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2014年辽宁高考文科数学真题及答案.doc
2014 年辽宁高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知全集
U R A
,
{ |
x x
0},
B
{ |
x x
，则集合 (
UC A B
1}
)
（
）
A．{ |
x x
0}
B．{ |
x x
1}
C．{ | 0
x
x
1}
D．{ | 0
x
x
1}
2.设复数 z 满足 (
z
2 )(2
i
，则 z （
) 5
i
）
A． 2 3i
B． 2 3i
C．3 2i
D．3 2i
3.已知
1
32
，
a
b
log
2
1
3
,
c
log
1
3
1
2
，则（
）
c
b
A． a
4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
D． c b
B． a
c b
C． c
a
b
a
）
A．若 / /
m
n 则 / /m n
/ /
,
,
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 / /n D．若 / /m ， m n ，则 n
是非零向量，已知命题 P：学科 网若
a b
0
b c
，
0
a c
；命题 q：若 / / ,
b b
a
c
/ /
0
，
，则
5.设 ,
,a b c
c
则 / /a
A． p q
B． p q
C． (
p
)
(
，则下列命题中真命题是（
）
q
)
D． (
p
q
)
6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB=2，BC=1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内
的概率是（
）
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8
7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．8 2
B．8
C．8
2
D．8
4
8. 已知点 ( 2,3)
A
在抛物线 C： 2
y
2
px
A．
4
3
B．-1
C．
3
4
D．
9. 设等差数列{ }na 的公差为 d，若数列 1{2
1
2
}na a 为递减数列，则（ ）
的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为（
）
A． 0
d
B．
d
0
C． 1
a d
0
D． 1
a d
0
10.已知 ( )
f x 为偶函数，当 0
x 时，
( )
f x
cos
1,
2
x
,
x x
[0,
x
(
1
2
,
]
1
2
，则不等式
)
(
f x 的解集为（ ）
1)
1
2
]
B．
,
]
1
3
[
1 2
,
4 3
]
[
3
4
)
3
C．
[
1 3
,
3 4
]
[
4 7
,
3 4
]
D．
[
3
4
,
]
1
3
[
1 3
,
3 4
]
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
2
11. 将函数 3sin(2
y
x
的图象向右平移
A．
[
1 2
,
4 3
]
[
4 7
,
3 4
,
,
B．在区间
A．在区间
7
]
[
12 12
7
]
[
12 12
]
6 3
]
6 3
12. 当 [ 2,1]
C．在区间[
D．在区间[
,
,
上单调递减
上单调递增
上单调递减
上单调递增
x 时，不等式 3
ax
2
x
4
x
恒成立，则实数 a 的取值范围是（
3 0
）
A．[ 5, 3]
B．
[ 6,
9
8
]
C．[ 6, 2]
D．[ 4, 3]
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 执行右侧的程序框图，若输入 3n ，则输出T
.
14.已知 x，y 满足条件
2
x
x
3
x
2 0
2
4 0
3 0
y
y
y
，则目标函数 3
z
x
的最大值为
y
4
.
15. 已知椭圆 C：
2
x
9
2
y
4
，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN
1
的中点在 C 上，则|
AN
|
BN
|
|
.
16. 对于 0
c ，当非零实数 a，b 满足 2
a
4
2
ab
2
4
b
，且使| 2
0
c
a b 最大时，
|
3
a
的最小
4
b
5
c
值为
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分 12 分）
在 ABC
中，学 科网内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 a
c ，已知
BA BC
2
，
cos
B ， 3b ，
1
3
求：
（1）a 和 c 的值；
（2） cos(
B C 的值.
)
18. （本小题满分 12 分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
（1）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取
3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率.
19. （本小题满分 12 分）
如图， ABC
和 BCD
所在平面互相垂直，且
AB BC BD
，
2
ABC
DBC
0
120
，E、F、G
分别为 AC、DC、AD 的中点.
（1）求证： EF 平面 BCG；
（2）求三棱锥 D-BCG 的体积.
附：椎体的体积公式
V
1
3
Sh
，其中 S 为底面面积，h 为高.
20. （本小题满分 12 分）
圆 2
x
2
y
的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P（如图）.
4
（1）求点 P 的坐标；
（2）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 :
l y
x
+ 3
交于 A，B 两点，若 PAB
的面积为 2，求 C 的
标准方程.
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ( )
f x
(
x
cos ) 2sin
x
x
，
2
( )
g x
(
x
)
1 sin
1 sin
x
x
2
x
1
.
x
证明：（1）存在唯一 0
(
,
2
x
（2）存在唯一 1
)
(0,
)
2
，使 0(
f x ；
) 0
，使 1(
g x ，且对（1）中的 0
x
) 0
x
.
1
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答
题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于 E、C 两点，PD 切圆于 D，G 为 CE 上一点且 PG PD
，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦
AB 垂直 EP，垂足为 F.
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若 AC=BD，求证：AB=ED.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
将圆 2
x
2
y
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.
1
（1）写出 C 的参数方程；
（2）设直线 : 2
l
x
y 与 C 的交点为 1
2 0
2
,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
求过线段 1 2PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 ( )
f x
2 |
x
（1）求 M；
1|
，
1
x
( ) 16
g x
x
2
8
x
，记 ( ) 1
1
f x 的解集为 M， ( ) 4
g x 的解集为 N.
（2）当 x M N
时，证明： 2
( )
x f x
[
x f x
2
( )]
1
4
.
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