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2021数学建模A题论文.pdf

发布时间：2022-06-03 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：1.99M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    基于 RGB 颜色空间的瓷砖选色问题研究与生产策略设计 摘 要 近年来，随着大众审美观念的改变、品位格调的提高，无论是在公共场合还 是私密空间的装修设计中，马赛克瓷砖拼接图像的设计与广泛应用已经成为了一 种时尚潮流与装修设计市场中的发展趋势。而随着马赛克瓷砖热度的与日俱增， 对瓷砖生产厂家也提出了更高的产业要求——如何快速高效地为设计图像匹配 颜色相近的瓷砖，；在研发新颜色时，如何设计生产策略，使得投入生产后能够 做到低成本，高回报等等问题。本文为帮助瓷砖生产厂家解决上述问题，建立了 “颜色匹配模型”与“‘新颜色研发’问题的优化模型”，研究了瓷砖的选色问 题，并提供了新的颜色研发方案。 针对问题一，我们首先引入了色差这一概念来表示不同颜色之间的相似度，并 且将颜色对象坐标化，利用欧式距离公式，求得两点之间的距离值，并将此值赋 予色差，通过计算得到色差值的大小来表示不同颜色之间的相似程度。并且，我 们首先选择了 RGB 空间、HSV 空间和 Lab 空间三种颜色空间，对三种不同颜色空 间的特性进行了阐释，并且三种空间中均建立了各自的颜色匹配模型。之后，我 们对三种空间以及各自所建立的模型进行评估比较，最终选定使用 Lab 空间模型 以及根据该模型建立的颜色匹配模型，并在求解过程中进行简化运算，最终求得 与附件 2、3 中 216 种颜色和 200 种颜色最接近的颜色，以及 RGB 编码值。 针对问题二，由于只考虑表现力效果，我们首先对附件 2、3 中的 216 种颜色 与 200 种颜色和已有的 22 种进行了统计与可视化处理，得出它们的颜色空间分 布图，以此为基础选定需求侧与供给侧的分析入手角度，确定了表现力评估标准 ——“在添加颜色后，新的颜色集在空间中的分布更加均匀”。根据上述条件， 建立起以新增颜色的种类和数量为决策变量，图像表现力为目标函数的单一目标 优化模型。之后再根据迭代思想，利用贪心算法，求得不同新增颜色目标个数所 对应的最优解。 针对问题三，在本题中，除却考虑拼接图像的表现外，研发成本也成为了在 优化问题中的一个重要考虑对象。针对表现力问题，我们考虑了新聚类中心在空 间中的分布，并且利用了 FCM 思想，给定了表现力函数；而成本问题，由于研发 任意一中新颜色的成本相同，且与颜色本身无关，因此我们把研发成本与颜色数 量认定为线性关系，并建立其成本函数。据以上所述，我们建立起以增加数目为 变化的决策变量，以表现力函数和成本函数共同为目标函数的多目标优化模型， 并利用了非支配排序算法与模拟退火算法，对模型进行求解。 关键词：颜色空间；色差；单目标优化；均匀分布；贪心算法； 多目标优化；非支配排序算法；模拟退火算法 1
    1. 问题重述 1.1 问题的背景 在过去的几十年里，随着我国国民经济的飞速发展，人民生活水平的不断提 高，大众对于生活，已经不在仅仅局限于温饱与生存，而是开始追求有品位、高 质量的生活方式，正因如此，装修与设计行业近来一直炙手可热。而近年来，马 赛克瓷砖的使用更是成为了潮流与趋势。然而，受工艺与成本的限制，瓷砖颜色 的种类有限，因此，在拼接时需要找出颜色相近的瓷砖才能进行拼接。目前，产 品表面颜色差异的主要有人工来玩会场，这既限制了成本的降低，也有检测速度 慢、劳动强度大、主观因素对结果影响较大，准确性偏低等缺陷。因此，设计并 实现确定原始颜色与瓷砖颜色对应关系的算法，进行相关颜色匹配，不仅是大大 提高选色工作效率的关键问题，更对厂家后续进行生产策略的设计有极大帮助。 1.2 问题的重述 问题一：根据已给出的图像一、二的 RGB 编码与现有瓷砖颜色的 RGB 编码， 建立数学模型，在建立的数学模型基础上，找出与图像一、二中每种颜色最接近 的瓷砖颜色，并将选出的瓷砖颜色的编号进行输出并保存。（图像一的颜色选色 结果保存在 result1.txt 中，图像二的颜色选色结果保存在 result2.txt 中） 问题二：该砖厂进行技术革新，计划研发新颜色的瓷砖。本题中，对研发的 难度不予以考虑，只将拼接图像的表现力作为唯一评估对象，进行生产策略分析 设计，建立最优化模型，确定应该优先增加的瓷砖颜色。并且在分别增加 1 种颜 色、增加 2 种颜色、......、增加 10 种颜色时，分别给出对应颜色的 RGB 编码 值。 问题三：在研发新颜色时，如果研发一种新颜色瓷砖的成本是相同的，而与 颜色本身本无关系，那么综合考虑研发成本和和表现效果两个方面，给出最优生 产策略，即建议新增哪几种颜色，说明理由并给出对应的 RGB 编码值。 2. 问题分析 问题一：根据已给出的三组 RGB 颜色编码建立数学模型，来反应不同颜色之间的 相似度。目前，有关不同颜色之间差别主要通过色差这一概念来表示，但是由于 颜色空间的多样性以及其各自存在的局限性，在不同空间下，不同方式所得出的 色差能够反应颜色差别的程度截然不同。因此本题难点在于需要建立匹配模型， 模型不仅能直观准确地反映出不同颜色的相似度，同时模型本身的局限性对结果 造成的影响较小。针对此问题，拟在 RGB 空间、HSV 空间、LAB 空间以及欧式空 间距离的基础上建立数学模型。 问题二：在问题一中，给出了图像一、二各自包含的所有颜色，分别有 216 种与 200 种，同时也能看到现有的瓷砖颜色只有 22 种，所以可以知道在装修设计中 2
    所需要的的颜色种类要比我们瓷砖的颜色种类多，所以需要开发新颜色，更便于 寻找匹配颜色，增加图形表现力。本题中，我们只考虑拼接图像的表现力，所以 从本质上讲，问题二是将拼接图像的表现力作为优化目标的优化问题。因此我们 将瓷砖颜色作为决策变量，拼接图像的表现力作为优化目标，从需求侧与供给侧 两方面入手选定合理评价标准，建立优化模型。并利用贪心算法，求出增加新颜 色的目标个数不同时，根据评价标准所得到的最优解 问题三：本题将瓷砖的研发成本与拼接图像的表现力作为棕合考虑的对象，也就 是本题与第二问相比，由一个单目标优化问题转变为了多目标寻优问题。因为每 种新颜色瓷砖的研发成本是相同的，与颜色本身无关，那么可根据新增的瓷砖颜 色数来对研发成本进行表示。再从需求侧与供给侧两方面入手选定合理的表现力 评价标准，以新增颜色个数为决策变量，研发成本函数与表现力函数作为目标函 数，建立多目标寻优模型。并对模型进行求解，得到最优解。 3. 模型假设 （1）原始图样为 24 位真彩色格式，即 R、G、B 三个颜色分量均为 8 位 （2）不考虑观测误差、随机误差与离散化所产生的误差 （3）不考虑简化运算时进行数据近似时所产生的微小误差 （4）只考虑决策变量的影响，忽略环境等客观不可抗力因素对结果造成的影响 （5）原始数据均为准确数据，不存在错误测量情况。 , ∆E p q 4. 符号说明 颜色空间中的任意颜色 i,j 颜色 i 的 R 值、G 值、B 值 颜色 j 的 R 值、G 值、B 值 颜色之间的色差值 聚类中心 其他点 3
    c N 聚类中心总数 其他点总数 5. 模型的建立与求解 5.1 问题一：瓷砖颜色的匹配模型的建立与求解 为了求得图像中的一种颜色在现有颜色中的最佳匹配色，我们引入色差这 一概念来对不同颜色之间的相似度进行量化，用色差这一变量的大小对相似程度 进行阐述。色差越大，相似度越低，匹配度越低；色差越小，相似度越高，匹配 度越高。我们将图像中每种颜色与现有瓷砖的 22 种颜色进行对比，通过枚举法 一一计算它们在正交三维映射颜色空间中的欧几里得距离（色差值），并且比较 了在 RGB,HSV,LAB 三种颜色空间模型下，比较相应色差度量公式的科学性与合理 性，最终选定 LAB 空间模型，并数据转换进行了简化运算处理，建立筛选模型， 筛选出与图像中每种颜色色差值最小的现有颜色，并对相应颜色编号进行输出保 存。 5.1.1 RGB 空间下的色差度量模型的建立与评估 RGB 颜色空间是以 R(Red:红)、G(Green:绿)、B(Blue:蓝)三种基本色为 基础，进行不同程度的叠加，产生丰富而广泛的颜色，俗称三基色模式。从图像 处理而言，RGB 是最为重要和常见的颜色模型，它建立在笛卡尔坐标系中，用一 个单位长度的立方体来表示颜色黑蓝绿青红紫黄白 8 种常见颜色分别位居立方 体的 8 个顶点，通常将黑色置于三维直角坐标系的原点，红绿蓝分别置于 3 根坐 标轴土，整个立方体放在第 1 卦限内。如下图所示。 4
    那么，我们通过引入空间中的欧几里得距离（即在颜色空间中，两个颜色 点之间的空间距离）来表示两种不同颜色的色差值。 已知，任意两种颜色 xi(Ri,Gi,Bi)与 yj(Rj,Gj,Bj),则我们可以建立 xi 与 yi 之 间的色差度量公式 ∆E=D(xi,yj)= (Ri−Rj)2+(Gi−Gj)2+(Bi−Bj)2 我们通过分析 (1) 式，可以显然得出，直接通过两点之间的空间距离来表 (1) 示色差值的情况下，该种方法直接默认了 RGB 颜色空间为一个均匀颜色空间（均 匀空间为 RGB 色差公式成立的前提条件），即每个颜色的等色差颜色，应在 RGB 颜色空间中成一个球面；且不同位置的等色差颜色对应该表现出相同的差异。 我们通过观察上图可知，RGB 颜色空间并不满足上述条件，也就是说用 RGB 比较颜色之间的相似度时，往往一个基本颜色通道的一点改变,会导致最后融合 在一起的颜色发生巨大变化,而如果三个通道的同时改变,却只会使最后的明暗 发生变化,色调并不会产生巨大变化.，对最终结果造成较大的影响，算法存在较 大的漏洞，我们不予选择。 要知道，我们对于颜色的判断以及辨别不同颜色之间的差别，是通过人眼 视觉系统对对象特征的抓取，然后转化成为神经冲动经神经元将冲动传输至大 脑，再在大脑中完成电传递到化学传递的转别，最后形成意识的过程。而对对象 特征的抓取则是由于人眼对不同特征的反应程度不同，也就是说人眼对不同特 征，不同表象具有不同的敏感度，对不同颜色更是如此。 因此，可提出采取加权的方式来解决 RGB 颜色空间不够均匀的问题。而加 权的思想则来源于根据人眼对红、绿、蓝三原色敏感程度的不同来定义权值，调 整基础的 RGB 空间，部分补偿其非均匀性。 (2) 可以取（3,4,2） 在此，提出基于 RGB 空间的 RGB 加权色差公式 ∆E=D(xi,yj)= wR(Ri−Rj)2+wG(Gi−Gj)2+wG(Bi−Bj)2 wRwGwB 为赋予 R、G、B 三通道的不同权，通常情况下权重（wR,wG,wB） 问题：①权重（wR,wG,wB）的选取，并没有严谨的，针对不同情况下各异的 选取标准，只是去了一个通常值，特征数量过少，在某些情况下会造成∆E 过小， 颜色难以区分的问题；②如果三个通道的同时改变,可能只会使最后的明暗发生 而针对（2）公式，虽然弥补了 RGB 空间的非均匀性，但具有以下两个主要 变化,色调并不会产生巨大变化.，对最终结果造成较大的影响。 5
    加权公式虽然弥补了部分问题，但整体上看算法仍存在较大的问题，不予 以考虑。 我们认为 RGB 颜色空间模型，并不适合本题的求解。 5.1.2 HSV 空间下的色差度量模型的建立与评估 HSV 是个六棱锥模型,这个模型中颜色的参数分别是：色调（H），饱和度（S）， 明度（V）。 色调 H:用角度度量，取值范围为 0°～360°，从红色开始按逆时针方向计算， 红色为 0°，绿色为 120°,蓝色为 240°。它们的补色是：黄色为 60°，青色为 180°,品红为 300°； 饱和度 S:饱和度 S 表示颜色接近光谱色的程度。一种颜色，可以看成是某种 光谱色与白色混合的结果。其中光谱色所占的比例愈大，颜色接近光谱色的程度 就愈高，颜色的饱和度也就愈高。饱和度高，颜色则深而艳。光谱色的白光成分 为 0，饱和度达到最高。通常取值范围为 0%～100%，值越大，颜色越饱和。 明度 V:明度表示颜色明亮的程度，对于光源色，明度值与发光体的光亮度有 关；对于物体色，此值和物体的透射比或反射比有关。通常取值范围为 0%（黑） 到 100%（白）。 其中 V 对应的是棱锥的中间轴,H 对应的是角度,S 对应的是距离中间轴的距离. 根据对上述参数的描述，我们利用 Python 绘制出简单的 HSV 颜色空间模型， 如下图所示（详细代码见附录） 6
    根据上图以及三个参数 V,S,H 所代表的不同含义，我们可以得到 RGB 模型 与 HSV 模型之间的转化关系 根据上述关系，对数据进行坐标化处理，可以得到如下关系： 在斜边长 R，底面圆半径为 r，高为 h 的 HSV 圆锥体内，以地面圆心为原点， H=0 为 x 轴正方向建立坐标轴。那么色值是(H,S,V)的点的三维坐标(x,y,z) 是 x = r*V*S*cosH y = r*V*S*sinH z = h*(1−V) 之后，在根据转化后的坐标，利用欧式距离公式，计算出不同颜色之间的色 差值。 但 HSV 空间计算距离时,存在一定的问题,比如,在接近顶点的地方,基本都 接近黑色,不管 H 色调怎么改变,而在底面的中心或者 S 饱和度接近 0 时,基本都 接近灰色,不管 H 色调怎么改变,而在饱和度 S 较大,且 V 亮度较大时,H 色调的一 点改变往往会让整体的颜色产生巨大变化,所以,用 HSV 计算距离时往往还存在 某些问题. 与 RGB 空间模型相同，我们认为 HSV 颜色空间模型，并不适合本题的求解。 7
    5.1.3 Lab 空间下的色差度量模型的建立与评估 Lab 颜色空间是基于人眼对颜色的感知，可以表示人眼所能感受到的所有颜 色。 Lab 颜色模型由三个要素组成，一个要素是亮度（L），a 和 b 是两个颜色 通道。L 的取值范围 i 为 0~100，a 分量代表由绿色到红色的光谱变化，而 b 分 量代表由蓝色到黄色的光谱变化，且 a 和 b 分量的取值范围均为-120~120。a 包括的颜色是从深绿色（低亮度值）到灰色（中亮度值）再到亮粉红色（高亮度 值）；b 是从亮蓝色（低亮度值）到灰色（中亮度值）再到黄色（高亮度值）。 这是一种与设备无关的颜色系统，也是一种基于生理特征的颜色系统，即用数字 化的方法来描述人的视觉感应。 Lab 颜色空间，不同于 RGB 空间，它是一个均匀的视觉空间，在 Lab 颜色 空间中的两个点之间的距离能够表现为色差，与人眼视觉系统的感觉是一致的。 因此，Lab 颜色空间在彩色图像分析中是很有效的。 本文中首先将 RGB 转换到 CIEXYZ 颜色空间，再转化为 Lab 颜色空间，如 下图所示。 RGB 模型与 CIEXYZ 模型存在如下关系： CIEXYZ 模型转换为 Lab 模型的公式为： 8
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