2013年河南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2013 年河南高考理科数学真题及答案注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. （1）已知集合 A   xx 22  x  0 ， B   x  5  x 5 ，则（A） A B   I （B） A B  R U （C） B  A （D） BA  （2）若复数 z 满足 i43   z （A） 4 i34  4 5 （B）（C）4 （D） 4 5 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A）简单的随机抽样（B）按性别分层抽样（C）按学段分层抽样（D）系统抽样（4）已知双曲线C ： 2 2 x a  2 2 y b  (1 a  ,0 b  )0 的离心率为（A） y 1 4 x （B） y x （C） y 5 2 1 2 ，则C 的渐近线方程为 x （D） y  x 1 3 t （5）执行右面的程序框图，如果输入的  31 ， ，则输出的 s 属于（A） 43， （B） 25， （C） 34， （D） 52，

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（A）（C） 500π 3cm 1372π 3cm 3 3 （B）（D） 866π 3cm 2048π 3cm 3 3 （7）设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 mS 2 ， 0mS ， 1 mS 3 ，则 m （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A） 8π （B） 8π （C） π61 （D） 16π 16  8  16  8 

（9）设 m 为正整数， x  2  my 展开式的二项式系数的最大值为 a ， x   2  1 my 展开式的二项式系数的最大值为b ，若 13  ，则 m ＝ 7 b a （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 x （10）已知椭圆 E ： a 2 2  2 2 y b  (1 a  b )0 的右焦点为 )03( ,F ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A 、 B 两点。若 AB 的中点坐标为 )11( , ，则 E 的方程为（A） 2 x 45 2  y 36  1 （C） 2 x 27 2  y 18  1 （11）已知函数 )( xf     (ln  2 0 x，x  0 ＞x x 2 ),1   （B） 2 x 36 2  y 27  1 （D） 2 x 18 2  y 9  1 ，若 )( xf ax ，则 a 的取值范围是（A）   0， （B）   1， （C） 12， （D） 02， （12）设 n CBA △ n n 的三边长分别为 na , nb , nc ， 2a 1 ， a 1 n a n ， b n  1 n CBA △ n a c n n  2 n 的面积为 nS ， a  2  1 b n c n ， 3,2,1n …… n ，则   c 1 b 1 若 1b ＞ 1c ，（A） nS 为递减数列（B） nS 为递增数列（C） 1 2 nS 为递增数列， nS2 为递减数列

（D） 1 2 nS 为递减数列， nS2 为递增数列本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作第Ⅱ卷答。第 22 题~第 24 题为选考题，考生依据要求作答。二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13）已知两个单位向量 a ， b 的夹角为 60°， c  t a 1(  t ) b .若 cb  =0，则 t =____________. （ 14 ）若数列  na 的前 n 项和为 S n  2 3 na  1 3 ，则数列  na 的通项公式是 na =____________. （15）设当 θ x  时，函数 )( xf  sin x  2 cos x 取得最大值，则 cos =____________. （16）若函数 )( xf 1(  2 x )( x 2  ax  b ) 的图像关于直线 2x 对称，则 )(xf 的最大值为____________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分）如图，在 ABC△ 中， ABC ＝90°， 3AB ， 1BC ， P 为 ABC△ （Ⅰ）若 PBAtan . ＝90° 内一点， BPC 1PB 2 （Ⅱ）若 APB ＝150°，求，求 PA ；（18）（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC  11 CBA 1 中， CA  ， CB AB  1AA ， 1BAA =60°. （Ⅰ）证明 AB ⊥ CA1 ;

（Ⅱ）若平面 ABC ⊥平面 BBAA 11 ， AB  ，求直线 CA1 与平面 CB CCBB 1 1 所成角的正弦值。（19）（本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n .如果 3n ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 4n ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 1 2 ，且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望。（20）（本小题满分 12 分） ( 已知圆 M ： x  )1 2  2 y  1 ( ，圆 N ： x  )1 2  2 y  9 ，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于 A ， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 AB .

（21）（本小题满分 12 分）已知函数 )( xf  2 x  ax  b ， )( xg  x e ( cx  d ) 若曲线 y  )(xf 和曲线 y  )(xg 都过点 )2,0(P ，且在点 P 处有相同的切线 y  x 4  2 . （Ⅰ）求 a ，b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若 x  －2 时， )( xf  kg )( x ，求 k 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分. （22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B ，点C 在圆上，∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E ， DB 垂直 BE 交圆于 D . （Ⅰ）证明： DB  DC ；（Ⅱ）设圆的半径为 1， 3BC ，延长CE 交 AB 于点 F ，求 BCF△ 外接圆的半径.

（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知曲线 1C 的参数方程式 x y    cos 54 t  sin55 t  （t 为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为  sin2  . （Ⅰ）把 1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 1C 与 2C 交点的极坐标（ 0 , 0  π2 ）（24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲已知函数 )( xf  2 x 1  2 ax  ， )( xg  x 3 . （Ⅰ）当 2a 时，求不等式（Ⅱ）设 1a ，且当 x [ a  2  )( xg 的解集；时， )( xf  )( xg ，求 a 的取值范围. )( xf 1, 2 )

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