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数学建模sars模型.doc

发布时间：2022-06-09 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.46M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    SARS 传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模 型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病 人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果 不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过 程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响 SARS 传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到 SARS 传播模型.采用 离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天， 预测 SARS 患者累计 2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结 论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情 持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据. 而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来 不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模 型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失， 并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.
    1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认 识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有 很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一 个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做 的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施， 估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的 影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及 能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求 评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控 制提供足够的信息. 2.1 早期模型简述 早期模型是一个 SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时 刻的病例数为 0N ， 平均每病人每天可传染 K个人（K一般为小数），K 代表某种社会环境下一 个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施 有关.整个模型的 K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10 天的范围内 K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为 L天.整个模型的 L一直被定为 20. 则在 L天之内，病例数目的增长随时间 t(单位天)的关系是： 考虑传染期限 L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用 半模拟循环计算的办法，把到达 L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. )( tN  N 0 1(  tk ) 2.2 早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在 3 月 1 日，经过大约 59 天在 4 月 29 日左右达到高峰，然后通过拟合起点和 4 月 20 日 以后的数据定出高峰期以前的 K=0.13913.高峰期后的 K 值按香港情况变化，即 10 天范围内 K 值逐步被调整到 0.0273.L 恒为 20.由此画出北京 3 月 1 日至 5 月 7 日疫情发展趋势拟合图像以及 5 月 7 日以后的疫情发展趋势预测图像，如图 1.
    图 1 早期模型计算值与实际值对比图 从图 1 可以看出，从 4 月 20 日至 5 月 7 日模型计算值与同期实际值的拟合 程度比较好，但 5 月 7 日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实 际值. 为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记 iy 表示第 i 天实际累计病例， iyˆ 表示第 i 天计算累计病例.计算 其中，用ˆ 作为的估计： e * i  e i   y i ˆ y i   , i  ,2,1 , n n  i 1  y i  ( y i  )ˆ y i n  2 ˆ   做出标准化残差 * ie 的分布图，如图 2： 图 2 早期模型的标准化残差分布图 1
    可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于 实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值. 通过以上分析得合理性评价： ○1 从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较 好，但对后期情况的预测出现较大偏差. ○2 尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势. 从这一点上看，该模型还是切合实际的. ○3 该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模 型本身的含义.因为模型中的 )(tN 实际代表的是t 时刻全社会的累计 SARS 患者， 而公布数据仅为同期的累计确诊 SARS 患者，显然前者是大于或等于后者的.如果 把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不 明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！ 2.3 早期模型实用性评价 模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导 实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价： ○1 该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对 SARS 发展的阶段没 有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实 际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出 疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用范围受到限制. ○2 参数 K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警 觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将 K固定在一个比较 高的定值，在疫情高峰期过后，在 10 天内逐步调整 K值到比较小，然后保持不 变.但模型并没有给出 K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的 主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，可见该模型未对 北京的实际情况进行充分的考虑. ○3 参数 L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期 限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模 型把 L的值固定为 20，而实际的 L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定 L势 必使模型只能片面模拟真实情况. 综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中 人工干预过多，实际应用范围受到了限制，实用性不强. 3． SARS 传播过程的分析 由于早期模型缺少对 SARS 传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测 病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析. SARS 的传播大致经历了 4 个过程，相关描述可按照 Kink 于 1986 年提出的 危机“四阶段说”. 第一阶段是征兆期.在 SARS 传播初期，由于 SARS 感染者需要经历一定时间 才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未 引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个 社会的发病率还较低. 第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪 2
    增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期 效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增. 第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控 制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产 生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高. 第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施 的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期 最短，社会发病率低.疫情进入了 4 个阶段的最后时期. 有了以上的分析，建立的模型就应该体现 4 个不同时期下疫情的发展过程， 并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经 典传染病 SIR 模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合 SARS 的分段微分方程模型，称为 SARS 传播的 SIR 改进模型. 4． SARS 传播的 SIR 改进模型 4.1 模型的假设 1．SARS 的持续期不太长，可以忽略在 SARS 持续期内的城市人口的自然出生率 和自然死亡率. 2．被 SARS 感染后经治疗康复的人群在 SARS 流行期不会被再次感染. 3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用. 4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究 SARS 疫情的发展过程. 4.2 模型的符号定义 )(tS )(tI )(tR :易感类人群占城市人口总数的比例. :传染类人群占城市人口总数的比例. :排除类人群占城市人口总数的比例. 时刻被隔离的 时刻全社会 t t )(t :SARS 患者的就诊率 SARS ：单位时间内一个传染者与他人的接触率. L ：平均传染期. SARS 患者数 患者总数 4.3 传播机理分析 针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在 经典传染病模型 SIR 的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述 SARS 的传播 过程. 为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中 研究 SARS 的传播机理.那么，整个社会人群可以分为 3 类： S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染 上传染病. I 类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给 S 类成员. R 类：称为排除类或恢复类，R 类成员或者是 I 类成员被严格隔离、治愈， 或者死亡等.I 类成员转化为 R 类后，立刻失去传染能力. S(t)、I(t)、R(t)分别表示 t 时刻上述 3 类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有 3 条基本假设： 3
    1A ：人口总数为常数 N，N 足够大，可以把变量 S(t)、I(t)、R(t)视为连续 变量，还可进一步假定为连续可微变量. 2A ：人群中 3 类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间内一个传 染者与他人的接触率为，则一个传播者在单位时间内与 S 类成员的接触率为 )(tS ，因此，单位时间内 I 类成员与 S 类成员的接触总数为 ，这 就是单位时间内 I 类成员增加的数量，称为发病率，它是 S(t)和 I(t)的双线性 函数. )( tSN  )( tI  3A ：传播者的被控制数正比于传染者的数量 被控制率，则平均传染期为 成员的接触总数，称为接触数. L /1 v . v/ 那么 SARS 的传播流程如图 3： )(tNI ，比例系数为 v ， v 称为 为一个传染者在其传播期内与其他 易感类 )( tNS  传染 NSI    图 3 传染类 )( tNI   控制 vNS   排除类 )( tNR SARS 传播流程图 在这个模型中，排除类 )(tNR 就是已确诊 SARS 患者累计数，而 N 1[  ( tS )] 是 全社会累计 SARS 患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分. 4.4 模型的建立 有了以上的机理分析，建立起针对 SARS 的改进 SIR 模型：              dS dt dI dt dR dt I  S R 0 0   SI (1)   SI  vI (2)  vI R    ,0 0 S I 0   1 0 该模型中参数和 v 在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显 的变化，现分析如下： ○1 参数表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和 政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间， 喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率的值. 一般认为，的数值随着 SARS 发展的 4 个阶段不断变化.在 SARS 初期，由 于潜伏期的存在和社会对 SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起 重视，故维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加， 恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使得到一定的控制，但效果不明显，此处 假设呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播 的有效接触率明显减少，可以认为按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期， 就维持在一个较低值附近. 4
    /1 称为平均传染期，表示一个传播者在被 ○2 参数 v 表示传播者的被控制率. 隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS 患者经过传染期 L 过后，将隔离治疗或者死亡，从 I 类成员变为 R 类，失去传播能力. L v L与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前 进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广范围的医疗手段，使更多的人接受有 效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期 L的长度.因此这里将 L直接抽象为 每一时期 SARS 患者的就诊率 )(t 的函数. 平均传染期 L应随 )(t 的变化而变化.但是在初期，由于政府对 SARS 的认识 不足，并没有采取有效控制措施， L的变化很小可以近似看作定值，这里我们 取 SARS 病毒最长潜伏期（约 19 天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐 步加强，使 SARS 患者的就诊率 )(t 逐渐增加，而平均传染期 L会逐渐减小并趋 于一个定值，这里我们将 SARS 病毒平均潜伏期（约 7 天）定为 L的最小值；在 此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值会维持在 7 天左右. 4.5 针对北京疫情求解模型 首先采用数学推导的方法，确定参数和 v ，并证明模型有唯一解. ○1 确定和 v 的关系  ，方程组中 令  v )2(  得： )1( 在病情刚开始时， dI dS 1  1 S  0 1 S  1 dI dS ，由于 )(tS 是单调减少的，且 )(tI 最终趋近于 0， 1S 时， )(tI 单调减少趋近于 0；当 则当 然后单调减少趋近于 0. 1S 时， )(tI 先单调增加达到最大值， 1S 时，才满足 SARS 的传播规律，所以参数和v 的取值必 容易知道，当 须满足这个条件. ○2 证明模型有唯一解 在初值条件下解微分方程组：     dI dS I 0 1   S 0  1 S  R  0 1 得到关系式： 令 t ，由○1 得 因为 0S ，所以令 1)( tI  R 0  S 1  ln( S S 0 ) 10  R 0  S   1  ln( S S  0 ) 1)( xf  R 0  x 1  ln( x S 0 ) 5
    则 当 0 S 当 0 S 1  1  时，由于 时，因为 lim 0  0 x )( xf )( xf  ， ( Sf 0 1)  R 0  S 在 ,0( 0S 范围内有根，因而在 ) 0 0 I  )1,0(   0 内有根. f 当 1x  内也有根. 时， f )(' x 0 ，所以  1  )(' x )1(  f x  x  ( Sf 0 )  I 0  0 ，因而 )( xf 0 在 )1,0(  注意到当 0 时， f )(' x 0 ，故 )( xf 0 在 )1,0(  内有唯一根. 1  x  )1,0(  所以， S 在 内有唯一解. ○3 划分 SARS 传播的 4 个阶段 由于 SARS 的传播经历了 4 个阶段，所以，要以具体的指标划分这 4 个阶段. 是一个区分每个阶段特点的关 因为在 4 个阶段中，日发病率 键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在 10（人/天）以下.北京疫情期的前 40 天.   )( tSN )( tI )( t   爆发期：从日发病率 10（人/天）到日发病率最大，即 d dt 0 时.北京疫情期的 第 40 天到第 74 天. 高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即 第 79 天. dI 时.北京疫情期的第 74 天到 dt 0 衰退期：患者数量最大点以后.北京疫情期第 79 天以后. ○4 确定和 v 根据北京最终 SARS 患者总数 2521 人以及北京人口总数（约 14000000 人），得 1 S 2521 14000000  .0 因为平均传染期 1 v     1 ，所以 9998 1 ，而 L 是 SARS 患者就诊率 )(t 的函数，且 v 1 . L ]19,7[L ， 所以，这里设计 L函数为： )(t 由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实 L  17 e  )( t 际情况，推导出： )( t  0   40 t  log  78.3  1   10 (  0  t 40 )1 40  t 74 t  74 而接触率与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况 确定为： 6
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