电工杯数学建模论文.pdf-资料库

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第一页答卷编号：论文题目：拔河比赛姓名专业、班级有效联系电话参赛队员 1 夏鸿章环境工程 1102 班 15115453260 参赛队员 2 黄波工程造价 1110 班 18373436902 参赛队员 3 周伟信管 1102 班 15197337061 指导教师：teacher 参赛学校：湖南工学院报名序号：1652 证书邮寄地址：421002 湖南工学院基础课部数学教研室周斌（填写详细地址邮编和联系人，学校统一组织的请填写负责人）

第二页答卷编号：阅卷专家 1 阅卷专家 2 阅卷专家 3 论文等级

拔河比赛拔河比赛拔河比赛拔河比赛摘摘摘摘要要要要本文针对拔河比赛中队员的安排和获胜规则进行建立相关数学模型。本文证明了合理的安排能够发挥队伍的最大能量，进而可以提高获胜的机率。在双方处于最佳状态的前提下选取样本，首先通过合力最大来表示在最佳状态发挥出的最大能量。其次利用力矩平衡原理和极限法则，我们分析出最合理的距离为 3 米，因此得出题目中规定的 4 米不科学。针对我国在校学生的体质普遍不强的情况，我们将不同级别的队员相混合的方式来吸引更多的学生参与拔河比赛。抓住参赛队员与地面的倾斜角度与每队人数的内部关系，我们建立模型定量的分析得出一个在保证竞赛公平性的前提下能够尽可能的让在校学生参加比赛的规则。最后我们根据以上结论制定了一份关于拔河比赛的提案。关键词：极限, 力矩平衡，倾斜角，公平性 - 1 -

一、问题重述拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。拔河比赛有各种比赛分级方法。常见的分级是以参赛双方每方 8 人的总体重来分级，从 320 公斤到 720 公斤，每隔 40 公斤一级。拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧 4 米则该方获胜。请你们队完成如下工作： 1．在某种分级比赛中，如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？请用对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果。 2．比赛获胜规定为拉过绳索 4 米，请通过数学建模的方式说明该规定是否科学。 3．当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。请你设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，该规则要定量的说明。 4．向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。二、问题分析对于拔河比赛规则，我们每方分配 8 人，双方总体重相同，从 320 公斤到 720 公斤，每隔 40 公斤一级。我们随机抽样选取 1 个样本来研究。问题一，在某种分级比赛中我们选取一个样本来探讨在拔河比赛中如何安排队员位置才能在比赛中发挥最大能量。题目已知的约束有：（1）双方总体重的范围都应在 320 公斤到 720 公斤。（2）双方参赛人员皆为 8 人. 问题二，对于比赛获胜规定为拉过绳索 4 米，我们选取在开始比赛双方保持最佳状态时。假定输的一方被拉得站了起来然后向前倾倒，我们用力矩计算出赢得一方把输的一方拉过的最大距离。问题三，对于当前我国在校学生的体质普遍不强的情况，我们把不同的等级级别混合比赛来吸引更多的学生来参加比赛，以提高学生的身体素质。我们为了比赛的公平性，规定双方总体重相等用绳长决定参赛人数。问题四，向全国大学生体育运动组委会写一个我们设计的拔河比赛列入全国大学 - 2 -

生正式比赛项目的提案。三、模型假设 1、假设在考虑问题一该队发挥出的最大能量为该队的合力最大而且每个比赛人员的间距是相等的。 2、在题目规定的参赛人数所能产生的最大作用力的范围内，绳子不断裂。 3、假设问题三绳子长度一定。 4、假定比赛时双方队员处于同一水平高度，地面相平。 5、其他外界因素对双方的影响相同。 6、比赛双方均按比赛规则进行，不存在违规想象。符号 mN mG mF mθ md mL mh S T f µ L 四、符号说明意义排在第 m 个位置的人受到地面的支持力排在的 m 个位置的人所受到重力第 m 个位置的人所受到的合外力第 m 个人的倾斜角度第 m 个位置的人的脚到绳的高度排在第 m 个人从初始到结束时所移动的距离第 m 个位置的人的高度即 1h＞ 2h ... 1mh − ＞ mh 两个人之间的距离拉力地面对人的摩擦力地面摩擦因素绳子的长度模型建立和求解模型建立和求解五、模型建立和求解模型建立和求解 5.15.15.15.1 问题一在某种拔河分级比赛中应如何安排队员位置才能在比赛中发挥最大能量。利用最优解我们可以得到最优化安排队员位置的方案。 5.1.1 模型的分析 - 3 -

根据题意，在拔河比赛中为发挥该队最大能量就相当于每个成员的合外力之和达到最大，身高从高到低依次排列，取样本在 400 公斤的级别，双方体重要求一致，且每个参赛人员的间距相等。 5.1.2 模型的建立 N θ f G θ 图 1 受力分析 max y = 8 ∑ m = G h ⋅ m m s − G h s 2 − ⋅ m 2 m s ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 8 ∑ m 1 = θ ≤ m ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3600 ≤ G m ≤ 7200 � � 0 = ≤ θ m cos 90 s h m N G cos ⋅ = θ m m m N f µ = ⋅ m F f -N sin = ⋅ m m θ m 5.1.3 模型的求解根据上面的目标函数和约束条件，利用表 1（附录）信息计算得到以下结果：这种方案产生的最大合力为 G m ⋅ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ - h h s m 2 m -s s ⋅ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ,倾斜角为 1 cos θ− ， cosθ = ， s h m 当 h（参赛人员的身高）越大，则 s 越小，才能合力取得最大，则cosθ越小，倾斜角越大，当 h（参赛人员的身高）越小，则 s 越小，才能合力取得最大，则 cosθ 越大，倾斜角度尽可能小但是又能够保证所有队员的身体重心均高于地面，所以我们得出，身高高的站前面，身高低的站后面，而且所有队员均保持倾斜角在 30 到 45 度向后倾斜。 5.2 问问问问题二在双方实力相差过大时候，会出现平动现象，即一方在保持身体姿势不变的情况下被另一方拖动，而这种情况下相当于人拉固定物体，4 米不必考虑科学性。在双方实力相当的时候，主要存在着转动模型，即分别以双方第一个队员的脚为 - 4 -

支点进行转动。我们选取输的一方被拉得站了起来然后向前倾倒，利用力矩计算出赢得一方把输的一方拉过的最大距离来说明比赛获胜为拉过绳索 4 米的规定是否科学。 5.2.1 模型的分析从模型一的求解我们进一步分析，胜的一方将负的一方拉过的距离的最大值与拉过绳索 4 米比较来得出比赛获胜规定为拉过绳索 4 米的科学性，利用力矩达到平衡从而得知结果。 5.2.2 模型的建立 max z = lim s 0 → h µ ⋅ m ⋅ ⋅ 2 2 h s − m s ⎧ G L T d = ⋅ ⋅ ⎪ m m m ⎪ d h sin ⋅ = θ ⎪⎪ = ⋅ m m m T N µ ⎨ m ⎪ N cos θ ⋅ ⎪ m m s ⎪ cos = θ h ⎪⎩ m m = G m 5.2.3 模型的求解根据上面的目标函数和约束条件，利用表 1（附录）和 µ=0.7[2]信息计算得到以下结果：这种方案我们利用极限计算得出最大值 z（胜的一方将负的一方拉过的距离）为 3 米,则比赛获胜规定拉过绳索为 4 米不科学。 5.3 问题三目前我国在校学生体质普遍不强的情况，为吸引更多学生参加拔河比赛，我们用不同级别混合在一起，又制定了相应的规则来保证比赛的公平性。 5.3.1 模型的分析基于体现集体比赛的公平竞争性的原则，根据模型 2 我们制定了胜的一方把输的一方拉过 3 米为获胜，比赛的绳长 34 米，比赛采取 3 局 2 胜制。基于保证在校大学生大部分都能够参加的原则，我们尽可能的使每队可参加的人数最多，因此我们建立了一个人数最大模型。而考虑到绳子自身的限制，如绳子自身的张力存在着一个不可忽略的限制，每队可参加的人数不可能无限制的增加，但是由于绳子的张力是一个没有给定标准而去可以人为的改变的量，所以我们不从这个角度考虑。而人数的增加，由于为了使得每队能够发挥最大能量，每个队员必须向后倾斜，那么越靠近队伍后面的队员的倾斜角就越小，当人数增加到一定的程度的时候，最后一个队员极限状态是到底，即倾斜角为 0，基于此思想，我们从人数与倾斜角之间的关系建立了人数最多模型。 5.3.2 模型的建立 - 5 -

L(绳子) 队员 2 队员 1 h θ= 45� 图 2 人数最多模型 max n = 2 − ( L h h cos 2 + ⋅ h cos θ ⋅ )2 θ + 1 5.3.3 模型的求解我们利用表 1（附录）得到以下结果：一方最多人数为 18 人。 5.4 问题四基于对上述的模型可知：关于把拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案当前我国在校大学生体质普遍不强，为了提高大学生的身体素质，我们建议将拔河比赛列入全国大学生正式比赛，拔河比赛是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动，拔河运动可以锻炼参赛者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。根据上述情况我们对拔河比赛提出以下建议： 1. 建议拔河比赛的参赛人数可以超过 8 人，而且不同的体重级别可以混合在一起，但是为了比赛的公平性，双方参赛人员的总体重应相等。 2. 建议拔河比赛赢的一方把输的一方拉过 3 米规定为胜利。 3. 建议拔河比赛用 3 局 2 胜制。 4. 建议拔河比赛参赛人员的鞋子为拔河比赛专用鞋。 5. 建议拔河比赛参赛人员不能戴手套，可以涂镁粉。全国大学生体育运动组委会收 2011-11-27 - 6 -

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