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华东师大数分高代真题大全解.pdf
前言
1 数学分析
1.1 1996年
1.2 1997年
1.3 1998年
1.4 1999年
1.5 2000年
1.6 2001年
1.7 2002年
1.8 2003年
1.9 2004年
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1.17 2012年
1.18 2013年
1.19 2014年
1.20 2015年
2 高等代数
2.1 1996年
2.2 1997年
2.3 1998年
2.4 1999年
2.5 2000年
2.6 2001年
2.7 2002年
2.8 2003年
2.9 2004年
2.10 2005年
2.11 2006年
2.12 2007年
2.13 2008年
2.14 2009年
2.15 2010年
2.16 2011年
2.17 2012年
2.18 2013年
2.19 2014年
2.20 2015年
3 博士数学论坛问题整理
3.1 数学分析
3.1.1 极限
3.1.2 连续
3.1.3 微分
3.1.4 积分
3.1.5 级数
3.2 高等代数
3.2.1 多项式
3.2.2 行列式
3.2.3 线性方程组
3.2.4 矩阵
3.2.5 线性空间与线性变换
3.2.6 欧式空间
3.2.7 二次型
4 名校真题选解
4.1 2015南京大学
4.1.1 数学分析
4.1.2 高等代数
4.2 2011南京大学数学分析
4.3 2012北京大学高等代数
4.4 2013中科院高等代数
4.5 2010中南大学数学分析
4.6 2012浙江大学高等代数
华东师大数分高代真题大全解
(1996-2015)
Victory won’t come to us unless we go to it.
整理者：赵江彦 (于烟大)
整理时间：December 1, 2015
Email: 1453235652@qq.com
version: 1.00
目 录
前言
1 数学分析
1996 年 .
1.1
1997 年 .
1.2
1998 年 .
1.3
1999 年 .
1.4
2000 年 .
1.5
2001 年 .
1.6
2002 年 .
1.7
2003 年 .
1.8
2004 年 .
1.9
1.10 2005 年 .
1.11 2006 年 .
1.12 2007 年 .
1.13 2008 年 .
1.14 2009 年 .
1.15 2010 年 .
1.16 2011 年 .
1.17 2012 年 .
1.18 2013 年 .
1.19 2014 年 .
1.20 2015 年 .
2 高等代数
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
1996 年 .
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2003 年 .
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3 博士数学论坛问题整理
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3.2.1 多项式 .
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3.2.3 线性方程组 .
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3.2.4 矩阵 .
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3.2.5 线性空间与线性变换 .
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2015 南京大学 .
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4.1.1 数学分析 .
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2011 南京大学数学分析 .
2012 北京大学高等代数 .
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190
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目
录
4.6
2012 浙江大学高等代数 .
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前言
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Happiness,We have it!
第 1 章 数学分析
1.1 1996 年
Example 1.1.1: 证明: 若
xn ⩽ zn ⩽ yn,
n!¥ zn = r,
lim
n!¥(xn yn) = 0,
lim
则
+ Proof: 由
n!¥ xn = lim
lim
n!¥ yn = r.
n!¥(xn yn) = 0,
lim
知 8# > 0,9N 2 N+, 当 n > N 时, 有
n!¥ zn = r,
lim
jzn rj <
#
2
,
jxn ynj <
#
2
.
进而,
jxn rj ⩽ jxn znj + jzn rj ⩽ jxn ynj + jzn rj <
#
2
+
= #.
#
2
n!¥ xn = r. 同理可得 lim
故 lim
Example 1.1.2: 证明: 若 f (x) 在 [a, +¥) 上连续, 在 (a, +¥) 内可导, 且 f (a) < 0, f
K > 0(x > a, K 为常数), 则 f (x) 在 (a, +¥) 内有且仅有一个零点.
n!¥ yn = r.
+ Proof: 由 f
′
(x) ⩾ K > 0, 知 f (x) 在 [a, +¥) 上严格. 8x > a, 有
□
(x) ⩾
′
f (x) f (a) = f
′
(x)(x a) ⩾ K(x a).
在上式两端令 x ! +¥, 得 f (+¥) = +¥. 由零点定理知, 9h 2 (a, +¥), 使得 f (h) = 0. 又
□
f (x) 在 [a, +¥) 上严格, 故 f (x) 在 (a, +¥) 内有且仅有一个零点.
Example 1.1.3: 设
)2
et2(1+x2)
1 + x2 dx.
1
0
(
(
f (t) =
0
t
e
,
g(t) =
x2 dx
)
f (t) + g(t) p
4
.
试证:
+ Proof: 由于 et2(1+x2)
et2(1+x2)
1 + x2
1,¥ < t < +¥g 上连续, 故 g(t), g
′
1 + x2
¶
¶t
,
= 2tet2(1+x2) 均在闭区域 D = f(x, t)
1
2tet2(1+x2) dx 在 (¥, +¥) 上连续. 从而,
( f (t) + g(t))
′
= 2et2
t
ex2 dx +
1
2tet2(1+x2) dx
(t) =
0
0
0
0 ⩽ x ⩽
1.1 1996 年
= 2et2
= 2et2
0
0
t
t
ex2 dx 2et2
ex2 dx 2et2
0
0
1
t
tet2x2 dx
eu2 du = 0,
–3/251–
故 f (t) + g(t) 恒为常数. 又
故
f (0) + g(0) = 0 +
1
0
1
1 + x2 dx =
p
4
,
f (t) + g(t) p
4
.
)2
‘ Remark: 在上式两边令 t ! +¥ 得
x2 dx
(
+¥
e
0
1
e
t2(1+x2)
1 + x2 dx =
p
4
,
e
t2(1+x2)
1 + x2 dx = 0,
0
lim
t!+¥
0
+ lim
t!+¥
1
e
t2(1+x2)
1 + x2 dx =
+¥
1
0
lim
t!+¥
p
x2 dx =
e
p
2
.
0
又
故
当然计算此积分得方法有很多, 我们举一列如下:
记
x2dx
J =
+¥
e
设 x = ut，其中 u > 0, 则
J = u
+¥
(ut)2dt
e
0
0
0
+¥
(ut)2dt
e
u2du 乘式 (2) 的左右两边，再对 u 从 0 到 +¥ 作积分，有
用 e
+¥
+¥
0
e
J
u2du = J2 =
u2udu
(1+t2)u2 > 0, 且对于 t 及 u 值是连续的，
+¥
对 u 是连续的。
u2
e
e
0
由于函数 ue
积分
0
+¥
(1+t2)u2udt = Je
(1+t2)u2udu =
+¥
+¥
e
积分
式 (3) 右端的积分可以互换，有
0
2(1 + t2)
1
对 t 是连续的。
0
+¥
dt
1 + t2 =
p
4
J2 =
0
于是有
dt
0
(1+t2)u2udu =
e
1
2
p
+¥
x2dx =
e
p
2
J =
0
□
(1)
(2)
(3)
2 Exercise 1.1.1:
)
. Solution: (方法一:) 首先，对 8n 2 Z+, 考虑 Lagrange 三角等式, 有
dx(Dirichlet 积分)
p
x
p
(
n∑
0
sin(n + 1
2 )x
2 sin x
2
1
2
+
i=1
cos ix
dx =
p
2
0
令
0
dx =
8><>: 1
2 sin x
2
0
1
x
0 < x p
x = 0
f (x) 在 [0, p] 上连续，有 Riemann-Lebesgue 引理
f (x) =
p
lim
n!¥
0
1
f (x) sin(n +
2
dx = lim
n!¥
0
)xdx = 0
(n+ 1
2 )p
sin u
u
du =
p
2
p
lim
n!¥
0
sin(n + 1
2 )x
x
–4/251–
¥
sin x
第 1 章 数学分析
即
¥
0
sin x
x
根据
dx 的收敛性，上式就是
¥
0
sin u
u
du =
p
2
(方法二:) 构造二重积分
¥
¥
I =
0
0
xy sin xdxdy
e
一方面
另一方面
I =
=
=
I =
=
=
¥
¥
¥
0
0
0
e
¥
¥
0
xy
x
0
xydy
)dx
¥
¥
¥
0
0
sin xdx
sin( e
sin x
dx
0
x
¥
e
xy sin xdx
dy
xy(y sin x cos x)
e
0
1 + y2
¥
0
dy
dy
1 + y2
¥
0
= arctan y
=
p
2
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