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2015山东高考理科数学真题及答案.doc
2015 山东高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015 年山东，理 1】已知集合
{ |
x x
1,4
2
4
x
3 0}
， { | 2
B
x
（C）
2,3
，则 A B （ ）
2,4
（D）
4}
x
（B）
（A）
1,3
（2）【2015 年山东，理 2】若复数 z 满足
z
1 i
i
，其中 i 是虚数单位，则 z （ ）
（A）1 i
（B）1 i
（C） 1 i
（D） 1 i
（3）【2015 年山东，理 3】要得到函数 sin(4
y
x
)
的图象，只需将函数 sin 4
3
y
x
的图像（ ）
（A）向左平移
12
个单位（B）向右平移
12
个单位（C）向左平移
3
个单位（D）向右平移
3
个单位
（4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ，
（A）
23
a
2
（B）
23
a
4
1|
x
（5）【2015 年山东，理 5】不等式|
|
x
的解集是（ ）
5| 2
ABC
（C） 23
a
4
60
，则
=（ ）
（D） 23
a
2
（A） (
,4)
（B） (
,1)
（C） (1,4)
（D） (1,5)
（6）【2015 年山东，理 6】已知 ,x y 满足约束条件
0
2
y
x
y
x
0
y
若 z ax
的最大值为 4，则 a （ ）
y
（A）3
（B）2
（C）-2
（D）-3
（7）【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中，
ABC
， / /
AD BC ，
2
BC
2
AD
2
AB
．将梯形 ABCD
2
绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A） 2
3
（B） 4
3
（C） 5
3
（D） 2
（8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
N
2
(0,3 )
，从中随机取一件，
其 长 度 误 差 落 在 区 间
(
P
) 68.26%
， (
P
2 ) 95.44%
2
）
3,6 内 的 概 率 为 （
）（ 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布
N ， 则
(
)
,
2
（A） 4.56%
（B）13.59%
（C） 27.18%
（D） 31.74%
（9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)
射出，经 y 轴反射与圆
(
x
2
3)
(
y
2
2)
相切，则反射光线
1
所在的直线的斜率为（ ）
（A）
或
5
3
3
5
（B）
或
3
2
2
3
（C）
或
5
4
4
5
（D）
或
4
3
3
4
（10）【2015 年山东，理 10】设函数
( )
f x
3
x
x
2 ,
1,
x
x
1,
1.
则满足
f
(
( ))
f a
)
(
2 f a
的取值范围是（ ）
;..
（A） 2[
3
,1]
（B）[0,1]
（C） 2[
3
,
)
（D）[1,
)
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分
（11）【2015 年山东，理 11】观察下列各式：
第 II 卷（共 100 分）
0
4 ;
1
1
4 ;
C
3
1
2
C C
5
5
1
2
C
C
7
7
0
C
1
0
C
3
0
C
5
0
C
7
2
4 ;
3
C
7
3
4 ;
照此规律，当
nN 时， 0
C
2
n
*
1
C
1
2
n
1
C
2
2
n
1
1
n
C
1
2
n
．
（12）【2015 年山东，理 12】若“
x
[0,
4
],tan
x m
”是真命题，则实数 m 的最小值为
．
（13）【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为
．
（14）【2015 年山东，理 14】已知函数 ( )
f x
x
a
b
(
a
0,
a
的定义域和值域都是[ 1,0]
，则 a b
1)
．
（15）【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的渐近线与抛物线
0)
2 :
C x
2
2
(
py p
交于点 ,
,O A B ，若 OAB
0)
的垂心为 2C 的焦点，则 1C 的离心率为
．
三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．
（16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设
( )
f x
sin cos
x
x
2
cos (
x
．
)
4
（Ⅰ）求 ( )
f x 的单调区间；
中，角 ,
,A B C 的对边分别为 ,
Af
,a b c ，若 (
2
) 0,
a
，求 ABC
1
面积．
（Ⅱ）在锐角 ABC
;..
（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC
中，
分别为 ,AC BC 的中点．
,
,
2
DE G H
AB
（Ⅰ）求证： / /
（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ，
BD 平面 FGH ；
AB BC CF DE BAC
,
,
45
，求平面 FGH 与平面
ACFD 所成角（锐角）的大小．
（18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12 分）设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 2
nS
3n
3
．
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
log
（Ⅱ）若数列{ }nb 满足
a b
n n
a
n
，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ．
3
（19）【2015 年山东，理 19】（本小题满分 12 分）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位
数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参
加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递
增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能
被 10 整除，得 1 分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX ．
（20）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
C
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的
0)
b
离心率为 3
2
，左、右焦点分别是 1
,F F ,以 1F 为圆心，以 3 为半径的圆与以 2F 为圆心，以 1 为半径的圆
2
相交，交点在椭圆 C 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
2
y
4
b
（Ⅱ）设椭圆
x
4
a
E
:
2
2
2
，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y
1
kx m
交椭圆 E 于 ,A B 两点，
射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．
（i）求 |
|
OQ
OP
|
|
的值；（ii）求 ABQ
面积最大值．
（21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数
( )
f x
ln(
x
1)
2
(
a x
（Ⅰ）讨论函数 ( )
f x 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
0x ， ( ) 0
f x 成立，求 a 的取值范围．
;..
，其中 a R ．
x
)
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2015 年山东，理 1】已知集合
{ |
x x
1, 4
2
4
x
3 0}
， { | 2
2,3
B
x
（C）
，则 A B （ ）
2, 4
（D）
4}
x
（B）
（A）
1,3
【答案】C
【解析】
A
{ |
x x
2
4
x
3 0} { |1
x
，
3}
x
A B
(2,3)
，故选 C．
（2）【2015 年山东，理 2】若复数 z 满足
z
1 i
i
，其中 i 是虚数单位，则 z （ ）
（A）1 i
【答案】A
【解析】
z
(1 i)i
（B）1 i
（C） 1 i
（D） 1 i
2
， 1 i
z ，故选 A．
i 1 i
i
（3）【2015 年山东，理 3】要得到函数 sin(4
y
x
的图象，只需将函数 sin4
)
3
y
x
的图像（ ）
（A）向左平移
12
个单位（B）向右平移
12
个单位（C）向左平移
3
个单位（D）向右平移
3
个单位
【答案】B
【解析】 sin 4(
y
x
，只需将函数 sin4
y
)
12
x
的图像向右平移
12
个单位，故选 B．
（4）【2015 年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ，
（A）
23
a
2
【答案】D
（B）
23
a
4
ABC
（C） 23
a
4
60
，则
=（ ）
（D） 23
a
2
【解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，
AB
BD CD AD AB
) (
(
ABC
)
60
可知
AB AD AB
BAD
2
180
60
120
a a
cos120
2
a
，故选 D．
，
23
a
2
（5）【2015 年山东，理 5】不等式|
x
1|
|
x
的解集是（ ）
5| 2
（A） (
,4)
（B） (
,1)
（C） (1,4)
（D） (1,5)
【答案】A
【解析】当 1x 时，1
x
(5
x
)
1
4x ；当 5x 时， 1 (
x
x
成立；当1
4 2
5x 时， 1 (5
x
不成立．综上 4x ，故选 A．
5) 4 2
2
x
x
)
，解得 4x ，则
6
2
（6）【2015 年山东，理 6】已知 ,x y 满足约束条件
0
2
y
x
y
x
0
y
若 z ax
的最大值为 4，则 a （ ）
y
（A）3
（B）2
（C）-2
（D）-3
;..
【答案】B
【解析】由 z ax
得 y
y
，借助图形可知：当
ax
z
1a ，即
a 时在
1
x
y 时有最大值 0，不符合题
0
意；当 0
1a ，即 1
时在
0a
x
y 时有最大值 1 4,
a
1
a
，不满足 1
；当 1
0a
，
0a
3
即 0
1a 时在
x
y 时有最大值 1 4,
a
1
a
，不满足 0
3
1a ；当
a ，即 1a 时在 2,
1
x
y
0
时有最大值 2
a
4,
a
2
，满足 1a ，故选 B．
2
ABC
（7）【2015 年山东，理 7】在梯形 ABCD 中，
， / /
AD BC ，
BC
2
AD
2
AB
．将梯形 ABCD
2
绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A）
2
3
【答案】C
【解析】
V
2
1 2
1
3
（B）
4
3
（C）
5
3
（D） 2
2
1 1
，故选 C．
5
3
（8）【2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
N
2
(0,3 )
，从中随机取一件，
其 长 度 误 差 落 在 区 间
3,6 内 的 概 率 为 （
）（ 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布
(
P
) 68.26%
， (
P
2 ) 95.44%
2
）
N ， 则
(
)
,
2
（A） 4.56%
（B）13.59%
（C） 27.18%
（D） 31.74%
【答案】D
【解析】
(3
P
6)
1
2
(95.44% 68.26%) 13.59%
，故选 D．
（9）【2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)
射出，经 y 轴反射与圆
(
x
2
3)
(
y
2
2)
相切，则反射光线
1
所在的直线的斜率为（ ）
（A）
或
5
3
3
5
（B）
或
3
2
2
3
（C）
或
5
4
4
5
（D）
或
4
3
3
4
【答案】D
【解析】 ( 2, 3)
关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 3
y
(
k x
即
2),
kx
y
2
k
，
3 0
| 3
k
则
d
2 2
k
2
1
k
3| 1,| 5
k
5|
2
k
1
，解得
k 或 3
4
4
3
，故选 D．
（10）【2015 年山东，理 10】设函数
( )
f x
3
x
x
2 ,
1,
x
x
（A） 2[
3
,1]
【答案】C
（B）[0,1]
【解析】由
f
(
( ))
f a
)
(
2 f a
可知 ( ) 1
f a ，则
;..
则满足
1,
1.
（C） 2[
3
f
(
( ))
f a
)
(
2 f a
的取值范围是（ ）
,
)
（D）[1,
)
1
a
2
1
a
或
a
3
a
1
1 1
，解得 2
3
a ，故选 C．
第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分
（11）【2015 年山东，理 11】观察下列各式：
0
4 ;
1
1
4 ;
C
3
1
2
C C
5
5
1
2
C C
7
7
2
4 ;
3
C
7
3
4 ;
照此规律，当
nN 时， 0
C
2
n
*
1
C
1
2
n
1
C
2
2
n
1
1
n
C
1
2
n
．
0
C
1
0
C
3
0
C
5
0
C
7
【答案】 14n
【解析】 0
C
2
n
1
C
1
2
n
1
C
2
2
n
1
C
1
n
2
1
n
1 (2
C
2
0
2
n
1
2
C
1
2
n
1
2
C
2
2
n
1
2
C
1
n
2
1
n
)
1 [(
C
2
1
(
C
2
0
2
n
1
C
1
2
n
1
2
n
)
(
C
1
2
n
1
C
2
2
n
1
2
n
)
(
C
2
2
n
1
C
2
3
n
1
2
n
)
0
2
n
C
1
2
n
1
C
2
2
n
1
C
1
n
2
1
n
C
n
2
n
1
C
1
2
n
1
2
n
)
1
1
n
2
1
n
C
n
2
n
1
)]
2
n
1
2
n
1
4
(
C
1
2
（12）【2015 年山东，理 12】若“
x
[0,
4
],tan
x m
”是真命题，则实数 m 的最小值为
．
【答案】1
【解析】“
x
[0,
4
],tan
”是真命题，则 tan
x m
m
4
，于是实数 m 的最小值为 1．
1
（13）【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为
【答案】 11
6
．
【解析】
T
1
1
0
xdx
1
0
2
x dx
1
1
2
1
3
11
6
．
（14）【2015 年山东，理 14】已知函数 ( )
f x
【答案】 3
2
x
a
b
(
a
0,
a
的定义域和值域都是[ 1,0]
，则 a b
1)
．
【解析】当 1a 时
1
1
a
0
a
b
0
b
，无解；当 0
1a 时
a
0
a
1
b
b
0
1
，解得
b
2,
a
，则
1
2
a b ．
2
1
2
3
2
（15）【2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的渐近线与抛物线
0)
交于点 ,
,O A B ，若 OAB
0)
的垂心为 2C 的焦点，则 1C 的离心率为
．
2
2
(
py p
2 :
C x
【答案】 3
2
【解析】
C
1
:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的渐近线为
0)
y
，则
x
(
A
2
pb
a
,
2
2
pb
2
a
),
B
(
2
pb
a
,
2
2
pb
2
a
)
2 :
C x
2
2
(
py p
的焦点 (0,
0)
F
p
2
)
三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．
;..
b
a
2
，则
k
AF
p
2
pb
2
a
2
2
pb
a
，即
a
b
2
2
b
a
，
5
4
2
2
c
a
2
a
2
b
2
a
，
9
4
e
c
a
．
3
2
（16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设
( )
f x
sin cos
x
x
2
cos (
x
．
)
4
（Ⅰ）求 ( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 ABC
中，角 ,
,A B C 的对边分别为 ,
Af
,a b c ，若 (
2
)
0,
a
，求 ABC
1
面积．
解：（Ⅰ）由
( )
f x
1
2
2
sin 2
x
1
2
[1 cos(2
x
)]
2
2
x
2
k
,
2
k Z
得
k
1
2
4
由 2
k
sin 2
x
1
2
sin 2
x
sin 2
x
，
1
2
x
k
,
k Z
，
1
2
4
则 ( )
f x 的递增区间为[
k
k
,
4
],
4
k Z
；
由
2
k
2
2
x
2
k
3
,
2
k Z
得
k
4
x
k
3 ,
4
k Z
，
则 ( )
f x 的递增区间为
[
k
k
,
4
3
],
4
k Z
．
（Ⅱ）在锐角 ABC
中，
Af
(
2
)
sin
A
1
2
0,sin
A
，
1
2
A
，而 1a ，
6
由余弦定理可得
1
2
b
2
c
2
bc
cos
6
2
bc
3
bc
(2
3)
bc
，当且仅当 b c 时等号成立，
即
bc
1
2
3
2
3
，
S
ABC
1
2
bc
sin
A
1
2
bc
sin
6
1
4
bc
3
2
4
故 ABC
面积的最大值为 2
3
．
4
（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC
中，
,
,
2
DE G H
AB
（Ⅰ）求证： / /
BD 平面 FGH ；
分别为 ,AC BC 的中点．
（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ，
AB BC CF DE BAC
,
,
45
，求平面 FGH 与平面
ACFD 所成角（锐角）的大小．
解：（Ⅰ）证明：连接 DG ， DC ，设 DC 与 GF 交于点T ，
2
AC
在三棱台 DEF ABC
而 G 是 AC 的中点， DF AC ，则 / /DF GC ，
，则
中，
DE
AB
2
DF
，
所以四边形 DGCF 是平行四边形，T 是 DC 的中点， DG FC ．
又在 BDC
又 BD 平面 FGH ，TH 平面 FGH ，故 / /
，是 BC 的中点，则TH DB ，
BD 平面 FGH ．
（Ⅱ）由 CF 平面 ABC ，可得 DG 平面 ABC 而， AB BC ，
则 GB AC ，于是 ,
GA GB GC 所在的直线，分别为 ,
BAC
GB GA GC 两两垂直，以点 G 为坐标原点，
,x y z 轴建立空间直角坐标系，
,
,
,
45
，
设
AB ,则
2
DE CF
1,
AC
2 2,
AG
2
,
;..
B
(0, 2,0),
C
(
2,0,0),
F
(
2,0,1),
H
(
2
2
,
2
2
,0)
，
则平面 ACFD 的一个法向量为 1
n
(0,1,0)
，设平面 FGH 的法向量为
n
2
(
,
x y z
2
,
2
n GH
，则 2
，即
n GF
2
0
0
)
2
2
2
2
2
z
x
2
2
x
2
y
2
0
，
0
2
n
， 2
2
(1,1, 2)
，
取 2
x ，则 2
y
1
,
n n
1
2
cos
21,
z
1
1 1 2
1
2
，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 ．
（18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12 分）设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 2
nS
3n
3
．
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
log
（Ⅱ）若数列{ }nb 满足
a b
n n
，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ．
解：（Ⅰ）由 2
nS
n
3
a
可得 1
3
S
1
，
a
n
S
n
S
n
1
1
2
n
(3
3)
1
2
1
n
(3
1
3) 3 (
n
n
，
2)
3
a
n
1 (3 3) 3
2
3,
n
1
n
3 ,
n
1
1
．
而
a
1
，则
1 1
3
3
a
n
（Ⅱ）由
a b
n n
log
3
a
n
及
a
n
3,
n
1
n
3 ,
n
1
1
，可得
b
n
a
n
log
3
a
n
T
n
1
3
1
3
2
2
3
3
3
3
1
n
1
n
3
，
T
n
1
3
1
1
3
n
1
2
3
1
n
3
n
1
3
3
2
9
1
2
3
2 3
n
n
3
n
1
2
3
n
3
n
1
2
3
T
n
1
3
2
9
1
1
2
3 3
1
1
3 3
n
1
1
3
2
1
n
1
n
4 3
T
n
13
12
n
1
n
1
1
1
，
2
n
1
n
3
1
3
3
1
n
n
3
1
1
3
n
1
2
3
)
1
n
3
n
1
3
n
3
n
3
4
3
1
3
2
1
n
2 3
n
(
2
1
3
2
3
3
1
1
2
3 3
1 13
18
（19）【2015 年山东，理 19】（本小题满分 12 分）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位
数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参
加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递
增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能
被 10 整除，得 1 分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX ．
解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；
;..
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