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2009年新疆高考理科数学试题及答案.doc
2009 年新疆高考理科数学试题及答案
一、选择题：
1.
10i
2-i
A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
D. 2-4i
解：原式
10i(2+i)
(2-i)(2+i)
2 4
i
.故选 A.
2. 设集合
A
|
x x
3 ,
B
x
|
x
x
1
4
0
，则 A B =
A.
B.
3,4
C.
2,1
D.
4.
解：
B
x
|
x
x
1
4
0
x
| (
x
1)(
x
4) 0
x
|1
x
4
.
A B
(3,4)
.故选 B.
A ， 则 cos A
3. 已知 ABC
中，
cot
A.
12
13
解：已知 ABC
中，
cot
A ，
B.
12
5
5
13
12
5
5
13
C.
A
(
2
,
)
.
D.
12
13
cos
A
1
1 tan
2
A
1
1 (
5
12
2
)
12
13
故选 D.
4.曲线
y
在点
1,1 处的切线方程为
x
x
2
y
1
2 0
A.
x
B.
x
y
2 0
C.
x
4
y
5 0
D.
x
4
y
5 0
解：
y
|
x
1
x
2
x
(2
1 2
2
1)
x
|
x
1
[
1
2
1)
(2
x
]|
x
1
1
,
故切线方程为 1
,即
1)
y
x
(
x
y
2 0
故选 B.
5. 已知正四棱柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
AA
中， 1
，E 为 1AA 中点，则异面直线 BE 与 1CD
AB
2
所成的角的余弦值为
A.
10
10
B.
1
5
C.
3 10
10
D.
3
5
解：令
AB 则 1
AA ,连 1A B
2
1
1C D
∥ 1A B 异面直线 BE 与 1CD 所成的角即 1A B
与 BE 所成的角。在 1A BE
中由余弦定理易得
cos
A BE
1
3 10
10
。故选 C
6. 已知向量
a
2,1 ,
a b
10,|
a b
| 5 2
，则|
|b
A.
5
a b
50 |
2
|
|
a
2
|
解：
B.
a b
2
10
b
|
2
|
5 20 |
C.5
b
|
2
b
| 5
|
D. 25
。故选 C
7. 设
a
log
,
b
log
2
3
3,
c
log
3
2
，则
A. a
b
c
B. a
c
b
C. b
a
c
D. b
c
a
解：
log
3
2
log
2
2
log
2
3
b
c
log
2
3
log 2 log 3 log
2
3
3
a
b
a
b
c
.故选 A.
8. 若 将 函 数
y
tan
x
4
0
的 图 像 向 右 平 移
6
个 单 位 长 度 后 ， 与 函 数
y
tan
x
6
的图像重合，则的最小值为
B.
1
4
6
向右平移 个单位
y
C.
tan[
(
x
1
3
)
6
D.
]
4
ta
n
x
1
2
6
A．
1
6
解：
y
tan
x
4
又
4
6
1
2
2
6
k
6
k
1
2
(
k Z
)
，
min
0
.故选 D
9. 已知直线
y
k x
k
与抛物线
0
C y
:
2
x 相交
8
于 A B、 两点，F 为C 的焦点，若|
FA
| 2 |
FB
|
，则 k
A.
1
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2 2
3
解 ： 设 抛 物 线
C y
:
2
x 的 准 线 为 :
l x 直 线
8
2
y
k x
2
k
恒过定点 P
0
2,0
.如图过 A B、 分 别作 AM l 于 M , BN l
于 N , 由 |
FA
| 2 |
FB
|
, 则 |
AM
| 2 |
BN
|
, 点 B 为 AP 的 中 点 . 连 结 OB , 则
|
OB
|
1
2
|
AF
|
,
|
OB
|
|
BF
|
点 B 的 横 坐 标 为 1 , 故 点 B 的 坐 标 为
(1,2 2)
k
2 2 0
1 ( 2)
2 2
3
, 故选 D
10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法
共有
A. 6 种
B. 12 种
C. 30 种
D. 36 种
解：用间接法即可.
C C
2
4
2
4
C
2
4
种. 故选 C
30
11. 已知双曲线
2
2
x
C
：
a
2
2
y
b
1
a
0,
b
0
的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C
于 A B、 两点，若
A．
6
5
B.
4
FB
C.
AF
7
5
m
,则C 的离心率为
5
8
9
5
D.
解：设双曲线
2
2
x
C
：
a
2
2
y
b
1
的右准线为l ,过 A B、 分 别
作 AM l 于 M , BN l 于 N , BD AM D
于 ,由
直 线 AB 的 斜 率 为 3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为
60
BAD
60 ,|
AD
|
1
2
|
AB
|
,
由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有
|
|
AB
|
AM
1
2
|
又
|
BN
1
2
AF
|
|
AD
AF
|
(|
4
FB
AF
|
|
FB
|)
|
1
(|
e
|
FB
1
e
3|
|)
.
FB
FB e
|
|
|
5
2
6
5
故选 A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、
北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得
到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是
A. 南
C. 西
B. 北
D. 下
解：展、折问题。易判断选 B
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。
13.
解：
x y
y x
x y
y x
4
4
C
2
4
6
的展开式中 3
3
x y 的系数为
6
。
2
2
x y
(
x
y
4
)
，只需求
(
x
y
)
4
展开式中的含 xy 项的系数：
14. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5
a
S
a 则 9
S
5
35
9
.
解： na
S
为等差数列， 9
S
5
9
a
5
5
a
3
9
15.设OA 是球 O 的半径， M 是OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面
得到圆C 。若圆C 的面积等于
7
4
，则球O 的表面积等于 8.
7 .
4
7
4
4
r
由
,得
r
2
解：设球半径为 R ，圆 C 的半径为 r ，
2
因为
OC
2
2
R
2
2
4
R
。由 2
R
(
2
4
2
R
)
2
r
1
8
2
R
面积等于8.
得 2
R .故球 O 的表
2
7
4
16. 已知 AC BD、 为圆 O :
2
x
2
y
的两条相互垂直的弦，垂足为
4
M
1, 2
,则四边形
ABCD 的面积的最大值为
。
d
解：设圆心 O 到 AC BD、 的距离分别为 1
d、 ,则 2
d
1
2
2
d
+
2
OM
2
3
.
四边形 ABCD 的面积
S
1 |
2
AB CD
|
|
| 2 (4
d
2
1
d
)(4-
2
)
2
8 (
d
2
1
d
2
2
) 5
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（本小题满分 10 分）
设 ABC
的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，
cos(
A C
) cos
B
，
3
2
2b
ac ，求 B 。
分 析 ： 由
cos(
A C
) cos
B
， 易 想 到 先 将
3
2
B
(
A C
)
代 入
cos(
A C
) cos
B
得
3
2
cos(
A C
) cos(
A C
)
3
2
然后利用两角和与差的余弦公式
。
展开得
sin sin
A
C ；又由 2b
3
4
ac ，利用正弦定理进行边角互化，得 2
sin
B
sin sin
A
C
，
或 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当
B
2
3
进而得
sin
B
3
2
.故
B
时，由
cos
B
cos(
应舍去。
2
3
3
1
2
)
A C
，进而得
cos(
A C
)
cos(
A C
)
，矛盾，
2 1
3
2
也可利用若 2b
ac 则b
a b c
或
从而舍去
B
2
3
。不过这种方法学生不易想到。
评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱
ABC A B C
1 1
1
中，
为 1AA 、 1B C 的中点， DE 平面
BCC
1
（I）证明： AB AC
AB AC D
,
、 E 分别
（II）设二面角 A BD C
为 60°，求 1B C 与平面 BCD 所成的角的大小。
（I）分析一：连结 BE，
ABC A B C
1 1
1
为直三棱柱，
B BC
1
90 ,
E 为 1B C 的中点， BE EC
。又 DE 平面
BCC ，
1
BD DC
AB AC
（射影相等的两条斜线段相等）而 DA 平面 ABC ，
（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取 BC 的中点 F ，证四边形 AFED 为平行四边形，进而证 AF ∥ DE ，
AF
BC ，得 AB AC
也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（II）分析一：求 1B C 与平面 BCD 所成的线面角，只需
求点 1B 到面 BDC 的距离即可。
作 AG BD
为二面角 A BD C
于G ，连GC ，则GC BD
AGC
的平面角，
， AGC
.不
60
O
妨设
AC
2 3
，则
AG
2,
GC
.在 RT ABD
4
得
AD
6
.
中，由 AD AB BD AG
，易
设 点 1B 到 面 BDC 的 距 离 为 h ， 1B C 与 平 面 BCD 所 成 的 角 为 。 利 用
S
BCD
， 可 求 得 h 2 3 ， 又 可 求 得 1
h
B C
4 3
1
3
S
DE
B BC
1
sin
h
B C
1
1
3
1
2
30 .
即 1B C 与平面 BCD 所成的角为30 .
分析二：作出 1B C 与平面 BCD 所成的角再行求解。如图可证得 BC
面
AFED
，所以
面 AFED
面
BDC
。由分析一易知：四边形 AFED 为正方形，连 AE DF、 ，并设
交 点 为 O ， 则 EO
面
BDC
， OC
为 EC 在 面 BDC 内 的 射 影 。
即为所求 。以下略。
ECO
分析三：利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n
，则 1B C 与平面 BCD 所成的角
即为 1B C
与法向量 n
的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半
壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
19（本小题满分 12 分）
设数列{ }na 的前 n 项和为 ,nS 已知 1 1,
a
S
1
n
4
a
n
2
（I）设
b
n
a
n
1 2
，证明数列{ }nb 是等比数列
a
n
（II）求数列{ }na 的通项公式。
解：（I）由 1 1,
a 及 1
n
S
4
a
n
a
，有 1
2
a
2
14
a
2,
a
2
3
a
1
2 5,
b
1
a
2
2
a
1
3
由 1
n
S
4
a
n
，．．．① 则当 2
n 时，有
2
S
n
4
a
1
n
．．．．．②
2
②－①得 1
n
a
4
a
n
4
a
n
1
,
a
1
n
2
a
n
2(
a
n
2
a
n
1
)
又
b
n
a
n
1 2
a
n
，
b
n
2
b
1
n
{ }nb
是首项 1
b ，公比为２的等比数列．
3
（II）由（I）可得
b
n
a
n
3 2n
1
n
，
数列{
}
n
n
是首项为
，公差为
a
2
n
n
(
n
1)
n
，
1
4
1 2
a
1
2
3
4
3
4
a
2
1
2
a
1
n
1
n
2
a
2
n
n
3
4
3
4
na
的等比数列．
(3
n
1) 2n
2
评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找
b
n
b 与 的关系即可 ．
1
n
第（II）问中由（I）易得
a
1 2
a
n
n
，这个递推式明显是一个构造新数列的模
3 2n
1
型： 1
n
a
pa
n
n
,
q p q
(
为常数)，主要的处理手段是两边除以 1nq ．
总体来说，09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新
数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法），一改往年的将数列结合不等式
放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法
基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
20（本小题满分 12 分）
某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，
现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行
技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；
（III）记表示抽取的 3 名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。
分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分
层抽样与性别无关。
（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率
P
1
6
1
C C
4
2
C
10
8
15
（III）的可能取值为 0，1，2，3
P
(
0)
1
2
CC
3
4
2
1
C C
10
5
，
6
75
P
(
1)
1
6
1
1
C C C
3
4
2
1
C
C
10
5
2
1
C C
4
2
2
1
C C
10
5
，
28
75
P
(
3)
2
1
C C
6
2
2
1
C C
10
5
，
10
75
分布列及期望略。
P
(
2) 1
P
(
0)
P
(
1)
P
(
3)
31
75
评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 (
P 时，采用分类的方法，
2)
用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。
21（本小题满分 12 分）
已知椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的离心率为
0)
b
3
3
，过右焦点 F 的直线l 与C 相交
于 A 、 B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点O 到l 的距离为
2
2
（I）求 a ，b 的值；
（II）C 上是否存在点 P，使得当l 绕 F 转到某一位置时，有OP OA OB
成立？
若存在，求出所有的 P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
解:(I）设 ( ,0)
F c ，直线 :
l x
，由坐标原点O 到l 的距离为
y
c
0
2
2
则
| 0 0
2
c
|
2
2
，解得
1c .又
e
c
a
3 ,
3
a
3,
b
2
.
（II）由(I）知椭圆的方程为
C
:
2
x
3
2
y
2
1
.设 1
(
A x y 、 B 2
,
x y
)
(
,
1
)
2
由题意知l 的斜率为一定不为 0，故不妨设 :
l x my
1
2
y
4
my
，显然
0 。
2
m
(2
代入椭圆的方程中整理得
y
由韦达定理有： 1
3)
4
m
2
m
.假设存在点 P，使OP OA OB
y
2
2
3
4 0
4
2
2
m
,
y y
1 2
．．．．．．．．①
,
3
成立，则其充要条件为：
点
P
(
的坐标为
x
1
x y
2
1
,
y
2
)
，点 P 在椭圆上，即
(
x
1
x
2
3
2
)
(
y
1
y
2
2
)
2
。
1
整理得 2
x
1
2
3
2
y
1
2
2
x
2
2
3
y
2
4
x x
1 2
6
y y
1 2
。
6
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