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电子工程数学方法期末试题-B.doc
四、计算下列积分。（共15分，每小题5分）
五、求解下列特征值问题，并写出相应的特征函数（共18分，每小题6分）
六、（15分）已知在二维空间中电位函数u满足拉普拉斯方程，求解下列定解问题：
解：
七、(16分)求解下列波动问题：
学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
电子科技大学 2015-2016 学年第 1 学期期 末 考试 B 卷
课程名称：电子工程数学方法 考试形式：闭卷 考试日期：201 年 月 日 考试时长：120 分钟
课程成绩构成：平时 60
%， 期中 0
%， 实验
0
%， 期末 40
%
本试卷试题由 7 部分构成，共 6 页。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十 合计
得分
得 分
一、判断题（共 10 分，共 10 小题，每题 1 分）
（1） 函数 ( )
f z
（2） 若函数 ( )
f z
e 的周期为 2i k。
)
( ,
iv x y
( ,
u x y
)
z
调和函数。
在区域 B 上是解析函数，则其实部 ( ,
u x y 和虚部 ( ,
)
（ √ ）
v x y 都是
（ √ ）
)
（3） 若一个复变函数可以在 0z 点及其邻域内展开成洛朗级数，则说明 0z 是该函数的奇点。
（4） lim z
e
z
成立。
（5） 若 ( )
f z 可以在区域 D 内展开成泰勒级数，则 ( )
f z 在区域 D 内解析。
（6） 若函数 ( )
f z
sin
z
，则
( )
f z dz
0
。
z
2
（ × ）
（ × ）
（ √ ）
（√ ）
（7） 若 1( )
f z 的收敛区间是
z
z
0
收敛区间是整个复平面。
， 2( )
R
1
f
z 的收敛区间是
z
z
0
，则
R
1
( )
f z
( )
f z f
1
2
( )
z
的
（ × ）
( × )
（ √ ）
（8） 应用达朗贝尔行波法对波动方程进行求解时，只能解决不含边界条件的定解问题。
（9） 定解问题解的适定性包括：解的存在性、唯一性和稳定性。
（10） 格林函数法可以用于求解无源空间中的场的定解问题。
（ √ ）
得 分
二、填空题（共 16 分，共 6 小题，每空 2 分）
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学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
（1） 已知复变函数 ( )
f z
（2） 已知
z Ln
，则 z=
2
( ,
u x y
2
ln
( ,
)
iv x y
i k
2
)
解析，则 ( ,
u x y 和 ( ,
v x y 是 共轭调和 函数。
)
)
。
（3） 幂级数
( )
f z
!(
n z
n
1
2
6) n
的收敛区域为 空
。
（4） 已知泊松方程满足
u
u
(
M
)
G r r
，满足该边界条件的格林函数为 ( ,
')
,则 u 的通解可以
表
u
1
4
T
,
G r r
dv
'
1
4
(
M
)
示
,
G r r
n
'
ds
（5） 已 知 无 限 一 维 空 间 中 波 动 方 程 的 定 解 问 题
u
tt
u
u
t
1
2
sin
x at
sin
x at
1
2
a
x at
2
x at
2
的分量为
量为
1
2
1
2
sin
x at
sin
x at
1
2
a
1
2
a
x at
2
x at
2
。
为
。
， 则 u 的 解 为
t
2
0
a u
xx
sin
x
2
x
0
t
0
，其中沿 x 方向传播的波
，沿-x 方向传播的波的分
（6） z 为函数 ( )
f z
z
e 的 本性 奇点。
三、将函数下列在指定区域上作级数展开。 （共 10 分，每小题 5 分）
得 分
（1）
( )
f z
2
sin
z
， z ；
（2）
( )
f z
1
5
2
z
， 2
z
；
3
6
解：
( )
f z
1 cos2
z
1
2
解：
( )
f z
z
1
3
z
3
1
2
z
1
3
n
0
n
z
3
1
z
n
0
n
2
z
n
z
3
n
2
2
n
z
1
2
z
n
0
cos2
z
n
0
2
n
n
1
2 !
n
2
z
( )
f z
1
2
1
2
0
n
2
n
n
1
2
2 !
n
z
1
1
z
z
z
1 1
3
1
3
2
1 1
z
1
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( )
f z
学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
得 分
四、计算下列积分。（共 15 分，每小题 5 分）
I
（1） 1
z
e
1)(
z
2
3)
d
z
；
2
z
(
z
I
（2） 2
0
cos d
x
1
x
2
x
z
2
解: 上半平面的奇点:
z 1
i
Re
sf
)(
i
(
z
i
)
iz
e
zi
i
z
lim
z
i
1
e
2
i
I
2
1
ei
2
i
2
e
解: 奇点
1 z
0
(二阶);
z
2
1
(一阶)
Re
sf
)0(
d
dz
2
z
e
1
z
z
z
2
3
2
z
lim
0
z
2
27
Re
sf
)1(
lim
0
z
(
z
)1
e
1
z
z
z
2
3
2
z
z
e
4
2
27
ze
4
i
I
1
2
（3）
I
2
2
x
4
x
16
d
x
解：奇点
z
ie
2
k
21
4
，
3,2,1,0k
其中位于上半平面的奇点为：
4
ie
2
z
1
，
z
2
3
4
ie
2
Re
sf
2(
e
i
4
)
lim
0
z
(
z
2
e
i
4
)
2
z
4
z
16
2
4
Re
sf
2(
e
i
3
4
)
lim
0
z
(
i
8
12
z
2
e
i
3
4
)
2
z
4
z
16
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学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
I
3
i
2
3
i
4
得 分
五、求解下列特征值问题，并写出相应的特征函数（共 18 分，每小题 6 分）
0
( ) 0
f x
0
0
（1）
x
''( )
x
f
( )
f x
( )
f x
n
x l
2
2
2
sin
)(
xf
n
（2）
''( )
x
f
'( )
x
f
'( )
x
f
n
)(
xf
( ) 0
f x
0
0
x
0
x l
2
2
2
A
cos
n
0
x
l
0
x
l
0
x
l
( ) 0
f x
0
0
0
x l
（3）
''( )
x
f
( )
f x
x
'( )
x
f
1(
2
2)
n
2
2
1(
2
n
)(
xf
sin
)
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学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
得 分
六、（15 分）已知在二维空间中电位函数 u 满足拉普拉斯方程，求解下列定解问题：
u
u
u
u
y b
y
x
0
0
解：
0
u
u
1
0
x a
0
(
u
1
)
为常数
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学院
姓名
学号
任课老师
考场教室__________选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
得 分
七、(16 分)求解下列波动问题：
2
a u
xx
0,
0
0,
u
tt
u
u
|
x x
|
t
0
cos
|
u
x x
|
u
t
0
t
sin
0;
t
0
x
0
x
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