2017年云南昆明理工大学数学分析考研真题A卷.doc

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2017 年云南昆明理工大学数学分析考研真题 A 卷一、计算下列各题（每小题 6 分，共 30 分） y  1、设函数 ( f e 1 2 x 3、求函数 ( ) f x  2、求极限 lim( 0 x   sin )x ，求微分 dy ； 1 2 sin arctan 在 0 x x ； ) x  的左、右导数； 4、指出函数 )( xf  sin | x x | 的间断点，并说明其类型; 5、求不定积分  dx x 3 x . 二、证明下列各题（每小题 7 分，共 28 分） ) 0 1、用 N 定义证明 lim(  ；  1   n n n 2、应用柯西收敛准则，证明数列 sin1 sin 2 2 2 3、设 f 是定义在 R 上的函数，且对任何 1 sin n 2 2 ( f x R ，都有 1 ,x x 2 a  n    n 收敛；  x 2 )  ( f x 1 )  ( f x 2 ) ，若 f  (0) 1   ，证明：对任何 x R ，有 ( ) f x  ( ) f x ； 4、应用凹凸性证明不等式： ( x  y )ln 三、计算下列各题：（5 分×3=15 分） y x  2  x ln x  y ln , y , x y  . 0 1、求无穷积分 2、将函数  0  ( ) f x  2 dx 的值；展成 1x  的幂级数； xxe  1  1 x 3、求函数 ( , f x y )  2 2 x y ( x   2 y ) 2 2 x y 四、（10 分）证明狄利克雷函数在点 (0,0) 的重极限和累次极限. )( xD  ,1 x  为有理数，  0 x ，为无理数  在 ]1,0[ 上有界但不可积. 五、计算或证明下列各题：（6 分×5=30 分） 1、设 f 为连续可微函数，求 d dx  在点 (5,1,2) xyz A x  a ( x t  ) f  ( ) t dt ；的梯度以及沿着从该点到点 (9,4,14) B  的方向 AB 上的方 2、求函数u

向导数； 3、、计算第二型曲线积分  L 依顺时针方向； ydx ，其中 L 为 y  sin x 0( )  x 与 x 轴所围的闭曲线， 4、 5、   0   sinxe xdx a 在 0 [ ,  ]( a 0  上一致收敛； 0)  S 2 x 1 y 2 dS ，其中 S 是柱面 2 x  2 y 2  被平面 0, R  z z H  所截取的部分；六、（10 分）证明：函数 ( , f x y ) , 2       2 x y 2 y  x 0, 2 x  2 y  0 2 x  2 y  0 在 (0,0) 点连续且偏导数存在，但不可微. 七、（10 分）求表面积一定而体积最大的长方体. 八、（ 10 分）用高斯公式计算曲面积分 yzdydz  2 ( x  2 z ) ydzdx  xydxdy ，其中  S S y : 4 (   x 2 2  ，在 xoz 面右侧部分外侧. z ) 九、（7 分）用定义证明 ( ) f x  在 (0,1) 内不一致连续. 1 x

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