2001年江苏高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2001 年江苏高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 9 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。第 I 卷（选择题 60 分）注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式 sin  cos cos  sin          sin      sin     cos  cos      cos     sin  sin  cos      cos        sin 1 2 1  sin 2 1  cos 2 1  2  正棱台、圆台的侧面积公式  c 1 2  S 1 3 lc   台侧 S 其中 c 、 c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长台体的体积公式  台体  V 其中 S 、 S 分别表示上、下底面积， h 表示高  SS hS 一、选择题：本大题共 12 小题；第每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 sin  cos 0 ，则在（1）若（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限（2）过点  A 上的圆的方程是 2  y  1,1  、且圆心在直线 1,1   B 0 x （A） x  2  3   y 2  1   4 （B） x  2  3   y 2  1   4 2 2  y x    1 （C） （3）设 na 是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（D）  1  1  1 4 4       y x  2 2 （A）1 （B）2 （C）4 （D）6

（4）若定义在区间 01， 内的函数   xf  x 1  a 满足 )( xf 0 ，则 a 的取值范围是（B）（0，，+  ）（D）（0，+  ） log 2 1 2  1 ] （C）（ 2  ) 4 的图形是（A）（0， 1 2 ） (5)极坐标方程   2 sin(   o 1 x 1 o x 1 o x 1 o x （A）（B）（C）（D）（6）函数 y  cos x (1   x )0 的反函数是（A） y  arccos( x  0)(1  x )2 （B） y   arccos( x  0)(1  x )2 （C） y  arccos( x  0)(1  x )2 （D） y   arccos( x  0)(1  x )2 （7）若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为（A） 3 4 （8）若 0  （A） b a  （B） 2 3    4 a  （B） b  （C）（D）， sin a   cos 1ab （C）（D） ),0,1( F 2 F 1 1 2 )0,3( 1 4 sin 2ab 2BB 1 ，  cos   b ，则（9）在正三棱柱 ABC  1 CBA 1 1 中，若 AB  ，则 1AB 与 BC1 所成的角的大小为（A）60° （B）90° （C）105° （D）75° （10）设 )( xf 、都是单调函数，有如下四个命题： )( xg ○1 若 )(xf 单调递增， )(xg 单调递增，则 )( xf  )( xg 单调递增； ○2 若 )(xf 单调递增， )(xg 单调递减，则 )( xf  )( xg 单调递增； ○3 若 )(xf 单调递减， )(xg 单调递增，则 )( xf  )( xg 单调递减； ○4 若 )(xf 单调递减， )(xg 单调递减，则 )( xf  )( xg 单调递减；其中，正确的命题是（A）○1 ○3 （B）○1 ○4 （C） ○2 ○3 （D）○2 ○4 （11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1 单向倾斜；○2 双向倾斜；○3 四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 PPP 、、 1 3 2 .

① ② ③ 若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（A） P 3  P 2  P 1 （B） P 3  P 2  P 1 （C） P 3  P 2  P 1 （D） P 3  P 2  P 1 （12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（A）26 （B）24 （C）20 （D）19 第 II 卷（非选择题 90 分）注意事项： 1．第 II 卷共 7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为 3 ，则这个椭圆的侧面积是（14）双曲线 2 x 9 2  y 16  1 的两个焦点为 1 FF 、，点 P 在双曲线上.若 1PF ⊥ 2PF ，则点 P 2 到 x 轴的距离为 . （15）设 na 是公比为 q 的等比数列， nS 是它的前 n 项和.若 nS 是等差数列，则 q （16）圆周上有 2n 个等分点（ 1n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 . .

三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ∠ S  SA °， SA ⊥面 ABCD ， 90 ABCD AB  中， BC  1 ， ABC 1AD 2 . (Ⅰ)求四棱锥 (Ⅱ)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. 的体积； S  ABCD (18) (本小题满分 12 分) 已知复数 z 1  i 1(  i ) 3 . (Ⅰ)求 arg z 及 1z ； 1 (Ⅱ)当复数 z 满足 1z ，求 z  的最大值. 1z （19）(本小题满分 12 分) 设抛物线 2 y  2 ( ppx  )0 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 BA、两点. 点C 在抛物线的准线上，且 BC ∥x 轴. 证明直线 AC 经过原点O . （20）(本小题满分 12 分) 已知 , , nmi 是正整数，且 1 nmi  . (Ⅰ)证明 i i Pn m  i i Pm n ； (Ⅱ)证明 1(  n m )  1(  n ) m . (21) (本小题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 1 5 . 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 (Ⅰ)设 n 年内（本年度为第一年）总投入为 na 万元，旅游业总收入为 nb 万元. 写出表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? . 1 4 n ba , 的 n

(22) (本小题满分 14 分) 设 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 1x 对称，对任意 xx 1 , 2 1,0[ 2 ] ，都有  ( xf 1  (Ⅰ)求 2 ) x 1(f 2 ( ) xf 1 1(f 4 ) 及  ( xf 2 ) ，且 f )1(  a 0 . ) ; (Ⅱ)证明 )(xf 是周期函数； (Ⅲ)记 an  f 2( n  1 2 n ) ，求 lim n  (ln a n ) . 参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．（1）B （6）A （2）C （7）C （11）D （12）D （3）B （8）A （4）A （9）B （5）C （10）C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分．（13）2π （14） 16 5 （15）1 （16）2n (n－1)

三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分 12 分．解：（Ⅰ）直角梯形 ABCD的面积是 5.01  2 AD BC M底面 AB      1 2  1  3 4 ， ……2 分 ∴ 四棱锥 S—ABCD的体积是 M底面 V  1 SA  3 1 31  3 4 1 ． 4 ……4 分（Ⅱ）延长 BA、CD相交于点 E，连结 SE则 SE是所求二面角的棱． ……6 分 ∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB， ∵ SA⊥面 ABCD，得 SEB⊥面 EBC，EB是交线，又 BC⊥EB，∴ BC⊥面 SEB，故 SB是 CS在面 SEB上的射影， ∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10 分 ∵ SB  SA 2 AB  2 2 ，BC =1，BC⊥SB， ∴ tan∠BSC  BC SB 2 2 ．即所求二面角的正切值为 2 2 ． ……12 分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分 12 分．解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i，将 z1 化为三角形式，得 z 1  22 cos    7  4  i sin 7    4  ，

∴ arg 1 z 7  4 ， 1 z 22 ．（Ⅱ）设 z= cos α＋i sin α，则 z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i， z  z 1 2   cos   2  2   sin   2 2 sin249   (  4 )，当 sin(   4 ) = 1 时， 2 z  1z 取得最大值 249  ．从而得到 z  的最大值为 1z 122  ． ……6 分 ……9 分 ……12 分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分 12 分．证明一：因为抛物线 y2 =2px (p＞0)的焦点为 F ( p 2 ，0)，所以经过点 F的直线的方程可设为代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， x  my  p 2 ； ……4 分若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根，所以 y1y2 = －p2． ……8 分因为 BC∥x轴，且点 c在准线 x= － p 2 上，所以点 c的坐标为（－ p 2 ，y2），故直线 CO 的斜率为 k  y  2 p 2  2 p y 1  y 1 x 1 ．即 k也是直线 OA的斜率，所以直线 AC经过原点 O． ……12 分证明二：如图，记 x轴与抛物线准线 l的交点为 E，过 A作 AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC．连结 AC，与 EF相交于点 N，则 ……2 分

EN AD NF BC   CN AC AF AB  BF AB ，， ……6 分根据抛物线的几何性质， AF  AD ， BF  BC ， ……8 分 ∴ EN  AD BF  AB  AF BC  AB  NF ，即点 N是 EF的中点，与抛物线的顶点 O重合，所以直线 AC经过原点 O． ……12 分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分 12 分．（Ⅰ）证明：对于 1＜i≤m有 i mp = m·…·(m－i＋1)， i p m i m  m m  1 m  m  …  1 im m ，同理 i n i p n  n n n  1  n  …  1 in n ，由于 m＜n，对整数 k = 1，2…，i－1，有 kn  n  km  m ，所以 i n i p  n i p m i m ，即 i pm i n  i pn i m ．（Ⅱ）证明由二项式定理有 ……4 分 ……6 分 n  1  n  m   i  0 i Cm i n ，  1  m m  n   i  0 i Cn i m ， ……8 分由 (Ⅰ)知 i pm ＞ i i pn m i n (1＜i≤m＜n＝，而 C i m  i p m !i ， C i n  ， i p n !i ……10 分

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