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kalman滤波算法（含详细推导）.ppt
卡尔曼滤波算法及
推导
1、kalman滤波问题
ß 考虑一离散时间的动态系统，它由描述状态向量的过程方程
和描述观测向量的观测方程共同表示。
（1）、过程方程
(
nx
)
1
(
nF
),1
)(
nxn
)(
nv
1
.......(
)1
式中，M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量，
它是不可观测的；M M矩阵F（n+1,n）成为状态转移矩阵，
描述动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移，应为
已知。而M 1向量 为过程噪声向量，它描述
状态转移中间的加性噪声或误差。
)(nv1
1、kalman滤波问题
（1）、观测方程
)(
)(
nxnCny
)(
)(
nv
2
.........(
)2
式中，N 1向量y(n)表示动态系统在时间n的观测向
量； N M矩阵C（n）称为观测矩阵（描述状态经过
其作用，变成可预测的），要求也是已知的；v2(n)表示观
测噪声向量，其维数与观测向量的相同。过程方程也称为
状态方程，为了分析的方便，通常假定过程噪声v1(n)和观
测噪声v2(n)均为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分
别为：
1、kalman滤波问题
H k
)({
)}(
vnvE
1
1
)({
vnvE
2
H k
)}(
2
),
(
knnQ
1
,0
kn
(
),
knnQ
2
,0
kn
......(
)3
......(
)4
1、kalman滤波问题
ß 还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、
v2(n)，n 0均不相关，并且噪声向量
v1(n)与v2(n)也不相关，既有：
)({
vnvE
1
H
2
)}(
k
,0
,
kn
......(
)5
2、新息过程
ß 考虑一步预测问题，给定观测值y(1), ...，y(n-1)，求观测向量
y(n)的最小二乘估计，记作
def
)(ˆ1
ynyny
(ˆ
1(
),...,
ny
(
))1
（1）、新息过程的性质
y(n)的新息过程定义为：
)(
1 nynyn
)(
(ˆ
).........
)6.(
)(n
式中，N 1向量 表示观测数据y(n)的新的信息，简称新
息。
2、新息过程
)(n
ß 新息 具有以下性质：
性质1 n时刻的新息 与所有过去的观测数据
)(n
y(1), ...，y(n-1)正交，即：
H
)({
E
yn
)}(
k
1,0
n
k
1
.......(
)7
性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列{ } 组
成，即有
H
)({
E
n
)}(
k
1,0
n
k
1
)(n
..........
)8(
2、新息过程
性质3 表示观测数据的随机向量序列{y(1) ,…y(n)}与表
示新息过程的随机向量序列{a(1),…a(n)} 一一对应 ，即
1({
y
),...
)}(
ny
(
1({
),...
n
)}........
)9..(
以上性质表明：n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数
据y(1), ...，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却
能够提供有关y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。
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