2022年北京高考数学试题及答案.doc-资料库

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2022 年北京高考数学试题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知全集 U  { x    ，集合 3} 3 x A  { x    ，则 U A  1} 2 x ð （） A．( 2,1]  B． ( 3, 2)    [1,3) C．[ 2,1)  D． ( 3, 2]    (1,3) 2．若复数 z满足 i z   ，则 z  （） 3 4i A．1 B．5 C．7 D．25 3．若直线 2 x y   是圆 1 0 ( x a  ) 2  2 y  的一条对称轴，则 a  （） 1 A． 1 2 B．  1 2 4．已知函数 ( ) f x  C．1 D． 1 1 1 2x  ，则对任意实数 x，有（） A． ( f x   ) ( ) 0 f x  B． ( f x   ) C． ( f x   ) ( ) 1 f x  D． f ( x   )  ( ) 0 f x 1 3 ( ) f x  5．已知函数 A． ( ) f x 在 C． ( ) f x 在        ( ) f x  π, π  6 2 π0, 3    上单调递减 cos 2 x  2 sin x ，则（）上单调递减 B． ( ) f x 在       π π, 4 12 π 7π, 4 12       上单调递增上单调递增 D． ( ) f x 在    6．设 na 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ na 为递增数列”是“存在正整数 0N ，当 n N 时， na  ”的（） 0 0 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和lg P 的关系，其中 T表示温度，单位是 K；P表示压强，单位是 bar ．下列结论中正确的是（）

时，二氧化碳处于液态时，二氧化碳处于气态时，二氧化碳处于超临界状态时，二氧化碳处于超临界状态 3  2 a x 2  a x a 1 0  ，则 0 a  a 2  a 4  （） C．当 B．当 A．当 T  T  T  T  (2 x 220 270 300 360 4 1)  ， 1026 ， 128 9987 729 4  P  P  P  P  a x a x 4 3 D． 41 A．40B．41C． 40 9．已知正三棱锥 P ABC  ，，  D．当 8．若的六条棱长均为 6，S是 ABC△ 及其内部的点构成的集合．设集合 T  { Q S PQ   ，则 T表示的区域的面积为（） 5} A． 3π 4 B． π C． 2π D．3π 10．在 ABC△ 中， AC  3, BC    4, C 90  ．P为 ABC△ 所在平面内的动点，且 PC  ， 1   则 PA PB A．[ 5,3]  的取值范围是（） B．[ 3,5]  C．[ 6,4]  D．[ 4,6]  第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11．函数 ( ) f x   1 x 1  的定义域是_________． x 12．已知双曲线 2 y  2 x m  的渐近线方程为 1 y   3 3 x ，则 m  __________． 13 ．若函数 ( ) f x  A sin x  3cos x 的一个零点为 π 3 ，则 A  ________ ； f    π 12     ________． 14．设函数 ( ) f x     ax  ( x  1,  2 2) , x x   , a . a a的最大值为___________．若 ( ) f x 存在最小值，则 a的一个取值为________；

15．已知数列 na 的各项均为正数，其前 n项和 nS 满足 a S  n n  9( n 四个结论： ① na 的第 2 项小于 3；② na 为等比数列； ③ na 为递减数列；④ na 中存在小于 1 100 的项．其中所有正确结论的序号是__________．   ．给出下列 1,2, ) 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题 13 分）中， sin 2 C 在 ABC△ （I）求 C ；  3 sin C ．（II）若 6 b  ，且 ABC△ 的面积为 6 3 ，求 ABC△ 的周长． 17．（本小题 14 分）中，侧面 BCC B 为正方形，平面 BCC B  平面 1 1 ABB A ， 1 1 如图，在三棱柱 ABC A B C 1 1 1  1 1  ，M，N分别为 1 1A B ，AC的中点． 2 AB BC （I）求证： MN ∥ 平面 BCC B ； 1 1 （II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB与平面 BMN所成角的正弦值．条件①： AB MN 条件②： BM MN ；．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题 13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9 50m．以上（含9 50m．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X的数学期望 EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19．（本小题 15 分）已知椭圆 E : 2 2 x a  2 2 y b  1( a   的一个顶点为 (0,1) 0) A b ，焦距为 2 3 ． P  作斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC分别与（I）求椭圆 E的方程；（II）过点 ( 2,1) x轴交于点 M，N，当| 20．（本小题 15 分） MN  时，求 k的值． | 2 x ) e x  ．（I）求曲线已知函数 ( ) f x y （II）设 ( ) g x （III）证明：对任意的 , ln(1 ( ) f x  f x ( )  在点 (0, ，讨论函数 ( )g x 在[0, s t   ，有 ( f s (0)) (0, ) f 处的切线方程； ) 上的单调性； ( ) t   ( ) f s  ) t f ． 21．（本小题 15 分）已知 , Q a a : 1 存在 , a a i i 1  ,  2 , 2 a i , a 为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的 {1,2, , ，使得 0) k ,       n n ( j   a i a i 1  a i  j a i  2 a i  j   ，在 Q中 , } m ，则称 Q为 m  连续可表数列．（I）判断 : 2,1,4 , , Q a a （II）若 Q : 1 2 , Q a a : 1 2 （III）若是否为5  连续可表数列？是否为 6  连续可表数列？说明理由； , a 为8  连续可表数列，求证：k的最小值为 4； , a 为 20  连续可表数列，且 1 a  20    a a , 2 k k k ，求证： 7 k  ． 2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学参考答案

一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题第一部分（选择题共 40 分）目要求的一项． 1. D2. B3. A4. C5. C6. C7.D8. B9. B10. D 第二部分（非选择题共 110 分）   二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11.  3  0,1 ,0 12.   13. ①. 1②. 2 14. ①. 0（答案不唯一） ②. 1 15.①③④ 三、解答题共 6 小愿，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（1）  6 + （2） 6 6 3 17.（1）取 AB 的中点为 K ，连接 ,MK NK ，可得四边形 ABB A 为平行四边形，由三棱柱  ABC A B C 1 1 1 B M MA BK KA   1 1 //MK BB ， 1 ，则而 1 1, CBB C ， 1BB  平面而 MK  平面 , 1 CN NA BK KA , //MK 平面  ，则 //NK BC ，同理可得 //NK 平面 , NK MK K NK MK CBB C ，故平面 MKN ，   而而   1 1 1 1 CBB C ， 1 CBB C ， 1 1 故平面 MKN 平面 // CBB C ，而 MN  平面 MKN ，故 1 1 //MN 平面 CBB C ， 1 1 （2）因为侧面 CBB C 为正方形，故 1 1 CB BB 1 ，而CB  平面 CBB C ，平面 CBB C  平面 ABB A ， 1 CBB C  平面 1 1 1 ABB A 1 1 1 BB 1 1 1 1 ，故CB  平面平面 ABB A ， 1 1 因为 //NK BC ，故 NK  平面 ABB A ， 1 1 ABB A ，故 NK AB ，因为 AB Ì 平面 1 1 若选①，则 AB MN ，故 AB  平面 MNK ，而 MK  平面 MNK ，故 AB MK ，而 NK AB ， NK MN N  ，

 0,1,2  ，，CB AB B  AB BB 1 CB BB 1 ，而所以故可建立如所示的空间直角坐标系，则  B  0,1,2   1,1,0 ,  设平面 BNM 的法向量为  n   0,2,0 ,  BM , , x y z  BN  BA  ，故      ，  ，故 1BB  平面 ABC ，    0,0,0 , 1,1,0 , M  0,2,0 , N A      n BN    ，从而  n BM     0 0 则 x    y  0   0 z  y 2  z   ，则  n   1  2,2, 1  ，，取设直线 AB 与平面 BNM 所成的角为，则 sin  cos   , n AB  4 2 3   2 3 . //NK BC ，故 NK  平面 1 1 ABB A ，而 KM  平面 MKN ， 1  ，故 1B M NK ，  1, NK 若选②，因为故 NK KM B B MK 而 1 所以  BB M 1 CB BB 1  B M BK ，而 1  ， MB MN 2   MKN  90    ，故 1BB M MKN A B  ，故 1 1 BB 1 ，，  ，CB AB B 而故可建立如所示的空间直角坐标系，则  B  0,1,2  ，故 1BB  平面 ABC ，   0,0,0 ,  BM  BN  BA  ， A    故  0,2,0 ,   1,1,0 ,  设平面 BNM 的法向量为  n   , , x y z  ，  0,2,0 , N   1,1,0 , M  0,1,2  ，     n BN    ，从而  n BM     0 0 则 x    y  0   0 z  y 2  z   ，则  n   1  2,2, 1  ，，取设直线 AB 与平面 BNM 所成的角为，则 sin  cos   , n AB  4 2 3   2 3 .

18.（1）0.4（2） 7 5 （3）丙 2  1 y 19.（1） 2 x 4 4 k   （2） 20.（1） y x （2） ( )g x 在[0, （3）解：原不等式等价于 ( f s 令 ( ) ， ( , m x  即证 ( ) ) 上单调递增. t ( f x m x m ) t   (0) ( ) f x ， ) ( ) f s   0) x t  ，  f ( ) t  f (0) ， ∵ ( ) m x  ( f x t   ) ( ) f x  e x t  ln(1    x t ) e ln(1 x  ， x )  ( ) m x x t  e ln(1    x t ) x t  e x t   1  x e ln(1  x )  x e  1 x  ( g x t   ) ( ) g x ，由（2）知 ( ) g x   ( ) f x  x e (ln(1  x )  1  1 x 在 ) 0, 上单调递增，  ∴ ( g x   ) t ( ) g x ，  m x 0,  上单调递增，又因为 , ∴ ( ) 0  ∴ ( )m x 在 ∴ ( ) m x m 21.（1）是 5  连续可表数列；不是 6  连续可表数列．（2）若 3   k  ,设为 :Q , ,a b c ,则至多，所以命题得证. x t  ， (0) , b b , c a 0   a b , , c a b c , ，6 个数字，没有8 个，矛盾；

2 ，满足 1 1 a a   ， 1  a  ， 3 a  ， 4 a a  a 4 3 j 最多有 k 种，若 i 7  a 2 4 a 4 4 3 a  ， 1 a  ， 2 4  ．  ， min k 8 a 2  ， 5 j ，最多有 2Ck 种，所以最多有当 4 k  时,数列 :1,4,1,2 Q a 1  a （3） k  C  a 3 2 , : 6  a 3 a  ， 2 , , Q a a 2 1  k k  2  2 k k a ，若i  1 种，若 5 k  ，则 1 , a a 2, a… 至多可表  , k  5 5 1  2  个数，矛盾, 15 从而若 7 k < ,则 6 k  ， , 而 a b c d      e 21 个），这表明 ~a , , , , 6(6 1) a b c d e f 至多可表  2  ，所以其中有负的，从而 , a b c d e f 可表 1~20 及那个负数（恰 f , f 中仅一个负的，没有 0，且这个负的在 ~a f 中绝对值最小，同时 ~a  个数， 21 20 , , , f 中没有两数相同,设那个负数为 ( m m  ， 1) 则所有数之和  { , a b c d e f , , , 1 m           ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 20 个， , } { 1,2,3,4,5,6}    ， m   m m 15 19 ， 4 15 m m m 2 5 4 1   1 1 2    （仅一种方式），  1 与 2 相邻，若 1 不在两端,则" , 1, 2 , __, __, __" x  x  ，则 5 6 ( 1) 若 6 6x  ，同理 5,4,3 3A  ,则5 2 3 x  若形式，    （有 2 种结果相同，方式矛盾），，故 1 在一端，不妨为" 1,2,  , A B C D , , " 形式，   （有 2 种结果相同，矛盾）， 1 2 5     （有 2 种结果相同，矛盾），从而 4A  同理不行， 6A  ， 5A  ，则 6 由于 7 1 2 6 故只能 1,2,6,3,5,4      ,由表法唯一知 3,4 不相邻,、，①或 1,2,6,4,5,3  ，② 这 2 种情形，对①： 9 6 3 5 4 对②：8 2 6 5 3 k  ． 7     ，矛盾，     ，也矛盾，综上 6 k 

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