因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为 50 件时，甲乙两种产品的产量分别是 24,26 时可使总成本最小，且此时投入总费用其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是 24,26 时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加 32 万元。 , =10000+20×24+2424 +6×26+2622 =11118 (III)甲产品的边际成本函数：', =20+2,于是，当总产量为 50 件且总成本最小 ', =20+242 =32 (18)证明：1+1−+cos≥1+22,(−1<<1) 记 =1+1−+cos−1−22 ,则 1−+ 21−2−−, ' =1+ ''()= 41−2+ 42 1−2 2−1−cos 当−1<<1 时，由于 41−2≥4,1+cos≤2,所以''()≥2>0,从而'()单调增加。又因为'0 =0，所以，当−1<<0 时，' <0;当0<<1 时，' >0，于是0 =0 是函数在(−1,1)内的最小值。从而当−1<<1 时， ≥0 =0 即1+1−+cos≥1+22,(−1<<1) 记 =1+1−+cos−1−22 ,(−1<<1) 显然，是偶函数，因此只要证明 ≥0 由于' =1+1−+ 21−2−−,∈[0,1) 1+ 21−2>2=+>+sin 1−>0 从而有' >0，∈(−1,1) 有0 =0 则当−1<<1 时， ≥0 =0 即1+1−+cos≥1+22,(−1<<1) 【解析】【方法 1】【方法 2】 ∈[0,1) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值

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