第1页 / 共7页
第2页 / 共7页
第3页 / 共7页
第4页 / 共7页
第5页 / 共7页
第6页 / 共7页
第7页 / 共7页
2003年上海高考文科数学真题及答案.doc
2003 年上海高考文科数学真题及答案
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
第Ⅰ卷 （共 110 分）
4 分，否则一律得零分。
)
4
x
是方程
cos(
cos(
sin
2
x
x
3
1．函数
y
2．若
x
)
4
其中
cos
x
sin(
x
的最小正周期 T=
1)
,
的解
),2,0(
则
3．在等差数列 }{ na 中，a5=3, a6=－2,则 a4+a5+…+a10=
.
.
.
4．已知定点 A（0，1），点 B 在直线 x+y=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标
是
.
5．在正四棱锥 P—ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等
于
.（结果用反三角函数值表示）
6．设集合 A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A 且
}BAx
=
.
7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=
.（结果用反三角函数值表示）
8．若首项为 a1，公比为 q 的等比数列 }{ na 的前 n 项和总小于这个数列的各项和，则首项 a1，公比 q 的一组取
值可以是（a1，q）=
.
9．某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发
布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
.（结果用分数表示）
10．方程 x3+lgx=18 的根 x≈
.（结果精确到 0.1）
11 ． 已 知 点
lim =
n
n
S
),2,0(
A
n
B
),2,0(
n
C
4(
),0,2
n
.
其 中 n 为 正 整 数 . 设 Sn 表 示 △ ABC 外 接 圆 的 面 积 ， 则
12．给出问题：F1、F2 是双曲线
2
x
16
2
y
20
=1 的焦点，点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9，求点 P
到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1 或 17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面
空格内.
.
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有
一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代
号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是
（
）
A．y=tg|x|.
C．
y
sin(
).
2
x
B．y=cos(－x).
D．
|
y
ctg
x
2
|
.
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是
（
）
A．α、β都垂直于平面 r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且 l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且 l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
15．在 P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和 N
可能是点
A．P．
B．Q.
1(
2
1,
4
)
C．M.
四点中，函数
y 的图象与其反函数的图象的公共点只
xa
）
（
D．N.
16．f( x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令 g（ x ）=af（ x ）+b，则下
（
）
列关于函数 g（ x ）的叙述正确的是
A．若 a<0,则函数 g（ x ）的图象关于原点对称.
B．若 a=1， 0
19．（本题满分 14 分）
1
x
已知函数
)(
xf
log
2
1
1
x
x
，求函数 )(xf 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道
的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱
宽 l是多少？
（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设
计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为
S
4
lh
，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米）
21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分.
在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A（4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点 B 的纵坐标大
于零.
（1）求向量 AB 的坐标；
（2）求圆
2
x
6
x
2
y
2
y
0
关于直线 OB 对称的圆的方程；
（3）是否存在实数 a，使抛物线
y
ax
12
上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若
存在，求 a的取值范围.
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分.
已知数列 }{ na （n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比数列.
（1）求和：
Ca
1
0
2
Ca
2
1
2
CaCa
3
2
2
,
1
0
3
Ca
2
1
3
Ca
3
2
3
Ca
4
3
3
;
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明.
（3）设 q≠1，Sn 是等比数列 }{ na 的前 n 项和，求：
CS
1
0
n
CS
2
1
n
CS
3
2
n
CS
4
3
n
)1(
n
CS
n
1
n
n
一、（第 1 题至第 12 题）
1．π.
2．
.
3．－49 .
4．
)
.
5．arctg2.
6．[1,3].
4
3
11
.
6
7．
arccos
10．2.6 .
1(
2
q
1,
2
1
8．
1,1(
2
)(
a
1
0,0
的一组数）. 9．
119
190
11．4π
12．|PF2|=17.
二、（第 13 题至第 16 题）
题 号
代 号
13
C
14
D
15
D
16
B
三、（第 17 题至第 22 题）
17．[解]
|
z
1
z
2
|
1|
1(
sin
sin
2
)
cos
cos
(cos
(cos
sin
|)
i
)
2
2
sin
2
cos
2
2
sin
2
.2
sin
1
4
故
|
3
z 的最大值为 ,
1 z
2
|
2
最小值为 2 .
18．[解]连结 BD，因为 B1B⊥平面 ABCD，B1D⊥BC，所以 BC⊥BD.
在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以 BD=
32
.
又因为直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°，所以
∠B1DB=30°，于是 BB1=
1
3
BD=2.
故平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的体积为 SABCD·BB1=
38
.
19．[解]x须满足
x
1
1
0
x
x
1,
由
1
0
x
x
0
得
1
x
,1
所以函数 )(xf 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数 )(xf 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意 x，有
f
(
x
)
1
x
log
2
1
1
x
x
1(
x
log
2
1
1
x
x
)
)(
xf
，所以 )(xf 是奇函数.
研究 )(xf 在（0，1）内的单调性，任取 x1、x2∈（0，1），且设 x10，即 )(xf 在（0，1）内单调递减，
由于 )(xf 是奇函数，所以 )(xf 在（－1，0）内单调递减.
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点 P（11，4.5）， 椭圆方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
.
将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程，得
a
7
44
7
,
此时
l
2
a
7
88
7
3.33
.因此隧道的拱宽约为 33.3
米.
（2）由椭圆方程
2
2
x
a
2
2
y
b
1
，得
2
11
2
a
2
5.4
2
b
.1
因为
2
2
即
ab
,99
且
l
,2
ha
b
,
所以
2
11
2
a
S
5.4
2
b
lh
ab
4
2
5.4
11
ab
99
.
2
当
S
取最小值时
,
有
此时
l
2
a
22
2
2
11
2
a
,1.31
2
5.4
2
b
h
1
2
b
,
得
a
11
,2
b
29
2
4.6
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时，土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程
2
2
x
a
2
2
y
b
1
，得
2
11
2
a
2
5.4
2
b
.1
于是
2
b
81
4
2
a
2
a
121
,
2
2
ba
81
4
2
(
a
121
a
121
2
2
121
242
)
81
4
2(
2
121
242
)
81
,121
即
ab
,99
当
S
取最小值时
,
有
2
a
121
a
得
a
11
,2
b
29
2
.
以下同解一.
2
121
2
121
,
21．[解]（1）设
AB
,{
vu
},
|
则由
|
AB
AB
|2|
|
OA
|
OA
,
0|
|
2
u
即
4
u
2
v
3
v
100
,0
得
u
v
6
,
8
或
u
v
6
.
因为
8
OB
OA
AB
{
u
,4
v
},3
所以 v－3>0,得 v=8,故 AB ={6，8}.
（2）由OB ={10，5}，得 B（10，5），于是直线 OB 方程：
y
1 x
.
2
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 10 .
设圆心（3，－1）关于直线 OB 的对称点为（x ,y）则
x
y
x
2
3
1
3
2
2
y
1
2
0
,
得
x
y
1
,
3
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10。
（3）设 P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线 OB 对称两点，则
2
a
25
a
2
2
a
,
x
1
y
1
x
1
2
x
2
2
y
2
y
1
2
2
2
y
x
2
0
,
2
a
即
,
xx
1
2
为方程
于是由
4
2
a
x
2
x
254
2
a
2
a
x
2
xx
21
得
x
1
25
2
2
a
,0
a
得
a
3
2
.
0
的两个相异实根
,
故当
3a
2
时，抛物线 y=ax2－1 上总有关于直线 OB 对称的两点.
22．[解]（1）
Ca
1
Ca
1
0
2
0
3
Ca
2
Ca
2
1
2
1
3
Ca
3
Ca
3
2
2
2
3
（2）归纳概括的结论为：
2
2
qaqa
a
1
1
1
3
3
qa
a
Ca
1
1
3
4
1(
a
1
2
3
qa
1
2
,)
q
qa
1
3
a
1
1(
q
3
.)
n
若数列 }{ na 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则
0
1(
Ca
a
1
1
n
n
Ca
证明
1
n
n
n
)1(
n
n
Cq
1
2
3
Ca
Ca
Ca
2
3
4
n
n
n
0
1
2
:
Ca
Ca
Ca
Ca
1
2
3
4
n
n
n
0
1
2
2
Ca
qCa
Cqa
1
1
1
n
n
n
0
1
2
3
[
Ca
qC
Cq
Cq
1
n
n
qa
a
1
1
1
q
n
)1(
Ca
1
n
n
3
n
)1(
n
3
3
Cqa
1
n
3
)1(
n
S
2
n
n
n
,
n
n
（3）因为
q
n
,)
n
.
为正整数
n
Cqa
1
]
a
1
n
n
1(
n
q
)
所以
0
CS
1
n
a
1
1
a
1
1
q
qa
1
1
q
CS
2
1
n
C
0
n
qa
1
q
2
CS
3
n
qa
a
1
1
1
q
CS
4
2
C
1
n
3
n
)1(
3
a
qa
1
1
1
q
n
CS
n
1
n
n
C
2
n
)1(
n
n
1
a
1
1
qa
1
q
C
n
n
[
C
0
n
C
1
n
C
2
n
C
3
n
)1(
n
C
n
n
]
[
C
0
n
qC
1
n
2
Cq
2
n
3
Cq
3
n
)1(
n
n
Cq
n
n
]
qa
1
1
q
1(
q
n
.)
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
