.趁业伯息化 基于Matlab的挖掘机工作装置动力学建模与仿真 孙旭国， 黄孙灼， 林述温 (福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350002 ) 摘 要:提出一种基于Mat}ab 的挖掘机工作装置动力学数学模型的推导方法。利用Mat!ab 符号运算功能，编制M文 件，实现数学模型自动推导，整个建模和运算过程简单、直观和高效。以某中型挖掘机为例进行分析，结果表明模型很好 地反映了挖掘机工作装置的动力学特性。该模型可用于挖掘机控制器设计、挖掘轨迹最优规划和工作装置逆向动力学 仿真分析。 关键词:挖掘机;工作装置;动力学模型;建模;仿真 中图分类号:TP391.9 文章编号:1002一2333(2007)09一0091一03 文献标识码:A 挖掘机的挖掘作业主要由其工作装置来完成，工作 装置的受力十分复杂，其动力学模型是挖掘机结构设计 与分析、液压系统与控制系统设计的基础巨’，2]。目前对挖掘 机的动力学模型研究主要基于两种理论:牛顿一欧拉方 程，拉格朗日方程。前者对每个杆件进行运动和受力分 析，分别建立牛顿一欧拉动力学方程，然后再综合求解，得 到系统的运动微分方程;后者利用功能平衡原理消除对 复杂内力的计算，引人广义坐标描述系统位形，运用数学 分析手段来建立系统的运动微分方程口〕。本文探讨基于经 典牛顿一欧拉方程建立挖掘机工作装置动力学模型的方 法，利用 matlab强大符号计算功能，通过编制 M文件实 现动力学方程的自动推导，以某中型挖掘机为例进行模 型验证 。 1 建立运动坐标系 用牛顿一欧拉法建立动力学方程必须先确定杆件转 动角速度、角加速度以及杆件质心速度、质心加速度。为 了描述工作装置的运动，建立如图 1所示的运动坐标系， 约定所有坐标系的X轴和 Y轴位于工作装置对称面上， 2轴垂直工作装置对称面指向纸外。图 1中，A、C、D分别 为回转平台与动臂、动臂与斗杆、斗杆与铲斗的铰接点，N 为铲斗斗齿尖位置;E、B为动臂油缸两端的铰点，1、F为 斗杆油缸两端的铰点，工K为铲斗油缸两端的铰点;坐标 系。，x1Ylzl固定在回转平台上，原点口1与A重合，x轴 水平向右，Y轴垂直向上;坐标系 OJZy燕 与动臂固接， 原点 0:与 C重合，X轴位于A和 C的延长线上，Y轴方 向由右手准则确定;斗杆的随动坐标系 0式3y3乙和铲斗 的随动坐标系 OJ4Y汤 方位 的确定规则与坐标系 0式ZY遇 相同。 2 工作装置运动方程 实践表明，定点挖掘在挖掘机工作过程中运用最频 繁，也是挖掘机控制设计的重点「5了。定点挖掘时，坐标系 Olx工YI乙固定，动臂、斗杆和铲斗均在同一个垂直平面内 运动。把坐标系 olXly」2，设为基坐标，从动臂开始往铲斗 基金项目:福建省自然科学基金资助项目(2006JO024) 乙 | 。! ! 。 1 、、 \ 图 1 挖掘机工作装置机构简图和运动坐标系 1.回转平台 2.动臂 3斗杆 4.铲斗 5.行走装置 方向递推，就可以依次得到动臂、斗杆和铲斗转动的角速 度、角加速度以及各杆件质心速度、质心加速度向基坐标 投影的计算公式(没有特别指明时，速度、加速度、角速度 和角加速度都是相对基坐标而言)。 根据角速度和角加速度合成定理，可得工作装置任 一杆件转动的角速度和角加速度计算公式: 1+沙:(1二2，3，4) (1) 成产左、1+百*(1二2，3，4) (2) 式中:苗‘为杆件1转动的角速度，诚_，为杆件1一1转动的角 速度，口为杆件 1相对杆件 1一1转动的角速度，在:为杆件 1 转动的角加速度，民_，为杆件1一1转动加速度，民为杆件1 相对杆件 1一1转动的角加速度。 根据速度和加速度合成定理和式(1)、(2)的计算结 果，可得杆件质心加速度计算公式: a。二矗。、卜1)+a布。(、，)砂苗沐(必;布。(卜1〕。) (1二2，3) (3) 云。=矗。(1--，)+在:布。(1-1)。+苗‘x(苗‘布。(、，)。) (1二2，3，4) (4) 式中:瓦为坐标原点0‘的加速度，兔，，)为坐标原点氏:的加 速度，瓦为杆件1质心加速度，几(iw1、为坐标原点0卜，到仅 的矢量，凡1-】、为坐标原点口、，到杆件1质心“的矢量。 3 工作装置动力学方程 分别对动臂、斗杆和铲斗进行受力分析，受力情况如 机械工程师 2007年第9期妻91 万方数据 

二 业摘息化 图2所示。F12为回转平台对动臂的约束力，凡 与凡:为一 对作用反力，分别为动臂对斗杆和斗杆对动臂的约束力， 凡 与凡 为一对作用反力，分别为斗杆对铲斗和铲斗对斗 杆的约束力;MI:为回转平台对动臂的约束力偶，肠刀为动 臂对斗杆的约束力偶泌拼为斗杆对铲斗的约束力偶，从2、 M23、肘义的正向为逆时针方向，桃:与M23为一对作用反力 偶、材们与M34为一对作用反力偶;凡B为动臂油缸对动臂 的作用力，凡与FIF为斗杆油缸作用在动臂和斗杆上的作 用力，凡 为铲斗油缸对斗杆的作用力，凡 为摇臂对斗杆 的作用力，肠 为连杆对铲斗的作用力，场、凡、肠 构成为 一组平衡力系;m‘、m堵、m‘依次为动臂、斗杆和铲斗的 重力;凡 为挖掘力。 桃 币 图2动臂、斗杆和铲斗受力分析图 一 根据牛顿一欧拉动力学方程，列出工作装置任一杆件 的惯性力和惯性力矩的计算公式: 藤五·在沙苗ix[人·苗:〕(1二2，3，4) 天二m沁 (1二2，3，4) (5) (6) 式中沃为杆件1的惯性力，砍为杆件1惯性力矩，m￡为杆 件 1质量，11为杆件 1的转动惯量，瓦汤‘、在‘由式(1)、(2)、 (4)计算得出。 根据受力分析图，列出任一杆件的力和力矩平衡方 程: 燕=熟、1)‘+乙1+1)‘+艺矛尹 (*=2，3，4) (7) 屁缅《1-1)￡+耐、1+，)‘币。、x熟、，、币二(1--1)x孰、。、+艺耐:一 (8) 式中斌、，、为杆件1一1对杆件‘的约束力瓜1+1、表示杆件(1+ 1)对杆件1的约束力;虱、、为杆件(i一1)对杆件1上的约束 力矩，虱1+1)‘为杆件(1十1)对杆件1上的约束力矩，艺劳尸为 所有作用在杆件‘上的外力和，乏丽甲为所有外力对杆件 1的质心的力矩，瓦。为杆件1质心“到坐标原点。‘的矢 量，疏(i-，)为杆件1质心“到坐标原点口‘_，的矢量。 (1二2，3，4) (10)、(11)。 磷ha 礼洲孙礴 ) ~今 虱=一心 孙 蝙 、(瓦一耐 卜 卜 ) +Poa声卢长砂Pos萨瓜 )一编 x (9) (孙礴 一酷凡)卜 +尸翔沐凡计只创x尸iK十几 rx几F (10) 卜 卜 知 冲 净 材纤一风计材lz+Po。czx(之 一一) 户2--m瞪 卜 卜 于 -〕 )+PolBxFEneePollxFI汁 PoloZx户’J砂只〕2声月尸Pol萨(瓦一礼尸称斌二耐 + 瓦流厂赊 耐 (11) 式中:丽2、履3、虱、瓦、瓦和瓦由式(5)和式(6)计算得出，其 它变量含义参见图2以及式(3)、(4)和(8)。 式(9)、(10)和(11)组成了工作装置的运动微分方程 组。其整个推导过程涉及大量向量运算，如果用手工进行 公式推导比较烦琐，且容易出错。Matlab具有强大的矩阵 计算能力和符号推导功能，工作装置动力学方程推导很 有规律，适合在Matlab里编程实现。把工作装置的结构参 数设为符号变量，编写 M程序实现整个计算和化简过程 自动进行。得到的动力学方程具有以下简化表示形式: 万(口)J+c(0，泞)夕+刀(泞)+‘(口)二刀(口)声福+E(0)瓜 (12) 式中:J二[JZ口3J4]T，夕二[泞2泞3泞4lT，凡姚FE。FIFFJK」T， M(0)为藕合惯量矩阵、三阶对称阵，C(口，的为离心力和哥 式力作用项矩阵，B(旬为摩擦力作用项向量，G(0)为重力 作用项向量，D(e)为驱动力作用项矩阵，F(0)为挖掘力作 用项向量。工作装置的结构确定后，M(0)、G(0)、D(0)和E (0)为关节角度的函数，B(旬为关节角速度的函数，C(0， 句为关节角度和关节角速度的函数。式(12)全面反映了 工作装置各项结构参数对其动力学特性的影响。由于方 程涉及变量众多、比较大，本文在此不赘述。 4 动力学特性分析 本文以某中型液压挖掘机为实例，对在挖掘作业中 常用到的场地平整、修坡等直线跟踪功能进行仿真，分析 工作装置动力学特性和进行模型验证。该型号挖掘机工 作装置转动惯量、质量和杆件长度等主要结构参数为:12= 15366kg·mZ，13二826kg·mZ，14=252kg·mZ，m:二1566kg， m3二s65kg，m4二453kg，乙2三5.16m，乙3二2.59m，乙4二1.33m(乙2 为A点 C点的距离，L3为 C点 刀点的距离，L;为 D点N J点的距离)。 在仿真过程中，设定铲斗斗齿尖运行轨迹为水平直 线，保持铲斗的姿态角为一900(即铲斗随动坐标系的X轴 垂直向下)，铲斗斗齿尖由基坐标仁6.8，一1.5」(单位:m)位 置以:=0.1而5和:二0.5耐5两种速度匀速向机身方向运动 到「3.8，一1.5〕位置。当铲斗斗齿尖按指定轨迹运动时，根 据工作装置逆向运动方程[6j，可以计算出各关节角度、角速 度和角加速度。图3和图4分别给出在两种不同斗齿尖 运动速度下各关节角加速度变化曲线，a:为动臂相对回 转平台转动的角加速度，a3为斗杆相对动臂转动的角加 速度，a4为铲斗相对斗杆转动的角加速度。图3和图4中 按式(7)列出铲斗的力平衡方程，求出约束力几，代 入按式(8)列出的铲斗的力矩平衡方程进行化简，得到不 含约束力的平衡方程(9)。同理，从铲斗开始，往动臂递 推，可以依次得到斗杆和动臂的消除约束力的平衡方程 92 .机械工程师 2007年第9期 万方数据 

二 业二 化 xl护 2卜~ ...... - 助..... - - 一/ ‘ 长二丁 户『 10 20 30 时间 tls ，=0.1n公台时驱动力曲线 ，卜----一 厂一 ~ 户 ~ ~ - - - - 一 r了 外 一’打 2 4 时间 tls 0 气 2 ， 1 ， 1 : 0 o if ~ 0 图 6 ，动.5n公5时驱动力曲线 xlo 卜 ..卜 . 护 . . . . . . ‘ . . ‘ 卜 L n U 一 ~ - ， . xl护 工L ‘.. ---一 厂一 ~ 全__之_______一 10 20 30 时间 tls ，动.111115时约束反力曲线 一一一一一一刀一 凡2 surfacematerial[J〕.J.Aerosp.Eng.，1994，7(1):17一32. (编辑 黄 获) 2 改 只 得 留 姿 只 材 留 之 食 欲 以 探 氢 0 ， ‘ ， 1 ~f ~ 0 .二1 0 11 之 食 只 以 供 最 相对应曲线变化趋势相同，但图4中角加速度的值明显 要大很多。 xlo-3 ， ， P. 飞 侧 瑕 口只 暇 杯 水 长 、、、~~ 一 叹 一 20 30 时间 忿15 时关节角加速度曲线 刃二0.111115 些 瀚 0 . 0 ~j 工八 卜 1 o 卜 工 工 述一______J 一 ~ ..~ ...~ ，. .， ... 一0一05 0 一 ~.. - 一 一 伪 二 2 4 五 6 ， ， 勺巴 飞 侧 侧 口只 权 护 积 时间 tls 图4 ，=0.5n公污时关节角加速度曲线 这里只验证空载时工作装置的动力学特性，在仿真 过程中挖掘力设为 0，把工作装置的结构参数值和计算 得到的运动状态参数值代人式(12)，对方程组进行求解 就可以计算出工作装置的驱动力，其变化曲线如图5、图 6所示。动臂油缸驱动力 几 最大、缓慢下降，铲斗油缸驱 动凡最小、基本保持不变，斗杆油缸驱动力凡 呈从负到 正明显的上升趋势，这与实际情况相符合。把驱动力代到 杆件力平衡方程式(7)，就可以求出杆件间的约束反力， 其变化曲线如图7、图8所示。对照图5与图6可以看出， 工作装置在两种不同运动速度下的驱动力曲线基本相 同，图7和图8的约束力曲线也有类似的结论，这是因为 空载时，斗齿尖作匀速直线运动的过程中，惯性力和惯性 力矩都很小，驱动力主要用来克服重力作用。 5 结 论 (1)基于牛顿一欧拉方程推导液压挖掘机工作装置的 动力学数学模型，以某中型挖掘机实例来进行分析，结果 表明所建立的模型较好地反映了工作装置的动力学特性。 (2)建立的挖掘机工作装置动力学数学模型是挖掘 控制设计的基础。模型还可以用于挖掘机工作装置的逆 向动力学仿真，求解工作装置在各种运动状态下的运动 副动反力，作为挖掘机结构设计和分析的依据。 [1] KoivoAJ，ThomaM，kocaoglanE，etal.Modelingandcontrol ofExcavatorDynamicsDu石ngDiggingoperation[J].JAerosp. Eng.，1996，6(1):8451一5459. 匕之一上一__________ 2 4 0 时间 t/s 图8 。动.51”15时约束反力曲线 nynamicsandthecomputationofPrescribedTrajecto叮[J」. Computersandstructures，20()2，80:605一164. 【5] 何清华，张大庆，郝鹏等.液压挖掘机工作装置模型及其控制的试 验研究〔J〕中南大学学报(自然科学版)，2006，37(3):542es546. [参考文献1 [6] KoivoAJ.Kinematicsof。xcavators(Backhoes)fortransferring [2] LeverPA，WangFYJntelligentExcavationcontrolSystemfor LunarMiningsystem[J].J.Aerosp.Eng.，1995，8(1):16一24. 作者简介 : 孙旭国(1973一)，男，硕士研究生，研究方向为精密机械及 「3〕 洪嘉振.计算多体系统动力学〔M」北京:高等教育出版社，1999. [4」 FoxB，Jennin邵LS，zom哪 AY.ontheModelingofAc比ator 控制技术。 收稿 日期 : 2007一的 一02 万方数据 机械工程师 2。。7年第9期.93