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2021-2022年广东东莞高一数学上学期期中试卷及答案.doc
2021-2022 年广东东莞高一数学上学期期中试卷及答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1,2,3,4,5
，集合
1,2
B.
U
2
1.已知全集
A. 5
2.函数
A.
1,
3.点
A
A．第一象限
4.若实数 a ，b 满足
A.18
y
sin913 ,cos913
1x
的定义域是（
0,2
B.
位于(
B．第二象限
a b ，则3
2
B.6
M
1,2
3,4
N
3,4
，
C.
，则
U M N
ð
（
D.
1,2,3,4
）
）
)
C.
0,
D.
0,
C．第三象限
D．第四象限
3a
b 的最小值是（
C. 2 3
）
D. 42 3
m
b ”的（
a b ，则“
0
0m ”是“ m
a
2
2
x
）
log
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知
A.充分而不必要条件
C.充要条件
y
6．函数
A.
0,
7.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化
碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平
均最高容许浓度应小于等于 0.1%，经测定，刚下课时，某班教室空气中含有 0.2%的二氧化
碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 %y ，且 y随时间 t（单位：分钟）的变化规律
4
的单调增区间是（
B.
）
C.
,0
, 2
2,
D.
y
可以用函数
需要的时间为（
A．7 分钟
钟
log 0.2
0.3
8.设
A. c b a
a
t
10
0.05
(
e
)
R
）（参考数据 ln 2
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少
0.7,ln3 1.1
）
B．9 分钟
C．11 分钟
D．14 分
，
b
3
log 2
c
B.b c a
，
0.3
0.6
，则（
）
C. a c b
D. a b c
二、多项选择题（共 4 小题，各题均有多个选项符合题意，全对得 5 分，错选得 0 分，漏
选得 2 分，共 20 分）.
9．下列说法正确的是 (
A．如果是第一象限的角，则 是第四象限的角
B．如果， 是第一象限的角，且 则 sin
)
sin
的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 2
C．若圆心角为
3
3
D．若圆心角为 2
的扇形的弦长为 4 3 ，则该扇形弧长为 8
3
3
10.若角的终边上有一点
cos
的值可以是（
C． 5
A． 3 5
5
5
,2
P a a a ，则 2sin
B． 5
5
0
11.下列结论正确的是（
）
）
D． 3 5
5
1 0
”的否定是“
0x ， 2 3
0x ， 2 3
1 0
x
x
x
”
,0 单调递增，在
0, 单调递增，则
f x 在
f x 在 R 上是增函数
f x 是 R 上的增函数，若
x
f
f
f x
f x
x
成立，则 1
x
1
2
2
1
，
f a b
f x 定义域为 R ，且对 ,a b R
f b
f a
恒成立，则
0
x
2
f x 为
x
A.“
B.函数
C.函数
D.函数
奇函数
12.函数
f x
4
A.
1,2
x
2
x a x
B.
1
,
a x
2
,
a x
3,
恰有 2 个零点的充分条件是（
）
1
C. 1 ,1
2
D.
10,
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数
f x
2
x a
2
2
x
x
是奇函数，则 a ________________.
14.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点
P
sin
4π
3
,cos
4π
3
，则
_________．
cos π
x
15.若 cos
7
16. 设 函 数
f x
cos
，则 x 的取值组成的集合为_____________________..
2
ax
3 ,
1
x
a x
a
x
1.
2 ,
x
1,
的 最 小 值 为 2 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
____________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴
重合，终边分别与单位圆交于 ,A B 两点，且 OA OB
.
sin
cos
（1）求
cos
sin
的值；
2
3
2
3
5
（2）若点 A的横坐标为
，求 2sin cos 的值.
18．（本小题满分 12 分）
x x
2
A
已知集合
，求 A B 和
2m
A B
（1）若
（2）若
，求实数 m的取值范围．
或
3
x
R A
ð
x m
1
x
2
m
3 ,
m R ．
，
B
B
；
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
f x
2
x
x ，且 1
m
2
f
1
．
（1）求 m的值；
（2）判定 ( )
f x 的奇偶性，并给予证明；
（3）判断 ( )
f x 在(0,
) 上的单调性，并给予证明．
2
已知
20．（本小题满分 12 分）
3
( )
x
f x
的解集为
（1）若 ( )
f x
x
（2）解关于 x的不等式 ( )
f x
0
x a ．
4
2
x
ax
b ，求实数 a，b的值；
a ．
21．（本小题满分 12 分）
市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放 (1
)
个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y（克/升）随着时间 x（分钟）
a R
4,
a
a
变化的函数关系式近似为
y
a f x ，其中
( )
( )
f x
16
8
x
15
2
1(0
x
4)
x
(4
x
10)
，若多次投放，
则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经
验，当水中洗衣液的浓度不低于 4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）若第一次投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后再投放 2 个单位的洗衣液，问能否使接下
来的 4 分钟内持续有效去污？说明理由．
22.（本小题满分 12 分）
已知函数
( )
g x
ax
2
2
ax
1
(
b a
在区间[2，3]上有最大值 4 和最小值 1，设
0)
( )
g x
x
.
( )
f x
（1）求 a ，b 的值
（2）若不等式
f
（3）若
f
2
1
x
2
2
k
log
2
x
在
x
0
2,4
上有解，求实数 k 的取值范围；
3
k
0
1
有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围.
x
2
log
x
2
k
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号
答案
1
A
2
D
3
C
4
B
5
C
6
B
7
C
8
C
8．C
二、多项选择题（共 4 小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得 5 分，错选得 0 分，漏
选得 2 分，共 20 分）.
题号
答案
9
AD
10
AD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.1
14.
16.[1,
)
3
2
15． { |
2
k
12
BC
11
ACD
7
,
k Z
}
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）∵
，∴sin
2
sin
2
cos
，cos
cos
2
sin
，
∴
sin
cos
cos
sin
.......5 分
2
3
2
sin sin
cos
cos
sin cos
sin cos
1
.
..................
（2）∵点 A的横坐标为
，∴
cos
cos
2
，
3
5
sin
= ，
4
5
3
5
sin
cos
4
5
，
∴
2sin cos
...
10 分
2
4
5
4
5
32
25
.
.....................
18．（1）若
所以
A B
2m ，则
B
2
或
x x
因
为
x
1
x
1
x
R A
ð
，
x
7
，.........................
1 分
.........................
3
，
所
3 分
以
2
x
．
.........................
6 分
1
x
A B
3
x
，
时 ，
R A
ð
B
（2）因为
当
A B
当 B
3
m
m
1 2
B
；
.........................
1 2
m
m
2
1
m
时，
2
3 3
m
，解得 1
m ，
0
3
， 解 得
8 分
4 m
， 满 足
.........................
11 分
综上所述：实数 m的取值范围是
1
m ．
0
4 m
或
.........................
12 分
19 ． （ 1 ） 因 为
f
1
2
2
1
2
1
2
3 分
m
1
m
1
2
1
， 所 以
1 m
；
.........................
（2）由（1）可得
( ) 2
f x
x
又
f
(
x
)
2
x
1
x
2
1
x
x
，因为 ( )
f x 的定义域为
1
x
2
x
( )
f x
1
x
x x
0
，
， 所 以 ( )
f x 是 奇 函
数； ......................... 7 分
（3）函数 ( )
0
x
任取 1
则
f x 在(0,
，
x
2
) 上为增函数，理由如下：
f x
1
f x
2
2
x
1
1
x
1
2
x
2
1
x
2
2
x
1
x
2
x
2
x
1
x x
1 2
x
1
x
2
1
x x
1 2
2
x x
1 2
....
2
0
x
以
................10 分
x
因为 1
所
数．
20．【详解】（1）因为 ( )
f x
x
，所以 1
( )
f x
x
2
在
0
为 方 程 ( )
f x
上
0,
x x
1 2
(0,
0
)
，所以
f x
1
为
.........................
b ，
( 4)
的解集为
0
的 根 ， 所 以
4
x
x
f x ，
2
单
12 分
调
增
函
2
a
3 ( 4)
0
， 解 得
......................... 3 分
x
4
x
1
， 所 以
3
a
0
， 整 理 得 ：
得
a
x
11 分
或
1
2
x
2
3
4 0
， 解 得
x
.........................
(3
6 分
a 等 价 于 2
)
a x
x
...................... 7 分
3 x
；
时
或 x
a ；
，
解
( )
f x
4 x
所 以
4a ．
所 以 由
1b ．
（ 2 ） ( )
f x
(
0
)
x
当
当
当
3 x
；
综上，当
3 a
3 a
3)(
3 a
3 a
当
当
ax
．
x a
时，解不等式得
3 x
时，解得
3 a
21．（1）因为 4a ，所以
时，不等式的解集为 (
3 a
时，不等式的解集为
x x
,
时，不等式的解集为(
64
8
x
20 2 ,4
x
y
)
；
( ,
a
.........................
, 3)
3
；
)
( 3,
a
4,0
12 分
．
4
x
)
x
10
分
64
8
x
， 解 得
4 4
4x 时 ， 由
则 当 0
4x ．
0
当 4
x
4
8
x ．
综 上 ， 得 0
钟．
（2）假设要使接下来的 4 分钟内持续有效去污，则：
.........................
时 ， 由 20 2
........................ 6 分
.........................
x
x
10
4
8
4 分
， 解 得
5 分
．
.........................
0x
， 所 以 此 时
8x
， 所 以 此 时
， 若 一 次 投 放 4 个 单 位 的 洗 衣 液 ， 则 有 效 去 污 时 间 可 达 8 分
当
y
2
5
1
2
x
a
6
x
16
x
6)
10
1
8 (
时
，
(14
x
)
16
a
14
x
4 8
a
a
a
4
.......
8 分
a
a
4
4
x
4
，
能取到）
4
a
a
a ，所以 [6,10]
4
a 时等号取到．（因为1
a ．令8
4
，
当且仅当14
x
所以 y有最小值8
解得 24 16 2
10 分
所以 a的最小值为 24 16 2 1.4 2
．即要使得接下来的 4 分钟内持续有效去污，6 分钟
后至少需要再投放 1.4 个单位的洗衣液．所以，若第一次投放 2 个单位的洗衣液，6 分钟后
再 投 放 2 个 单 位 的 洗 衣 液 ， 能 使 接 下 来 的 4 分 钟 内 持 续 有 效 去
污．
12
分
(
( )
a x
g x
22. （1）由题意
1
4
1
a
b
1 4
6
a b
a ，∴ ( )g x 在[2,3]上单调递增，
.........................
.........................
，又 0
，解得
1)
∴
1
a
b
2
4
(2)
g
a
(3) 9
g
a
1
a
0
b
．
（2）由（1）
( )
g x
log
时， 2
2
2
x
[1,2]
x
[2, 4]
x
x
解，......................... 4 分
，令
log
t
2
x
1
，
( )
f x
.........................
3 分
，
( )
g x
x
1
x
，则 ( ) 2
x
f t
2
在[1,2] 上有
0
kt
( ) 2
f t
kt
2 2
t
1
t
kt
，∵ [1,2]
t
0
，∴
2
k
1
1
2
t
2
t
2
1
t
1
，
t
[1,2]
，则
1
t
1 ,1
2
，∴
2
1 1
t
的最大值为
，
.........................
6 分
1
4
2
∴
1
4
k ．
k ，即
1
8
∴ k 的取值范围是
1,
8
．
.........................
7 分
2
x
t
(3
k
1
2
1x
，则 (0,
t
， 2
t
1x
t
的图象，如
（3）原方程化为
令 2
作出函数 2
图
)
x
2) 2
(3
k
1 (2
k
(2
2)
t
0
1)
，
1)
有两个实数解 1
0
k
2,t
t ，
.........................
9 分
原方程有三个不同的实数解，则 1
记
0
1)
，
( )
h t
(3
k
(2
2)
0
k
t
t
2
t ， 2
t ，或 1
t ， 2
1
1
0
1
1
t ，
.........................
10 分
则
2
h
k
(1)
1 0
k
0
，解得 0
k ，或
综上 k 的取值范围是
(0,
) ．
2
h
0
1
......................... 12 分
0
，无解．
1 0
k
(1)
k
3
2
k
2
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