1999年全国大学生数学建模B题钻井布局.doc

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YW $ }X }X }X }X }X }X }X 4 盰 - }X 蟉 u ? ! 蟉旧井的充分利用 symbol 151 \f "Times New Roman" \s 20 symbol 151 \f "Times New Roman" \s 20 钻井最优分布的数学模型陈薇何岸刘方宇指导教师：陈钰菊（南昌大学 330047）摘要：本文讨论在一定区域中,如何合理安排正方形网格式打井,使旧井设备得到充分利用.根据抽屉原理,得出平移(包括横移与纵移)网格后,在给定误差范围内旧井与新井结点重合的条件. 在网格可以旋转的条件下,给出了搜索最多可同时利用旧井点数的计算机算法与结果.在推广到 n 个旧井点均可利用的判断时,将第一模型修改后,结合旋转,给出 n 个点均可利用的条件. 问题的重述：勘探部门在研究某地区钻井布局时，为了少打新井，节省开支，尽可能地利用已有的旧井，需要进行辅助决策.取单位长为每个格子的边长.建立一个正方形网格Ｎ，结点为新井位置.有ｎ个点 Pi，坐标为（Xi，Yi），ｉ=1,2，…，n．表示已有的井位.当已知点 Pi 与结点 Ri 的距离非接近（不超过给定误差ε＝0.05 单位）时，则旧井可用．尽量利用旧井. 现给出ｎ＝12 个点的坐标：

表 1: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Xi 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43

7.57 8.38 8.98 9.50 Yi 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80 模型的假设：一 )网格足够大; 二 )旧井分布相对集中; 三 )每个网格结点都要有新井. 文中用到的符号及说明: Pi:第 i 个旧井点 PiRPj:Pi 点与 Pj 点之间存在可利用关系即可通过平移使两旧井均可利用的关系

Gi:完全图 Ei:完全图 Gi 中的可利用关系集 Vi:完全图 Gi 中的结点集 D(x):取 x 尾数的函数模型的建立、分析及计算结果：一) 关于问题一的模型: 首先,我们必须找到可利用的旧井与新井的关系.假设网格固定.由于新井分布在网格结点上,所以我们只讨论网格结点与旧井分布点处的关系.根据题目的定义,距离取横向距离(横坐标之差绝对值)及纵向距离(纵坐标之差绝对值)的最大值,误差范围不超过 0.05 个单位长度.所以旧井点与最近网格结点距离不超过 0.05 个单位就可利用.也就是,Pi 与网格结点横向距离及 Pi 与网格结点纵向距离都不超过 0.05 个长度单位.这样,我们可以认为以网格结点为中心,两对边分别平行横坐标与纵坐标,边长为 0.1 个单位长度的正方形(如图 1 所示)为有效区域.如果旧井点落入某个网格结点的有效区域,则说旧井点可利用. 如果网格可以平移,又如何确定 m 口旧井同时利用的条件.旧井位置事先固定了，移动网格不能改变它们的相对距离关系.也就是说,旧井能否同时落入网格结点有效区域,由它们之间的相对距离决定.先取两口旧井 Pa 与 Pb,|Xa-Xb|与|Ya-Yb|是相对横向距离与相对纵向距离.设 S ∈[0，1)横向或纵向距离为 k1+S 与 k2+S(k1、k2 为整数)，相对网格结点横向或纵向距离是等效的.所以我们可以将两点相对横向距离与相对纵向距离化为[0,1)的数.根据抽屉原理,我们很容易得出 D(|Xa-Xb|)∈A 且 D(|Ya-Yb|)∈A(A={[0，0.1]∪[0.9，1)},则通过平移网格必能使 Pa,Pb 同时落入有效区域,即同时利用推广到 m 口旧井,若 D(|Xi-Xj|)∈A 且 D(|Yi-Yj|)A,1≤i ＜j≤m 则通过平移必能使 m 口井同时使用.我们的模型建立为: 在 n 口旧井中寻找一个最大点集数 m,满足条件 D(|Xi-Xj|)∈A ∩D(|Yi-Yj|)∈A (式 1) 配合模型,对于我们设计了一种手算的数值计算方法.先将任意 Pi 与 Pj(i > j)的横纵向相对距离 D(|Xi-Xj|)∈A ，D(|Yi-Yj|)∈A 填入相应表格( j , i )中,将表中两个数据值在 A 中称为 PiRPj(i j 为表格坐标).将所有 R 关系列出,把关系涉及到的点画在图上,两两有 R 关系的,用线连接.找出其中的最大完全图 Gi,则 Gi=中 Vi 即为所求结果.本题中，Ｒ＝{(P1， P8)，(P1，P9)，(P2，P4)，(P2，P5)，(P2，P10)，(P3，P11)，(P4，P5)，(P4，P10)，(P5， P10)}，在圆上（见图２），可得最大完全图 G＝<{P2，P4，P5，P10}，{(P2，P4)，(P2，P5)， (P2，P10)，(P4，P5)，(P4，P10)，(P5，P10)}>，结果是唯一的即{P2,P4,P5,P10}可同时利用, 与我们用计算机移网格所求得的解完全吻合.但如果解不唯一，用上面的算法可以将解全部求得，优于计算机的只给出一个解. 计算机的运行结果: p2(1.41,3.50),p4(3.37,3.51),p5(3.40,5.50),p10(8.38,4.50) 沿横轴向左移动 0.36,纵向轴向下移动 0.46 嵌入 MSDraw \* mergeformat 嵌入 MSDraw \* mergeformat 图 2 图 1 图 3 表 2: 2

0.910 0.500

3 0.500 0.590 0.500 0.000

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