2009年四川高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年四川高考理科数学试题及答案第Ⅰ卷本试卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A B，互斥，那么球的表面积公式 S  2 4π R ( P A B  )  ) ( P A  ( P B ) 其中 R 表示球的半径如果事件 A B，相互独立，那么球的体积公式 V  3 4 π R 3 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 其中 R 表示球的半径一、选择题： 1. 设集合   S | x x   5 , T  Ａ. x  | 7 5     x  | x x Ｂ. 2  4 x   21 0 ,  则 S T  x | 3 x   5 Ｃ. x | 5    x  3 Ｄ. x | 7    x  5 ２.已知函数 ( ) f x x 2 x  ( 2 ) 当时 log a     2 4 ( x  当时）   2 x 2 x  在点 2 x  处连续，则常数 a 的值是Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５３.复数 2 (1 2 ) i  3 4 i  的值是Ａ.－１ 4.已知函数 ( ) f x  sin( x Ｂ.１  )( 2  Ｃ.－i Ｄ.i x R  ，下面结论错误．．的是 ) A.函数 ( ) f x 的最小正周期为 2 B.函数 ( ) f x 在区间 0,     2   上是增函数 C.函数 ( ) f x 的图像关于直线 0 x  对称 D.函数 ( ) f x 是奇函数

5. 如图，已知六棱锥 P ABCDEF  的底面是正六边形， PA  平面 ABC PA ,  2 AB ，则下列结论正确的是 A. PB AD B. 平面 PAB  平面 PBC C. 直线 BC ∥平面 PAE D. 直线 PD 与平面 ABC 所称的角为 45 6.已知 , a b c d 为实数，且 c , , d 。则“ a b ”是“ a c    ”的 b d A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线 2 x 2  2 2 y b  1( b  的左右焦点分别为 1 0) 2 ,F F ，其一条渐近线方程为 y x ，点 P ( 3, y 在该双曲线上，则 1 0 )   PF PF 2 = A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 8. 如图，在半径为 3 的球面上有 , ,A B C 三点，  ABC  90 ,  BA BC  ，球心 O 到平面 ABC 的距离是 3 2 2 ，则 B C、两点的球面距离是 A.  3 B. C. 4  3 D. 2 9. 已知直线 1 : 4 l x 3 y 6 0   和直线 2 : l x   ，抛物线 2 y 1 x 上一动点 P 到直线 1l 和 4 直线 2l 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. 11 5 D. 37 16 10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 11. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两

位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12. 已知函数 ( ) f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 ( xf x (1 1)    A.0 ) ( ) x f x 1 2 B. ，则 f ( f ( 5 2 )) 的值是 C.1 第Ⅱ卷 D. 5 2 考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 13. (2 x 14.若⊙  61 ) 2 x 1 : O x 2 的展开式的常数项是（用数字作答） 2 y  与⊙ 5 2 : ( O x m  ) 2  2 y  20( m R  相交于 A、B 两点，且两圆在点 ) A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 15. 如图，已知正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的各条棱长都相等， M 是侧棱 1CC 的中点，则异面直线 1AB BM和所成的角的大小是。 16 ．设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 : f V   ，记 a 的象为 ( ) V a V f a 。若映射 :f V , V 满足：对所有 ,a b V 及任意实数 ,都有 ( f      a ( ) f a b )   ( ) f b ，则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题： ①设 f 是平面 M 上的线性变换，则 (0) 0  f ②对 a V  , 设 ( ) f a 2 a ，则 f 是平面 M 上的线性变换； ③若 e 是平面 M 上的单位向量，对 a V ，设 ( ) f a   ，则 f 是平面 M 上的线性 a e 变换； ④设 f 是平面 M 上的线性变换， ,a b V ，若 ,a b 共线，则 ( ), f a f b 也共线。 ( ) 其中真命题是（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中， ,A B 为锐角，角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ，且 cos 2 A  3 5 ,sin B  10 10 （I）求 A B 的值；（II）若 a b  2 1  ，求 , ,a b c 的值。 18. （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中在省外游客中有 1 3 持金卡，在省内游客中有 2 3 持银卡。 3 4 是省外游客，其余是省内游客。（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求 的分布列及数学期望 E。 19（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， △ ABE 是等腰直角三角形， AB AE FA FE AEF   ,  ,   45 （I）求证： EF  平面 BCE ；（II）设线段CD 的中点为 P ，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得 PM / / 平面 BCE ？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（III）求二面角 F BD A  的大小。  20（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 x a  2 y b  1( a 程为 2 x  。   的左右焦点分别为 1 0) b ,F F ，离心率 2 e  2 2 ，右准线方（I）求椭圆的标准方程；（II）过点 1F 的直线l 与该椭圆交于 ,M N 两点，且 2   F M F N 2  2 26 3 ，求直线l 的方程。 21. （本小题满分 12 分）已知 0,  a 且 a 1 函数 ( ) f x  log (1 a  。 )x a （I）求函数 ( ) f x 的定义域，并判断 ( ) f x 的单调性；（II）若 n N  *, 求 lim n  a n a ( ) f n  a ; （III）当 a e （ e 为自然对数的底数）时，设 ( ) h x (1   e ( ) f x )( ( )h x 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 ( )h x 的极值。 2 x m   ，若函数 1) 22. （本小题满分 14 分）设数列  na 的前 n 项和为 nS ，对任意的正整数 n ，都有 a n 5 S n 1  成立，记 b n  4 1   a a n ( n N  * ) 。 n （I）求数列 nb 的通项公式；

（II）记  b 2 n  b 2 n 1( n N   * ) ，设数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求证：对任意正整数 c n 3 2 n ，都有 nT  ；（III）设数列 nb 的前 n 项和为 nR 。已知正实数满足：对任意正整数 , nn R n 恒成立，求的最小值。

数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。（13） -20 （14）4 （15）90 （16）①②④ 三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（Ⅰ） A 、 B 为锐角， sin B  10 10 ，  cos B  1 sin  2 B  3 10 10 又 cos 2 A 1 2sin   2 A  ， 3 5 A sin  ， 5 5 cos A  1 sin  2 A  2 5 5 ，  cos( A B  )  cos A cos B  sin sin A B  2 5 3 10 10 5   5 5  10 10  2 2  0 A B     A B     4 3  4 C  a sin 10 b   A 2 c …………………………………………6 分 , C sin  2 2 . b sin ，即  c sin C 2 b  B a 得， c  5 b （Ⅱ）由（Ⅰ）知由正弦定理 5 a  Q a b  2 1  ，  2 b b   2 1  ， 1b    a 2, c  5 ……………………………………12 分（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”，事件 1A 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡”，事件 2A 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡”。 ( P B )  ( P A 1 )  ( P A 2 )     1 21 1 1 C C C 6 9 3 C 36  2 21 1 C C 9 3 C 36 9 27 34 170 36 85 所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 36 85 。 …………………………………………………………6 分（Ⅱ）的可能取值为 0，1，2，3 P (  0)  3 C 3 3 C 9  1 84 , P (  1)  P (  2)  2 1 C C 6 3 3 C 9  ， 15 28 P (  3)  1 2 C C 6 3 3 C 9  3 14 3 C 6 3 C 9  ， 15 21 所以的分布列为  P 所以 0 E  0 1 84 1 84 1   3 14 2   1 3 14 15 28 3   5 21 2 15 28 3 5 21  ， ……………………12 分 2 （19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（ Ⅰ ）因为平面 ABEF ⊥ 平面 ABCD , BC  平面

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