1991年考研数学一真题及答案.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.47M 资料格式：doc 举报版权申诉

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1991 年考研数学一真题及答案一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 设则 =__________. (2) 由方程 =__________. 所确定的函数在点处的全微分 (3) 已知两条直线的方程是； ,则过且平行于的平面方程是__________. (4) 已知当时, 与是等价无穷小,则常数 =__________. (5) 设 4 阶方阵 ,则的逆阵 =__________. 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1) 曲线 (A) 没有渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 ( ) (B) 仅有水平渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数满足关系式 ,则等于 ( ) (A) (C) (3) 已知级数 (A) 3 (B) 7 (B) (D) , (C) 8 ,则级数等于 ( ) (D) 9 (4) 设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, 是在第一象限的部

分,则 (A) (C) 等于 ( ) (B) (D) 0 (5) 设阶方阵、、满足关系式 ,其中是阶单位阵,则必有 ( ) (A) (C) (B) (D) 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1) 求 . (2) 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数. (3) ,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体. 四、(本题满分 6 分) 在过点和的曲线族中,求一条曲线 ,使沿该曲线从到的积分的值最小. 五、(本题满分 8 分.) 将函数展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数的和.

六、(本题满分 7 分.) 设函数在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 ,证明在(0,1)内存在一点 ,使 . 七、(本题满分 8 分.) 已知 , . , , ,及 (1) 、为何值时, 不能表示成的线性组合？ (2) 、为何值时, 有的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、(本题满分 6 分) 设为阶正定阵, 是阶单位阵,证明的行列式大于 1. 九、(本题满分 8 分) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数( 是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行. 十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.) (1) 若随机变量服从均值为 2,方差为的正态分布,且 ,则 =_______. (2) 随机地向半圆 ( 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_______. 十一、(本题满分 6 分) 设二维随机变量的概率密度为 ,

求随机变量的分布函数. 答案一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 , 则 . 所以 , 再对求导,由复合函数求导法则得 . (2)【答案】【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得的含义是 . 再由全微分四则运算法则得 , , 令 ,得 ,即 .

(3)【答案】【解析】所求平面过直线 ,因而过上的点；因为过平行于 ,于是平行于和的方向向量,即平行于向量和向量 ,且两向量不共线,于是平面的方程 , . 即 (4)【答案】【解析】因为当时, , 当时 ,所以有所以 . 因为当时, 与是等价无穷小,所以 ,故 . (5)【答案】【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答. .

注意： , . 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律： ,则求的伴随矩阵 . 如果 ,这样 . 再利用分块矩阵求逆的法则： ,易见 . 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为 ,所以函数的间断点为 , ,所以为铅直渐近线, ,所以为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有 ,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当 (2)【答案】(B) ,则为函数的水平渐近线.

【解析】令 ,则 ,所以 , 两边对求导,得 ,这是一个变量可分离的微分方程,即 .解之得 ,其中是常数. 又因为 ,代入 ,得 ,得 ,即 . (3)【答案】(C) 【解析】因为所以而故应选(C). (收敛级数的结合律与线性性质), . , (4) 【答案】(A) 【解析】如图,将区域分为四个子区域.

显然, 关于轴对称, 关于轴对称. 令 , 由于对及对都是奇函数,所以 . 而对是偶函数,对是奇函数,故有所以 , , 故选(A). (5)【答案】(D) 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换. 由于、、均为阶矩阵,且 ,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式 ,得到、、 ,知、、均可逆,那么,对于 , 先左乘再右乘有 ,故应选(D). 其实,对于先右乘再左乘 ,有 . 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.) (1)【解析】这是型未定式求极令 ,则时 ,所以 ,

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