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2009年山东高考文科数学试题及答案.doc
2009 年山东高考文科数学试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后,
将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类
填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;
如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
参考公式：
柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式 V=
1
3
Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 集合
A
0,2,
a
,
B
21,
a
,若
A B
0,1,2,4,16
,则 a 的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】:∵
A
0,2,
a
,
B
21,
a
,
A B
0,1,2,4,16
∴
2
a
a
16
4
∴ 4
a ,故选 D.
答案:D
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,
本题属于容易题.
2. 复数
A．
等于（
3
i
1
i
i21
）
B.1 2i
C. 2 i
D. 2 i
3
1
i
i
(3
(1
)(1
i
)(1
i
)
i
)
i
3 2
i
2
1
i
2
i
4 2
i
2
2
i
,故选 C.
【解析】:
答案:C
【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母
变为实数，将除法转变为乘法进行运算.
4
3. 将函数 sin 2
的图象向左平移
y
x
个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解
析式是(
)
A.
y
2cos
2
x
B.
y
2sin
2
x
C.
y
1
sin(
2
x
)
4
【 解 析 】 : 将 函 数
y
sin 2
x
的 图 象 向 左 平 移
个 单 位 , 得 到 函 数
y
sin 2(
x
4
D.
y
cos 2
x
即
)
4
sin(2
x
)
2
1 cos 2
x
y
为
y
答案:A
cos 2
x
的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式
2cos
2
x
,故选 A.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析
式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
).
A. 2
2 3
B. 4
2 3
C.
2
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆
柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2,四棱锥的底面
2 3
3
2
D.
4
2 3
3
2
边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为
1
3
2
2
3
2 3
3
2
所以该几何体的体积为
2
2 3
3
.
答案:C
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.
俯视图
5.在 R 上定义运算⊙: a ⊙
b
ab
2
ba
,则满足 x ⊙
( x
)2
<0 的实数 x 的取值范围为
(
).
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.
(
)2,
,1(
)
D.(-1,2)
【 解 析 】 : 根 据 定 义 x ⊙
(
x
)2
(
xx
2)2
x
(
x
)2
2
x
2
x
0
, 解 得
2
x
1
,所以所求的实数 x 的取值范围为(-2,1),故选 B.
答案:B.
【命题立意】:本题为定义新运算型,正确理解新定义是解决问题的关键,译出条件再解一元
二次不等式.
6. 函数
y
x
x
e
e
x
x
e
e
y
1
O
1
A
的图像大致为(
).
y
1
y
1
x
O
1
x
O 1
x
B
C
y
1
O
1
x
D
【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使
x
e
x
e
, 其 定 义 域 为
0
| xx
0
, 排 除 C,D, 又 因 为
y
x
x
e
e
x
x
e
e
2
x
2
x
e
e
1
1
1
2
x
1
2
e
,所以当 0
x 时函数为减函数,故选 A
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点
在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
7. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=
log 2
(
xf
4(
x
)1
),
(
xf
0
x
0
x
),2
，则 f（3）的值为
(
)
A.-1
B. -2
C.1
D. 2
【解析】:由已知得
( 1)
f
log 5
2
,
f
(0)
log 4
2
2
,
f
(1)
f
(0)
f
( 1)
2 log 5
2
,
f
(2)
f
(1)
f
(0)
log 5
2
,
f
(3)
f
(2)
f
(1)
2
log 5 (2 log 5)
,故选 B.
2
2
答案:B
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程..
8.设 P 是△ABC 所在平面内的一点，
，则（
BC BA
2
BP
PC PA
0
C.
0
D.
）
PA PB PC
B
0
PA PB
A.
0
B.
BC BA
PB PC
2
BP
答案：C
【解析】:因为
，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应该选 C。
A
P
第 8 题图
C
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答。
9. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“ ”是“ m ”
的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α内的一条直线, m ,则 ,
反过来则不一定.所以“ ”是“ m ”的必要不充分条件
答案:B.
【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.
10. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 2
y
(
ax a
的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O
0)
为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为(
)
A. 2
y
4
x
B. 2
y
8
x
C.
2
y
4
x
D.
2
y
8
x
【解析】: 抛物线 2
y
它与 y 轴的交点为 A (0,
(
ax a
a
2
)
0)
a
的焦点 F 坐标为 (
,0)
4
1 |
a
2 4
,所以△OAF 的面积为
|
y
,则直线l 的方程为 2(
a
|
2
| 4
,解得
8
a .所以抛物线
x
a
4
)
,
方程为 2
y
8
x
,故选 B
答案:B.
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面
积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而
引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做
到合二为一.
11.在区间[
A.
1
3
,
B.
]
上随机取一个数 x， cos x 的值介于 0 到
2 2
2
]
2 2
x
上随机取一个数 x,即 [
，区间长度为
或
1
2
2
3
D.
C.
x
,
3
3
x
2
【解析】:在区间[
1
2
之间,需使
2
到
1
2
之间的概率为
答案:A
3
1
3
.故选 A
1
2
之间的概率为(
).
,
时,要使 cos x 的值介于 0 到
]
2 2
，由几何概型知 cos x 的值介于 0
3
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函
数值 cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.
12. 已知定义在 R 上的奇函数
)(xf ，满足 (
f x
4)
( )
f x
,且在区间[0,2]上是增函数,
则(
).
A. ( 25)
f
f
(11)
f
(80)
B.
f
(80)
f
(11)
f
( 25)
C.
f
(11)
f
(80)
f
( 25)
D.
f
( 25)
f
(80)
f
(11)
【解析】:因为 )(xf 满足 (
f x
4)
( )
f x
,所以 (
f x
8)
( )
f x
,所以函数是以 8 为周期
的周期函数, 则
f
(
)25
f
)1(
,
f
)80(
f
)0(
,
f
)11(
f
)3(
,又因为
)(xf 在 R 上是奇
函数， (0) 0
,得
f
f
)80(
f
)0(
0
,
f
(
)25
f
)1(
f
)1(
,而由 (
f x
4)
( )
f x
得
f
)11(
f
)3(
f
)3(
f
)41(
f
)1(
,又因为
)(xf 在区间[0,2]上是增函数,所
以
f
)1(
f
)0(
0
,所以
f
)1(
0
,即 ( 25)
f
f
(80)
f
(11)
,故选 D.
y
f(x)=m (m>0)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想
和数形结合的思想解答问题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
13.在等差数列 }{ na 中,
a
3
,7
a
5
a
2
6
,则
6 a
__________
__
.
【解析】:设等差数列 }{ na 的公差为 d ,则由已知得
a
1
2
a
1
4
d
d
a
1
7
d
a
解得 1
d
3
2
6
,所
a
以 6
1 5
a
d
13
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14.若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是
.
【解析】: 设函数
y
x
(
a a
且 1}
a 和函数 y
0,
,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且
x a
a 1)有两个零点, 就是函数
y
x
(
a a
且 1}
a 与函数 y
0,
有两个交点,由图象
x a
可知当
0
a 时两函数只有一个交点,不符合,当 1a 时,因为函数
1
y
x
(
a a
的图象
1)
过点(0,1),而直线 y
所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.
x a
所以实数 a 的取值范围是
|{
aa
}1
答案:
|{
aa
}1
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考
查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
15.执行右边的程序框图，输出的 T=
.
【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30
答案:30
【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以
反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,
注意每个变量的运行结果和执行情况.
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
否
S=S+5
n=n+2
T=T+n
是
输出 T
结束
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B
类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费
为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140
件,所需租赁费最少为__________元.
【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 y 天, 该公司所需租赁费为 z 元,
则 200
z
x
300
y
，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品
A 类产品
B 类产品
租赁费
设备
(件)(≥50)
(件)(≥
(元)
甲设备
乙设备
5
6
140)
10
20
200
300
则满足的关系为
50
6
5
x
y
10
20
140
y
x
0,
0
y
x
即:
x
x
x
y
10
6
5
14
2
y
0,
0
y
,
作出不等式表示的平面区域,当 200
z
x
300
y
对应的直线过两直线
x
x
6
5
2
y
10
y
14
的交点
(4,5)时，目标函数 200
z
x
300
y
取得最低为 2300 元.
答案:2300
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关
系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。
17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2
sin
x
cos
2
2
cos
x
sin
sin
x
0(
)
在 x
处取最小值.
(1) 求的值;
(2) 在 ABC 中,
cba ,
, 分别是角 A,B,C 的对边,已知
a
b
,1
,2
(
Af
)
3
2
,求角 C.
解:
（1）
( )
f x
2sin
x
sin
x
1 cos
2
x
sin cos
cos sin
x
sin
x
cos sin
x
sin
x
sin cos
x
cos sin
x
sin(
)
x
因为函数 f(x)在 x
处取最小值，
所以sin(
)
1
,
由诱导公式知sin
1 ,
因为 0 ,所以
（2）由（1）知 ( )
f x
sin(
x
.
2
)
2
cos
x
因为
(
)
f A
cos
A
3
2
,
且 A 为 ABC 的内角,所以
A
6
.
又因为
a
b
,1
,2
所以由正弦定理,得
a
sin
A
b
sin
B
,
也就是
sin
B
b
因为b
a ,所以
2
2
,
B
sin
a
或
A
2
B
1
2
3
4
4
7
12
6
12
6
C
4
3
4
12
.
;
.
当
B
当
B
4
3
4
时,
C
时,
C
7
12
综上所述，
C
或
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数
的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
18.（本小题满分 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
AA 1 =2,
E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点
（Ⅰ）设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
（Ⅱ）证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
（Ⅰ）证明：
D1
D
E
F
A1
E1
A
C1
C
B1
B
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