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2007年湖南高考理科数学真题及答案.doc
2007 年湖南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
参考公式:
如果事件 A 、 B 互斥，那么 (
如果事件 A 、 B 相互独立，那么
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
(
)
(
)
P A
P B
)
(
(
BPAP
)
P A B
(
)
ABP
)
概率是 ( )
P k
n
k
C P
k
n
(1
n k
)
P
4
3
R
3
球的体积公式
V
,球的表面积公式
S
R
4
2
，其中 R 表示球的半径
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
2
2i
1+i
1．复数
A． 4i
等于（
）
2．不等式
的解集是（
）
x
x
1)
2
0
1
( 1 2]
，
B． 4i
C． 2i
D． 2i
D．( 1 2]
，
）
”的（
1)
，
[2
，
B．[ 1 2]
)
，
”是“ M N
A．(
， C．(
3．设 M N， 是两个集合，则“ M N
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
(
) (
4．设 ,a b
xa b
C．|
|
|
b
a
A． a
b
N ， ，已知 ( 1.96) 0.025
5．设随机变量服从标准正态分布 (0 1)
（
）
A．0.025
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
是非零向量，若函数 ( )
f x
a xb
|
B． //a b
|
|
b
C．0.950
)
D．0.975
的图象是一条直线，则必有（
D．|
a
|
，则 (|
P
| 1.96)
）
=
6．函数
( )
f x
的图象和函数
( )
g x
log
x
2
的图象的交点个数是（
）
x
2
4
x
B．3
B．0.050
4
1
x
， ，
3
1
4
x
x
，
C．2
A．4
7．下列四个命题中，不正确．．．的是（
A．若函数 ( )
x
x 处连续，则
2
4
f x 在
x
2
x
B．函数
( )
f x
0
C．若函数 ( )
f x ， ( )g x 满足 lim[
→
x
D．1
）
lim ( )
f x
x
→
x
0
lim ( )
f x
x
x
→
0
的不连续点是 2
x 和
x
( )] 0
g x
2
，则 lim ( )
f x
x
→
( )
f x
lim ( )
g x
x
→
D．
lim
1
x
→
1
x
1
x
1
2
8．棱长为 1 的正方体
1AA ， 1DD 的中点，则直线 EF 被球O 截得的线段长为（
ABCD A B C D
1
1 1
1
）
的 8 个顶点都在球O 的表面上， E F， 分别是棱
A．
2
2
B．1
C．
1
2
2
D． 2
2
x
a
2
y
b
2
2
2
a
0
1
B．
A．
（
F F， 分别是椭圆
b ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P
9．设 1
使线段 1PF 的中垂线过点 2F ，则椭圆离心率的取值范围是（
2
0
，
2
S， ， ， 都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对
S
M ，，，，， ， 1
10．设集合
k
{
a
S
， （ i
i
， ，
、 ，，， ， ）， 都 有
b
a b
， （ min{
i
i
，
a
b a
i
i
）
3
0
，
3
{1 2 3 4 5 6}
{
S
a
j
i
y， 中的较小者），则 k 的最大值
）
3 1
，
3
x
y， 表示两个数 x
2 1
，
2
}
b
i
a
b
j ，
任 意 的
{1 2 3
min
min
C．
D．
2
b
S
}
}
}
k
j
i
j
j
j
j
j
j
B．11
C．12
D．13
是（
A．10
π
3
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在横线上．
11．圆心为 (11)， 且与直线
12．在 ABC△
C ，则 B
中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，若 1a ，b= 7 ，
y 相切的圆的方程是
．
．
4
x
c ，
3
x
}
b
， A B
，
13．函数
14．设集合
x
( ) 12
f x
{(
A
x
y
，
3
在区间[ 3 3]
2 |}
x
) |
y
|
， 上的最小值是
．
x
B
， {(
1
2
；
，且 2x
y 的最大值为 9，则b 的值是
x
y
，
) |
y
)
x
y
，
A B
（1）b 的取值范围是
（2）若 (
15．将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表．从上往下
数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…，第 n 次全
行的数都为 1 的是第
第 1 行
1
第 2 行
第 3 行
第 4 行
第 5 行 1
…… ………………………………………
行；第 61 行中 1 的个数是
．
．
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
图 1
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
2
x
x
．
，
1
2
cos
( )
f x
sin 2
已知函数
( ) 1
g x
x 是函数
π
12
( )
图象的一条对称轴，求 0(
f x
( )
g x
x
y
（I）设
0
（II）求函数 ( )
( )
f x
h x
17．（本小题满分 12 分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人
员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参
加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互
之间没有影响．
（I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
g x 的值．
的单调递增区间．
)
18．（本小题满分 12 分）
如图 2，E F， 分别是矩形 ABCD 的边 AB CD， 的中点，G 是 EF 上的一点，将 GAB△
，
2G G ，使得平面 1G AB ⊥ 平
GCD△
面 ABCD ， 1
分别沿 AB CD， 翻折成 1G AB△
AD
， 2G CD△
，并连结 1
．连结 2BG ，如图 3．
2G G AD// ，且 1
2G G
A
E
B
G
图 2
2G
1G
A
B
E
D
F
C
D
F
C
（I）证明：平面 1G AB ⊥ 平面 1
BC ，
（II）当
AB ，
25
12
图 3
G ADG ；
EG 时，求直线 2BG 和平面 1
2
8
G ADG 所成的角．
2
19．（本小题满分 12 分）
如图 4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路，点 P 所在
的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（ 0
，点 P 到平
PH （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用．从点 O 到山脚修
面的距离
万 元 /km ． 当 山 坡 上 公 路 长 度 为 l km
路 的 造 价 为 a 万 元 /km ， 原 有 公 路 改 建 费 用 为
90
），且
0.4
sin
2
5
2
3(km)
l ）时，其造价为 2(
l
（1
OA
（I）在 AB 上求一点 D ，使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小；
AB⊥ ， PB
．
AB⊥ ，
AB
1.5(km)
，
a
2
1)
a 万元．已知OA
（II） 对于（I）中得到的点 D ，在 DA 上求一点 E ，使沿折线 PDEO 修建公路的总造价
最小．
（III）在 AB 上是否存在两个不同的点 D ， E ，使沿折线 PD E O
于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
修建公路的总造价小
2
20．（本小题满分 12 分）
已知双曲线 2
2
x
A B， 两点．
（I）若动点 M 满足 1
y
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 2F 的动直线与双曲线相交于
F M F A F B FO
1
（其中O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程；
1
1
（II）在 x 轴上是否存在定点C ，使CA
在，请说明理由．
21．（本小题满分 13 分）
已知 (
A a
n
且满足 2
S
n
b， （ n N* ）是曲线
n
)
n
2
3
n a
，
0
x
e 上的点， 1a
y
n ，，，…．
na ， 2 3 4
（I）证明：数列
（ 2
n ）是常数数列；
n
b
2n
b
n
2
S
1
n
·CB
为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存
a ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和，
（II）确定 a 的取值集合 M ，使 a M 时，数列{ }na 是单调递增数列；
nA A （ n N* ）的斜率随 n 单调递增．
（III）证明：当 a M 时，弦
n
1
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C
10．B
4．A
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在横线上．
3．B
7．C
8．D
2．D
5．C
6．B
9．D
11．
12．
(
x
5π
6
13． 16
14．（1）[1
2
1)
(
y
2
1)
2
) ， （2）
9
2
1n ，32
15． 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（I）由题设知
( )
f x
1
2
[1 cos(2
x
．
)]
π
6
因为
x
x 是函数
0
y
( )
f x
图象的一条对称轴，所以 0
2
x
π
6
πk ，
π
π
6
) 1
x
即 0
2
k
（ k Z ）．
(
g x
所以 0
1
2
(
g x
当 k 为偶数时， 0
) 1
1
2
sin
sin 2
x
0
1
sin( π
k
当 k 为奇数时， 0
(
) 1
g x
sin
（II）
( )
h x
( )
f x
( )
g x
1
2
cos 2
x
π
6
sin 2
x
3
4
，
)
．
π
6
1
π
6
1
．
1
4
5
4
π
6
1
2
1
2
1
2
1
π
4
6
1 cos 2
x
3
2
3
2
1
2
cos2
1
1
2
sin 2
x
x
1
2
sin 2
x
3
2
2 π
k
，即
π
k
5π
12
x
k
π
（ k Z ）时，
π
12
π
2
3
2
是增函数，
5π
12
π
12
故函数 ( )h x 的单调递增区间是
π
k
k
，
π
（ k Z ）．
．
当
1
2
2 π
k
x
sin 2
π
2
( )
h x
π
3
2
x
3
2
π
3
x
sin 2
1
2
函数
π
3
2
k
．
．
)
P
1
)
(
)
0.001
2.7
k
0.9
k
)
C
3
0.1
P
(
3 0.9
）
2.7
E
P B
) 0.75
1
(
(
P A P B
1 0.1 0.9
P A ， (
) 0.4 0.25 0.1
17．解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A ，“该人参加过计算机培
) 0.6
训”为事件 B ，由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 (
（I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
P P A B
1
P
所以该人参加过培训的概率是 2
解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
P
3
P
该人参加过两项培训的概率是 4
P
所以该人参加过培训的概率是 5
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数服从二项分布
(3 0.9)
B ， ，
P
(
) 0.6 0.75 0.45
P A B
．
0.45 0.45 0.9
P P
．
3
4
k ，，，，即的分布列是
1
) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45
， 0 1 2 3
．
(
P A B
(
P A B
k
3
0
0. 243
G ADG ．
G ADG ，
是 2BG 和平面 1
G ADG 所成的角．
0.027
1 0.027 2 0.243 3 0.729
E
BH AG⊥ 于点 H ，连结 2G H ．
的期望是
（或的期望是
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面 1G AB ⊥ 平面 ABCD ，平面 1G AB 平面 ABCD AB ，
AD AB⊥ ， AD 平面 ABCD ，所以 AD ⊥平面 1G AB ，又 AD 平面 1
G ADG ，所以
平面 1G AB ⊥平面 1
（II）过点 B 作
由（I）的结论可知， BH ⊥ 平面 1
所以
因 为 平 面 1G AB ⊥ 平 面 ABCD ， 平 面 1G AB 平 面
ABCD AB ， 1G E
1G E 平 面 1G AB ， 所 以 1G E ⊥ 平 面 ABCD ， 故
1G E
因 为 1
2G G
1
由题设
EF⊥ ．
2G G
AD EO
∥ ∥ ，所以四边形 1
AB ，
17
25
BC ，
15
OF
G G EO
， 1
2
因为 AD ⊥平面 1G AB ， 1
G G
2G G ⊥平面 1G AB ，从而 1
AD∥ ，所以 1
2G G
2
故 2
2
2
6
EG G G
BG
2
2
G EOG 是矩形．
17
2
8
EG ，则
．
， 所 以 可 在 EF 上 取 一 点 O ， 使
GF ．所以 2
1G
H
A
， AD EF
G F ，
G O G E
1
G B⊥ ．
1
EO G G
， 2
BG
， 2
12
2
8
AB⊥ ，
2BG H
， 又 因 为
10 2
AD
2
10
2
BE
200
2
8
0.729
2
1
2G
F
C
17
10
1
2
D
B
E
O
3
2
2
1
2
2
．
8
2
1
又
AG
1
2
6
2
8
，由
10
BH AG G E AB
得
1
1
故
sin
BG H
2
BH
BG
2
48
5
1
10 2
12 2
25
．
BH
8 12
10
．
48
5
2
arcsin
G ADG 所成的角是
即直线 2BG 与平面 1
解法二：（I）因为平面 1G AB ⊥ 平面 ABCD ，平面 1G AB 平面 ABCD AB ， 1G E
1G E 平面 1G AB ，所以 1G E ⊥平面 ABCD ，从而 1G E
平面 1G AB ．因为 AD 平面 1
G ADG ，所以平面 1G AB ⊥平面 1
AD⊥ ．又 AB
G ADG ．
．
2
2
AB⊥ ，
AD⊥ ，所以 AD ⊥
12 2
25
6
8
25
EB ，
EG ，则
BC ，
8
12
EG ， 相 关 各 点 的 坐 标 分 别 是
（II）由（I）可知， 1G E ⊥平面 ABCD ．故可以 E 为原点，分别以直线
x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系（如图），
AB ，
由题设
25
EF ， 1
( 6 0 0)
A ，， ，
( 6 25 0)
D ， ， ， 1(0 0 8)
(0 25 0)
AD
AG
， ， ， 1
所以
设 (
)
G ADG 的一个法向量，
x
y
n
z
， ， 是平面 1
0
0
n AD
，
，
0
8
z
0
n AG
1
G ，， ， (6 0 0)
(6 0 8)
B ，， ．
，， ．
故可取 (4 0
，， ．
25
6
x
n
得
.
y
1G
3)
B
A
E
由
x
z
2
EB EF EG
1
， ， 为
2G
O
D
y
F
C
G C G D
2
，所以OC OD
，于是点O 在 y
8
．
2
)m
，解得
10m ，
G
2G G
AD∥ ，所以 1
EF∥ ， 2
G O G E
2G G
1
），由 2
8)
m， ， （ 0
25
(25
8
17
m
(6 0 0)
( 6 10 8)
(0 10 8)
， ， ，，
， ， ．
G ADG 所成的角是，则
过点 2G 作 2G O ⊥平面 ABCD 于点 O ，因为 2
轴上．
因为 1
设 2(0
BG
所以 2
设 2BG 和平面 1
BG n
BG n
| 24 24 |
2
10
4
2
8
sin
2
3
6
2
2
2
2
2
2
2
G ADG 所成的角是
arcsin
故直线 2BG 与平面 1
19．解：（I）如图， PH ⊥ ， HB ， PB
由三垂线定理逆定理知， AB HB⊥ ，所以 PBH
山坡与所成二面角的平面角，则 PBH
PB
，
．
PH
1
sin
(km)
， 0
BD x
x ．则
设
2
2
[1 2]
x
PB
x
PD
记总造价为 1( )
f x 万元，
1.5
2 1
， ．
12 2
25
．
．
12 2
25
AB⊥ ，
O
是
A
ED
B
P
H
(
PD
2
1
1
2
)
AD AO a
2
(
x
1
2
x
11
4
3)
a
据题设有
x
( )
f x
1
21
4
1
4
x ，即
a
当
43
16
BD
3
a
1 (km)
4
(km)
，
0
时，总造价 1( )
f x 最小．
（II）设
AE y
y ，总造价为 2( )
f
y 万元，根据题设有
f
2
( )
y
2
PD
1
2
y
3
1
4
y
a
2
y
3
y
2
a
43
16
a
．
5
4
1 3
2 2
a
f
y
y
y
2
1
2
则
2
y ， 时， 2 ( ) 0
当 (0 1)
51
， 时， 2 ( ) 0
y
4
3
y
y
当
f
f
， 2( )
， 2( )
f
，由 2 ( ) 0
，得 1y ．
f
y
y 在 (0 1)， 内是减函数；
f
y 在
51
， 内是增函数．
4
故当 1y ，即
AE （km）时总造价 2( )
y 最小，且最小总造价为
（III）解法一：不存在这样的点 D ， E ．
事实上，在 AB 上任取不同的两点 D ，E ．为使总造价最小，E 显然不能位于 D 与 B 之
间．故可设 E 位于 D 与 A 之间，且 BD = 1(km)
，总
a 万元．
1(km)
y
67
16
f
AE
x
1
，
，
1
0
x
y
2
造价为 S 万元，则
S
2
x
1
2
x
1
x
1
2
1
16
， 2
y
1
式等号同时成立，此时
3
y
1
2
BD
a
3
2
y
1
3
2
．类似于 （I）、（II）讨论知 ，
y
x
1
1
2
2
x ， 1 1
，当且仅当 1
1 (km)
4
11
4
1
4
67
1(km)
， S 取得最小值
16
， ，使沿折线 PD E O
修建公路的总造价
y 同时成立时，上述两个不等
a ，点 D E
， 分
AE
，
别与点 D E， 重合，所以不存在这样的点 D E
小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
3
2
S
2
x
1
2
y
1
3
y
1
2
11
4
x
1
2
2
1
4
2 3(
3
1
4
3
a
2
y
1
2
y
1
3
y
1
y
1
)(
2
y
1
3
y
1
a
)
a
43
16
a
2
y
1
3
y
1
a
43
16
a
x
1
1
4
67
16
a
．
当且仅当 1
67
16
最小值
x 且
1
4
3(
2
y
1
3
y
1
)(
2
y
1
3
x
，即 1
y
1
)
1
4
，
y
1
1
同时成立时， S 取得
a ，以上同解法一．
(
(
20．解：由条件知 1( 2 0)
F ， ， 2(2 0)
y， ．
F ， ，设 1
A x
y， ， 2
B x
解法一：（I）设 (
)
2
(
2
(
y， ，则 则 1
M x
F A
F M x
， ， 1
， ，
2
)
(2 0)
(
F M F A F B FO
F B
y FO
x
， ，
， ，由 1
得
1
1
2
1
1
2
4
6
2
x
x
x
x
x
，
，
即 1
2
1
y
y
y
y
y
1
1
4
x
2
x
y
2
y
， ．
2
于是 AB 的中点坐标为
)
1
)
y
1
)
2
x
1
y
1
)
2
2
y
2
4
2
2
2
2
2
2
2
x
)
y
x
8
x
8
2
y
，即 1
y
当 AB 不与 x 轴垂直时， 1
x
1
2
y
x
2
2
，
x
1
x
2
y
2
)
2
k
2
2
y
y
2
)(
y
1
2
)
x
(
x
1
(
y
1
)(
x
1
(1
y
2
(4
k
x x
1 2
4
2
k x
x
则 1
．
4
有
x
2
y
x
2
y
2
y
2
4)
x
2
6)
代入上式，化简得
于是
(
k
(
k
2
2
又因为 A B， 两点在双曲线上，所以 2
， 2
2
y
x
x
1
1
2
)(
(
)
(
x
x
x
，即 1
1
(
y
x
将 1
2
当 AB 与 x 轴垂直时， 1
x
(
y
所以点 M 的轨迹方程是
（II）假设在 x 轴上存在定点 ( 0)
当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是
代入 2
x
x
，求得 (8 0)
x
2
2
6)
x
C m， ，使CA CB
为常数．
(
2)(
k x
k
y
2) 0
．
4
k
2
k
2)
x， 是上述方程的两个实根，所以
2)(
)
(
(
)(
CA CB
x
x
x m x m k
1
1
2
2
2
2
2
1)
) 4
(2
)(
x x
k m
x
k m x
1 2
1
2
2
2
2
1)(4
4 (2
)
2)
k m
k
k
2
2
1
1
k
k
2
2(1 2 )
4 4
m k
m
2(1 2 )
m
2
2
1
1
k
是与 k 无关的常数，所以 4 4
0m
因为CA CB
当 AB 与 x 轴垂直时，点 A B， 的坐标可分别设为 (2 2)， ， (2
，
此时
故在 x 轴上存在定点 (1 0)
．
C ， ，使CA CB
x
x
解法二：（I）同解法一的（I）有 1
2
y
y
1
为常数．
4
x
，
y
(
当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是
y
k x
代入 2
2) 0
x
．
4
k
2
k
x， 是上述方程的两个实根，所以
CA CB
(1 2) (1
，
，即
2
k m
有
x
则 1
4
2
k x
(4
k
(1
y
2
)
x
2
m
2
m
2)
2
2
k
x
1
x
2
4
2
．
．
2
1
2
1
2
k
2
2
1
2
2
2
2)(
k
．
1)
y
2
y
8
x
(
x
1
x
2
)
．
2
，两式相减得
(
y
1
)
y y
2
．
．
4
M ， ，也满足上述方程．
．
1)
2
4
k
2
k
2
1
，
1m ，此时CA CB
= 1 ．
， ，
2)
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