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激光原理第七版第二章习题答案.doc

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.01M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 第二章 开放式光腔与高斯光束 1. 证明如图 2.1 所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为 1 0     1    2 0      。 证明：设入射光线坐标参数为 1 , r ，出射光线坐标参数为 2 1 r  ，根据几何关系可知 , 2 r 2  , r     1 2 sin sin  1 1 2 傍轴光线 sin  则 1 1   2 2 ，写成矩阵形式 r  2    2     1 0     1    2 0      r  1    1    得证 2. 证明光线通过图 2.2 所示厚度为 d 的平行平面介质的光线变换矩阵为  1  2 0 1  1     d      。 证明：设入射光线坐标参数为 1 , r ，出射光线坐标参数为 2 1 r  ，入射光线首先经界面 , 2 1 折射，然后在介质 2 中自由传播横向距离 d，最后经界面 2 折射后出射。根据 1 题的结论 和自由传播的光线变换矩阵可得 r  2    2     1 0     2    1 0      1 d   0 1     1 0     1    2 0      r  1    1    r  化简后 2    2      1  2 0 1  1     d      r  1    1    得证。 3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 1
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 其往返矩阵为： T  A B C D              1 2 R 1 0 1         1 L 0 1          1 2 R 2 0 1         1 L 0 1    由于是共焦腔，则有 将上式代入计算得往返矩阵 R 1  R 2  L T 1    0  0   1  n  T TTTT r L r L 1 2  n   n A B C D           1 n n 1 0     0 1      1 n  1 0     0 1   可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件 0  g g 1 2 1 g  其中 1 1 1    L R 1 , g 2 1   L R 2 R 对平凹共轴球面镜腔有 1   , R 2 g  。则 1 0  1, g 2 0  g g 1 2 1  可得 0 1   L R 2  1  R 2 L 。   ，再根据稳定性条件 1 L R 2 R 对 双 凹 共 轴 球 面 腔 有 ， 1 20, R g  则 1 0 1   L R 1 , g 2 1   L R 2 , 根 据 稳 定 性 条 件 0  g g 1 2  1 可得 0  1     L R 1     1  L R 2      1    R 1 R 2   L L 或 0 R   1   0 R  2  R R   1 2 L  L  L  。 R 对凹凸共轴球面镜腔有， 1 20, R g  则 1 0 1   L R 1 , g 2  1  L R 2  ,0 根据稳定性条件 0  g g 1 2  1 可得 0  1     L R 1  1     L R 2    1      R L 1 R R 1 2   。  L 2
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L在什么范围内是稳定腔。 解：设两腔镜 1M 和 2M 的曲率半径分别为 1R 和 2R ， 1 R 工作物质长 0.5m ，折射率 1.52 l    1m, R 2  2m 当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为 l ,工作物质左右两    。设此时的等效腔长为 L ，则光在腔先经历自由传 边剩余的腔长分别为 1l 和 2l ，则 1 l 播横向距离 1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物 质右侧面折射，最后再自由传播横向距离 2l ，则 L l l 2 1 0     L 1     1 l 2 0 1          1 0 0        1 l   0 1  1 0      0   1     1 l 1 0 1             1 0 l 2 l    1 l 1           l l 1 2 l  ( L l )   l  所以等效腔长等于 L 再利用稳定性条件 0  1      L 2    1   L 1     1 (1) 由(1)解出 2m L  1m 则 所以得到：  L L   0.5 (1   1 1.52 )   L  0.17 1.17m< L  2.17m 6. 图 2.3 所示三镜环形腔，已知 l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 R在什么 范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面 内传输的子午光线，式(2.2.7)中的 F  ( cos ) / 2 R  ，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线， F R  / (2cos )  ，为光轴与球面镜法线的夹角。 3
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 解： 图 2.1 A B C D           1 l   0 1       1 1 F 2 4 l F 2 l 2 0 1     1 2 l 1 0           1 1 F  0 1     2 2 l 3 l  F 21 l  F        4 l F 2 2 l F 2    A D   31   2 l l F F  2 所以有 l F  2 或 l F 1 对弧矢线： F 弧矢 R 2cos    1      1 2  3 l F 1 1   稳定条件 1   2 l F 2 左边有 对子午线：   2 0  1     0 2 l F    2 l F   3 l F l  2  F  R 2 F 子午 cos  对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线 4 3 3 l R   2 3 l R 或 4 3 l l 3  R  3 2 l R 或 3 l 任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得 4 4 3 9 l R   3 2 l R 或 4 3 3 l
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长 d 2 a  0.12cm ， λ=632.8nm ， r 镜的反射率为 1 21, r  0.96 ，其他的损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否作单模运转？如果 想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5 00 作一个大略的估计。氦氖增益由公式 0 g l e    1 3 10 4  l d 估算（l 为放电管长度，假设l L ） 解： TEM 模为第一高阶横模，并且假定 01 TEM 和 00 TEM 模的小信号增益系数相同，用 0g 01 表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式 0 g l 0 g l e e rr 1 2 rr 1 2 (1 (1    00  01   根据已知条件求出腔的菲涅耳数  0.003) 1 I 0.003) 1 II  N  2 a L  2 0.06 30 632.8 10    1.9  7 由图 2.5.5 可查得 TEM 和 00 TEM 模的单程衍射损耗为 01 氦氖增益由公式  00  01   8.37  10 6 10  0 g l e    1 3 10 4  L d 计算。代入已知条件有 0e g l  1.075 。将 0eg l 、 00 、 01 、 1r 和 2r 的值代入 I、II 式，两式 的左端均近似等于 1.05，由此可见式 II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 II 式的条 件，则要求   01 0.047 根据图 2.5.5 可以查出对应于 01 的腔菲涅耳数 ' 0.90 N  由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 2 a  L N ' 2   300 632.8 10    6  0.9  0.83mm 同理利满足 I 式的条件可得 2 a  0.7mm 5
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院 因此，只要选择小孔阑的边长满足 0.7 mm 2 a  0.83mm 即可实现 TEM 模单模振荡。 00 8．试求出方形镜共焦腔面上 TEM 模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 30 解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的 TEM 模的场分布可以写成 30 v 30 ( , x y C 30  ) H 3     2  x L      e  2 2 x y  / ) ( L   I 令 X  2 /( ) L x   ，则 I 式可以写成 v 30 ( , x y )  C 30 H 3  X  e  2 2 x y  / ( ) L   式中  3H X 为厄米多项式，其值为  -12X 由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令  3H   X 3H X 8   3/ 2; 0; X X X 3 1 3 X  ，得 0  3/ 2   2 考虑到 0s /L    ，于是可以得到镜面上的节点位置 x 1  0; x 2  3 2 ; x 3 0s   3 2  0s 所以， TEM 模在腔面上有三条节线，其 x坐标位置分别在 0 和 30 / 2 0s3 处，节线之间 位置是等间距分布的，其间距为 0s3 / 2 ；而沿 y方向没有节线分布。 9. 求圆形镜共焦腔 TEM 和 20 TEM 模在镜面上光斑的节线位置。 02 解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式    r , mn  C mn    r 2  0 s m    n L m     2 2 r 2  0 s e    2 r 2  0 s cos   sin  m  m  对于 义 对于 TEM ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当 m 为零时，只能选余弦，否则无意 mn TEM ：  r   , 20 20  C 20    r 2  0 s 2    2 L 0     2 2 r 2  0 s e    2 r 2  0 s cos 2    2sin   并且 2 L 0    2 2 r 2  0 s    1 ，代入上式，得到 6
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院    r , 20  C 20    r 2  0 s 2 r 2  0 s  e 2    cos 2    2sin   ， r 2  0 s  2 r 2  s 0 e 2    cos 2   0 ，就能 取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取  r   , 20  C 20    求出镜面上节线的位置。即 cos 2    1 0  4 ,  2  3  4 同理，对于 TEM ， 02    r , 02 0 L 2    2 2 r 2  0 s 02  C     41   4 2 2 r r 2 4  0 0 s s  r 2  0 s 0    0 L 2     2 2 r 2  0 s e    2 r 2  0 s  0 LC 2 02     2 2 r 2  0 s e    2 r 2  0 s ，代入上式并使光波场为零，得到    r , 02  C 02    2  0 显然，只要 0 L 2    2 2 r 2  0 s 0 s r 41         41   4 2 2 r r 2 4  0 0 s s  4 2 2 r r 2 4  0 0 s s  2 r 2  0 s  0  e     0 即满足上式 镜面上节线圆的半径分别为： r 1  1  2 2  0 s , r 2  1  2 2  0 s 10. 今有一球面腔， 1 1.5m R  R   ， 80cm L  1m ， 2 。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价 共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解：该球面腔的 g参数为 g 1 1   L R 1  7 15 g 2 1   L R 2  1.8 0.85 ，满足谐振腔的稳定性条件 0  g g 1 2 1  ，因此，该腔为稳定腔。 由此， 1 g g  2 由稳定腔与共焦腔等价条件 7
    激光原理 第六版 天津理工大学理学院   ( z 1  ) 2 f z 1 f z 2 2 ) 和 0  1     L R 1    1  L R 2     1 R 1     R  2    L z     ( z 2   z 1 2 可得两反射镜距离等效共焦腔中心 O 点的距离和等价共焦腔的焦距分别为 z 1   1.31m z 2   0.51m f  0.50m 根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。 16．某高斯光束腰斑大小为 0 =1.14mm， =10.6μm 光斑半径及波前曲率半径 R。  。求与束腰相距 30cm、10m、1000m 远处的 解：入射高斯光束的共焦参数 f  2  0   0.385m   0 (z)= 1 ( ) R z   z z f 2        2 f z 根据 求得： z 30cm 10m 1000m (z) ( )R z 1.45mm 2.97cm 2.96m 0.79m 10.0m 1000m 8
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