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数值计算方法答案 主编 曾金平 湖南大学出版社.doc
数值计算方法
1
习题一（2）
习题二（6）
习题三（15）
习题四（29）
习题五（37）
习题六（62）
习题七（70）
2009．9，9
习题一
1．设 x >0 相对误差为 2%，求 x ， 4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
(
( ))
f x
(
( ))
f x
( )
f x
x
( )
f x
f
'( ) ( )
x
x
得
（1） ( )
f x
x 时
2
(
x
)
)'
( )
x
1
2
( )
x
1
2
*2% 1%
；
(
x
x
x
x 时
4
（2）
4
(
x
)
( )
f x
x
4
x
4
(
x
)'
( )
x
4 ( )
x
4*2% 8%
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他
们各有几位有效数字。
（1） 12.1
解：由教材 9P 关于
x
型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效
；（3） 12.100
；（2） 12.10
.m
a b b
1 2
a a
1 2
x
x
x
b
n
。
数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352
2
(
fl
(0.3443 10
fl
(0.3197 10
2
fl
=
=0.3457
210
0.1352)
（2）31.97+（2.456+0.1352）
0.2456 10 ) 0.1352)
1
（2）31.97+（2.456+0.1352）
2
(0.3197 10
fl
(0.3197 10
fl
2
1
(0.2456 10 ))
fl
1
0.2591 10 )
=
=0.3456
210
易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612
210 ，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多
少？
解：设该正方形的边长为 x ，面积为
( )
f x
2
x ，由
(
( ))
f x
解得
( )
x
(
( )
( ))
f x
f x
'( )
xf
x
(
=
2
( ))
f x x
2
x
x
(
( ))
f x
2
=0.5%
5．下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
( ))
(
f x
( )
f x
x
( )
f x
f
'( ) ( )
x
x
（1）已知
x ，（A）
1
y
3
（2）已知
x ，（A）
1
y
1
1 2
x
x
x
1
1
2
x
(
x
1
x
x
1
x
)
，（B）
y
22
x
(1 2 )(1
x
，（B）
y
x
；
)
x
1
x
x
；
1
x
（3）已知
x ，（A）
1
y
2sin x
2
x
，（B）
y
1 cos 2x
x
；
（4）（A） 9
y
80
，（B）
y
1
9
80
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两
个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法
时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。
（3）（A）中 2
（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。
sin x 使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
15
10
x
1
x
1
15
10
x
2
x
2
2
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？
解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
1
0.100 10
1
0.100 10
x
1
x
1
16
0.100 10
1
0.100 10
16
0.100 10
x
2
1
0.200 10
x
2
(1)
(2)
（1）-（2）得
16
0.100 10
x
2
16
0.100 10
，即
x
2
把 2x 的值代入（2）得
x
1
1
0.100 10
1
0.100 10
，把 2x 的值代入（1）得 1
x
0.000
；
解
1
1 0.100 10
x
1
2 0.000 10
x
不满足（2）式，解
1
1 0.100 10
x
1
2 0.100 10
x
不满足（1）式，故在十进制三位浮
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
和 ( )
g x
1
7．计算函数
十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
( )
f x
3
3
x
x
x
3
2
((
x
3)
x
3)
x
1
在
x
2.19
处的函数值（采用
解：
f
)19.2(
.0
4
1
10
144.0
.03
480
2
10
1
10
657.0
1
10
1
.0
10
657
1
1
480
1
219
10
.0
2
105.0
10
1
0.167 10
=
.0)81.0((
219
1
123.0
10
( ) 0.169 10
g x
3
x
10
219.0
1
1
)19.2(g
即
而当 2.19
( ) 0.167 10
f x
x
，
时 3
23
x
x
1
.0)3
1
10
1
1
10
219
1
1
0.169 10
=
1
的精确值为 1.6852，故 ( )g x 的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
（1）
解：（1）
6
；(2)
1
i
1
3i
6
1
i
1
i
3
6
1
1
。
3i
i
1
1
2
3 3
1
3
3
1
4
3
1
5
3
1
6
3
=0.333 0.111 0.037 0.012 0.004 0.001
（2）
1
i
6
1
i
3
1
6
3
1
5
3
1
4
3
1
3
3
489.0
1
2
3
489.0
1
3
=0.001 0.004 0.012 0.037 0.111 0.333
9．已知三角形面积
S
1
2
ab
sin
C
，其中 0
C
。
2
证明： ( )
S
( )
a
( )
b
(
C
)
。
证 明 ： 由 自 变 量 的 误 差 对 函 数 值 的 影 响 公 式 ：
(
(
,
f x x
2
1
,
,
x
n
))
n
i
1
( ( ,
S a b C
,
))
a
( ,
S a b C
,
x
i
(
,
,
f x x
1
2
( ,
,
S a b C
a
)
1
,
(
,
f x x
2
x
i
b
( ,
S a b C
,
)
x
n
,
)
( )
a
,
x
n
)
(
x
i
)
。 得
,
( ,
S a b C
b
)
)
( )
b
C
( ,
S a b C
,
)
,
( ,
S a b C
C
)
(
C
)
( )
S
a
sin
C
ab
b
sin
C
( )
a
b
sin
C
ab
a
sin
C
( )
b
C
sin
C
ab
ab
cos
C
(
C
)
= ( )
a
( )
b
C
tgC
(
C
)
( )
a
( )
b
(
C
)
（当 0
C
时，C tgC
2
），命题得证。
5
1．找出下列方程在 0x 附近的含根区间。
习题二
x
（1） cos
（3）sin( )
x
x
e
；（2）3
x
0
；（4） 2
x
0
x
cos
x
x
e
0
；
0
；
解：（1）设 ( )
f x
x
cos
x
，则 (0) 1
， ( 1)
f
f
-0.4597
，由 ( )
f x 的连续性知在
x
1,0
f x =0 有根。
内， ( )
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为
0,1 ； 0,
2
；
0,1
6
2．用二分法求方程 sin
x
解 ： 令
( )
f x
f
'( )
x
sin
x
x
cos
x
0,2 内的根的近似值并分析误差。
f
1 0
(0)
，
f
1
， 则 有
1 0
x 在
sin
x
x
，
x
0
0,2
(2)
0.8186
0
，
所以函数 ( )
f x 在
0，2 上严格单调增且有唯一实根 x 。
本题中求根使得误差不超过 410 ，则由误差估计式
|
x
k
|
b
a
12
k
，所需迭代次数 k 满足
02
1
k
2
4
10
，即取
28.13k
便可，因此取 14k
。
用二分法计算结果列表如下：
ka
0
1
1
1
1
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
kb
2
2
1.5
1.25
1.125
1.125
1.125
1.125
1.1171875
1.1171875
1.115234375
1.1142578125
1.1142578125
1.1142578125
1.1142578125
kx
1
1.5
1.25
1.125
1.0625
1.09375
1.109375
1.1171875
1.11328125
1.115234375
1.1142578125
1.11376953125
1.114013671875
1.1141357421875
1.11419677734375
( kxf
)
-0.1585
0.4962
0.1862
0.015051
-0.0718
-0.02835
-0.00664
0.004208
-0.001216
0.001496
0.001398
-0.000538
-0.000199
-0.0000297
0.000055
1.0625
1.09375
1.109375
1.109375
1.11328125
1.11328125
1.11328125
1.11376953125
1.114013671875
1.1141357421875
7
由上表可知原方程的根
该问题得精确解为
14
x
1.11415714
1.11419677
734375
0871
，故实际误差为
.0
0000396
3．判断用等价方程
简单迭代法 1
x
(
x
k
x
k
( )
x
)
的收敛性，其中
建立的求解的非线性方程
( )
f x
3
x
2
x
1 0
在 1.5 附近的根的
（A）
( ) 1 1/
x
2
x
；（B）
( )
x
3
1
2
；（C）
x
( )
x
1
x
1
1.3,1.6 来考察。（A）
，显然当 0x 时， ( )x 单调递减，
( ) 1
x
1
2
x
解：取 1.5 附近区间
而 (1.3) 1.59171596
因此，当
x
1.3,1.6
，
时，
(1.6) 1.390625
1.3,1.6
。
( )
x
，
时，
1.3,1.6
又当
x
2
3
x
由迭代法收敛定理，对任意初值
x
'( )
x
2
3
1.3
0.92 1
，
1.3,1.6
，迭代格式 1
x
k
， (
1
k
0,1,2,
收敛。
)
1
2
x
k
（B）
(1
( )
x
1
3
x
2
)
，则 (1.3) 1.390755416
，
'( )
x
1
3 (1
2
x
2
2 3
)
x
0
(
x ，
0)
所以当
x
1.3,1.6
时，
( )
x
1.3,1.6
。
(1.6) 1.526921344
，
又当
x
1.3,1.6
时，
'( )
x
2
3
x
2
3
(1
2
x
)
2
3
1.6
2
(1 1.3 )
2
3
0.552 1
，
由迭代法收敛定理，对任意初值
x
1.3,1.6
，迭代格式
x
k
(1
1
1
2 3
)
x
k
，(
k
0,1,2,
收敛。
)
（C）
( )
x
1
x
1
，由于当
x
1.3,1.6
时，有
'( )
x
1
2(
x
1)
3
2
1
2(1.6 1)
3
2
所以对任意初值
x
1.3,1.6
1.075828706 1
，
（原方程的根除外），迭代格式 1
x
k
散。
1
x
k
1
(
k
0,1,2,
发
)
4．确定
x
( )
x
的简单迭代法 1
x
k
(
x
k
的收敛区间
,a b 。如果收敛，试估计使精度达到
)
410 时所需的迭代次数并进行计算。
（A）
( )
x
2
2
x
；
（B）
( )
x
； （C）
2
( )
x
sin
x
xe
3
2
5
2
x
)(
xf
解：（A）方程为
e x
2
x
3
x
0
，设
2
e
x
f
)5.0(
-0.8987
0
，故有根区间为
]5.0,0[
，题中
( )
x
8
|
2|
|)('
x
x
e
x
3
故迭代公式
( )
x
02|
|
3
2
x
xe
3
0
e
.0|
3333
2
在含根区间
]5.0,0[
内收敛。
x
cos
2
01)0(
，
x
2
2
3
x
xe
3
f
，则
x
2
，
（B）方程为
3
x
2 2
x
05
，设
)(
xf
3
x
2
x
f
)3(
4
0
，故有根区间为
]3,5.2[
，题中
( )
x
5
，则
f
)5.2(
，
2
|
|)('
x
|
2
5
2
x
，
-1.875
|10
|
x
3
0
10
3
5.2
|
0.64
1
故迭代公式
( )
x
5
2
x
在含根区间
2
]3,5.2[
内收敛。
（C）方程为
sin
x
cos
x
2
x
0
，设
)(
xf
sin
x
f
)1(
-0.6182
0
，故有含根区间 ]1,0[ ，题中
( )
x
f
01)0(
，
cos
sin
2
x
x
cos
x
2
，则
x
，
|
x
|
|)('
cos
x
2
sin
x
|
|
cos
0
0sin
2
15.0|
5．对下点列用埃特金方法加速。
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
0.54030,
0.87758,
0.94496,
0.96891,
0.98007,
0.98614,
0.98981.
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