高等数学多元函数微分学教案.doc-资料库

60 曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形 1、球面设  z,y,xP 0 0 0 0 是球心，R 是半径，  zy,x,P 是球面上任一点，则 RPP0  ，即  x  x 0 2    yy  0 2    z  z 0 2   2 R 2 x  2 y  2 z  2 R 2 2 x a  2 2 y b  2 2 z c  1 2、椭球面 3、旋转曲面设 L 是 x0z 平面上一条曲线  0 转曲面：  f x 2 z,y  z x y x  2    z   2  2  2  0 0 0   zx, y   0 f    ，L 绕 z 旋转一周所得旋 (0,0,z0) (x,y,z) (x0,y0,0) 2 x  2 ,y z  z 0  0 x 得  f   z 代入方程  f zx,  0  2 x  2 y 2 x  2 z,y 0 z  0  例 1、 z  2 x  2 z,y   xa 2 2  y 称为旋转抛物面 z 0 y 2 y 旋转双曲面： 2 x 4、椭圆抛物面 z   2 a ax  z c by 2 2 2  1 ，(单) z  2 y  2 x  2 a 2 2 z c x ab  0 5、单叶双曲面 6、双叶双曲面 7、二次锥面 2 2  x a 2 2 2 2  x a  x a 2 2 z c   1 2 2 z c 2 2  1  0 y b  2  2 2  2 2 y b 2 2 y b  z c 圆锥面 2 z  2 x  2 y 2 z  2 ax  2 by

8、柱面抛物柱面 y  2 ax  a  0 椭圆柱面 2 2 x a  2 2 y b  1 圆柱面 2 x  2 y  2 R 60 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）一般式   zy,x,F 1 zy,x, F 2        0 0 参数式 x y z           tx   ty   tz 曲线   zy,x,F 1 F zy,x, 2        0 0 在三坐标面上投影方程在 x0y 面上投影曲线方程：在   zy,x,F 1 zy,x, F 2        0 0 中消去 z，再与 z=0 联立。

多元函数微分学 10 二元函数及其极限与连续 1、 yx, z   f ，定义域为平面上某一个平面域几何上 z  2、二元函数极限 P186 例 1、讨论函数     4x y  4 y x  0  22 yx,    f 4 2  yx, f 为空间一张曲面。 2 2 x x   2 2 y y   0 0  0,0 在极限是否存在。 2 4x lim 解：  4 y 0 x   2 yx  y x 4  22  lim 0 x  而 4y  4 y 4  4 y   24 y lim x 0  2yx   4 3、连续 P187 2 4  4 4 xK 4x   22 4 x xK  yxf ∴   lim 0 x  2 2 x 4K   2 4 1Kx  2  0 在(0,0)极限不存在. 20 多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数定义： z   f yx,  在点  0 y,x 0 处对 x 的偏导数，记作： z  x  , 0xx  0yy  f  x  即：   y,xf x 0   0 lim x 0  , 0xx  0yy   xf   y,xf 1 0 0   y,xf 0 0  , z  0xxx  0yy   0  yx, 0 x  同理：   y,xf y 0 0   lim y 0   y,xf 0 0  y  y   y,xf 0 0   f,f x 在 y  y,x 0 0 存在，称 z   f yx,  在  0 y,x 0 可导。例 1、 z  y ,x 求 z  x  z,  y  解： z  x   yx 1y  , z  y   x y lnx

例 2、P188，例 5，6 2 x11y 设    z   sin  yx,  解：  z  x,1  3 ,x   2,1  z  x 2、高阶偏导数 z  x  2 z  2 x   x        f xx   yx,  3 ,x    x,1 dx dz 求  2,1 z  x  2 3x  12 2x  2x   f 2x z xx   z xy  xy f 2 z  xy    x     z  y  2 z  yx    y     z  x  2 z  2 y    y     z  y       z  yx f yx f  xy , f  yx , 连续，则 f  f xy yx 3、全微分 z  如  xf  yx,   y  f  ρoyBxAyx,   ρ    z  f  yx,  x  2 2  y   yx, 在可微全微分 dz  f  x  dx  f  y  dy 偏导数 f  x  , f  y  连续→可微 ↗可导 ↘连续例 3、设  yx,u   xlny  ylnx  1 则 du  lny     y x    dx     x y  lnx dy    例 4、由方程 xyz  2 x  2 y  2 z  2 确定 z   yx,z 在点 1,0,1  全微分 dz  dx  dy2

30 复合函数微分法定理：P194 z = f (u . v) u = u ( x . y.) z  x  v  x  f  v  u  x  f  u    ,   v = v ( x . y ) z  y  u  y  f  u     z = f ( u , v ) = F ( x . y ) f  v   v  x  例 5、P195，例 5.14 设 z = ( 1 + x2 + y2 )xy 解： z  e xyln(1  )2y2x  z  x  z  y   (1  x 2  2 )y xy  (1  x 2  2 )y xy       求 z  x  z  y  yln(1  x 2  2 )y  2x 2 x1  2 y  2 y xln(1  x 2  2 )y  2 2xy 2  x1  2 y       例 5.15 解 z   xf 2  xy,y 2 ， y  x    xx2  2    x,x 2    xx    xF   (x)   (x) x    x  (x)  2  z x2f  z f    x u   f2   2x  u   4x  2  (x)  2x  (x)    (x)  x  (x)  (x)  x  v,uf f   v    2x     2x (x) (x)  (x) 2  f  v  (x)    例 7、 z  2 y   xf 2 2  y ，其中  uf 可微，则 zy  x   z  y      uf2xy     ufy2  y2 例 8、 z x(x 2 y ) , (u) 可微，则 z2  x   zy  y   2z

例 9、设 z  y 2 )y- 2 f(x ，求证 1 x z  x   1 y z  y   z 2y 证：令 2 x  2 y  u 则 z  y f(u) z  x     (u) f2xy 2 (u) f z  y   1 f(u)  2  f2y (u) 2 (u) f 1 x z  x   1 y z  y    f2y 2 f  (u) (u)  1 yf(u)  f2y 2 f  (u) (u)  1 yf(u)  z 2y 例 10、设 z   x2f   y   xy,xg ，其中  tf 二阶可导，  v,ug 具有二阶连续偏导数。求 z2  yx  解： z  x  2 z  yx   f (t)  g2 v g u y  f2  (t)  ( g0 uv 1) g u  gx v  gy  vu  g0 vv x   (t) f2 gx  uv g v gxy  vv 例 11、设 u  vy,  y x ，试将方程 x z 2 2  x   2 z  yx   0 变换成以 u , v 为自变量的方程，其中函数 z 具有二阶连续偏导数。解： z  x  2 z  2 x    z  u  2y 3 x  u  x  z  v    z  v   y  2 x   v  x  2 z  2 v   z  v  v  x   ( y 2 x 2 z  uv  ) u  x     2y 3 x z  v   2 4 y x z 2 2  v 

2 z  yx   1 2 x z  v   y 2 x    z 2 2  v   v  y   2 z  uv  u  y      1 2 x z  v   y 2 x 2 z  vu      1 x z 2 2  v     ∴ x z 2 2  x   y 2 z  yx   2y 2 x z  v   2 3 y x z 2 2  v   y 2 x z  v   2 2 y x 2 z  uv   2 3 y x z 2 2  v   y 2 x z  v   2 2 y x 2 z  uv   0 于是方程变为： z  v   u 2 z  vu   0 40 隐函数求导  z.y.xF  0  确定了 z   y.xz 求 z  x  z,  y  (1)方程两边同时对 x 求导，注意 z  y.xz  ，可求得方程两边同时对 y 求导，注意 z   y.xz ，可求得 z  x  z  y  (2)利用公式 z  x    F x  F y z  y    F y  F z (3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易例 12、设 z   y.xz 由方程 e xy  z2  z e  0 ，求解法一、在方程两边对 x 求导，注意 z   y.xz z  x   xy  ye  z2  x   z e z  x   0 z  x    ye  e2  xy z 解法二、设   F z.y.x   e  xy  z2  z e z  x    F x  F z   ye  e2-  xy z

解法三、在方程两边微分   0 ed   z2d  ed   xy  z    xdy xy  z2  z e  0   ed   xy e  xyd dz2  z e dz  0 xy e    ydx   2dz  z e dz  0 即 dz  ∴ z  x   xy z xy  ye  e-2  ye  e-2 z dx  xy  xe  e-2 z dy z  y   xy  xe  e-2 z 例 13、设 z   y.xz 由方程 2 x  2 y  2 z  xf    y x    确定，其中 f 可微则 z  y   f 2y  2z 例 14、已知方程 x  z zln y 定义了 z   y.xz 2 z  ，求 2 x  解： x  zlnz  ylnz z  x   F x F z  1  lnz   lny 1   z  z x 1 x1  z （或方程两边对 x 求导，注意 z   y.xz ） z  在方程  x  x   z  z 两边对 x 求导， z   y.xz z 2 2  x   x   z  z  x     1  z  x     z  x  z    x   x  2    z 2    z   z x   x z   z 2 2  x     x 2 z  3 z

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