2020上海考研数学二真题及答案
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1) 当 x 0 时,下列无穷小量中最高阶是(
(A) xet 2 1dt
sin xsin t 2dt
(B) x ln1 t 2 dt
sin t 2 dt
(D)
(C)
1cos x
)
0
0
0
0
【答案】(D)
【解析】由于选项都是变限积分,所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
2
ex 1 x2
0
(A) xet 2 1dt
(B) x ln1 t 2 dt
0
ln1 x2 x
(C) (
sin x sin t 2dt
C
)
0
sinsin2 x x2
(D)
1cos x
0
sint 2
dt
sin(1 cos x)2
sin x
1 x3
2
经比较,选(D)
(2) 函数 f (x)
1
ex1 ln 1 x
(ex 1)(x 2)
的第二类间断点的个数为
( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】(C)
【解析】由题设,函数的可能间断点有 x 1, 0,1, 2 ,由此
1
ex1 ln 1 x
1
e 2
lim f (x) lim
x1
x1 (ex 1)(x 2)
1
lim f (x) lim
x0
ex1 ln 1 x
x0 (ex 1)(x 2)
lim ln 1 x ;
3(e1 1) x1
e1
lim ln(1 x) 1 ;
2e
x
2 x0
1
ex1 ln 1 x
lim f (x) lim
x1
x1 (ex 1)(x 2)
ln 2
1 e x1
1
lim ex1 0;
;
1
ex1 ln 1 x
lim
x1 (ex 1)(x 2)
1
lim ex1 ;
ln 2
1 e x1
lim f (x) lim
x2
x2 (ex
1ex1 ln 1 x
1)(x 2)
eln 3
(e 1)
2
1
x 2
lim
x2
故函数的第二类间断点(无穷间断点)有 3 个,故选项(C)正确。
(3) (3)
1 arcsin
0
x 1 x
x dx (
)
(A)
2
4
(B)
2
8
【答案】(A)
(C)
4
(D)
8
x
【解析】令 sin t ,则 x sin2 t , dx 2 sin t cos tdt
1 arcsin
2
2sin t costdt 2 2tdt t2 2
4
x dx 2
0 sin t cos t
t
0
0
x1 x
0
(4) f x x2 ln 1 x, n 3 时, f n 0
n 2!
(A) n!
n 2
(B)
n!
n 2
(C)
n
(D)
n 2!
n
【答案】(A)
xn
【解析】由泰勒展开式, ln(1 x)
n
n1
故 f (n) (0)
n! .
n 2
2
,则 x ln(1 x)
xn2
n
n1
n3
xn
n 2
,
xy, xy 0
(5)关于函数 f x, y x,
y 0
y,
x 0
给出以下结论
①
f
x
0,0 1 ②
f
xy
0,0 1 ③ lim
x, y0,0
f ( x, y) 0 ④lim lim f ( x, y) 0
y0 x0
正确的个数是
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
【答案】(B)
【解析】
f
x 0,0 lim
x0
f x,0 f 0,0
x 0
lim
x0
x 0
x
1,①正确
f
xy 0,0
lim
y0
f
f
x 0, y x 0, 0 lim
f
x 0, y 1
,
y 0
y0
y
而
lim
x0
f x, y f 0, y lim xy y lim x 1 y 不存在,所以②错误;
f
x 0, y
xy 0 x y , x 0 x , y 0 y , 从而x, y 0,0 时, lim
f ( x, y) 0 ,
x 0
x0
x
x0
x
x,y0,0
③正确。
lim f x, y
y ,
x0
x 0
y0 x0
0, xy 0或y 0
, 从而limlim f ( x, y) 0 ,④正确
(6)设函数 f (x) 在区间[2, 2] 上可导,且 f '(x) f (x) 0 .则
(A)
f (2) 1
f (1)
(B)
f (0) e
f (1)
(C)
f (1)
f (1)
e2
(D)
f (2)
f (1)
e3
【答案】(B)
【解析】构造辅助函数 F(x)
f (x)
ex
,由 F '(x)
f '(x)ex f (x)ex
e2 x
意可知, F '(x) 0 ,从而 F(x)
f (x)
ex
单调递增.故 F(0) F(1) ,也即
又有 f (x) 0 ,从而
f (0)
f (1)
e .故选(B).
f '(x) f (x)
ex
f (0)
e0
,由题
f (1)
e1
,
(7) 设 4 阶矩阵 A aij 不可逆,a12 的代数余子式 A12 0,1,2,3,4 为矩阵 A 的列向
量组, A* 为 A 的伴随矩阵,则 A*x 0 的通解为( )
(A) x k11 k22 k33 ,其中k1,k2,k3 为任意常数
(B) x k11 k22 k34 ,其中k1,k2,k3 为任意常数
(C) x k11 k23 k34 ,其中k1,k2,k3 为任意常数
(D) x k12 k23 k34 ,其中k1,k2,k3 为任意常数
【答案】(C)
【解析】由于A 不可逆, 故r A 4 , A 0.由 A12 0 r A* 1,r A 4 1 3 ,
则 r A 3 , r A* 1,故 A*x 0 的基础解系中有4 1 3 个无关解向量。
此外, A*A A E 0 ,则 A 的列向量为 A*x 0 的解。则由 A 0 ,可知,, 线性
12
1
3
4
无关(向量组无关,则其延伸组无关),故 A*x 0 的通解为 x k k k ,即选
1 1
2
3
3 4
项(C)正确。
(8) 设 A 为 3 阶矩阵,1,2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量,3 为 A 的属
于特征值 1的特征向量,则 P1AP 0 1 0 的可逆矩阵 P 为( )
1
0
0
0
0
1
(A)1 3,2,3
(C)1 3,3,2
【答案】(D)
(B)1 2,2,3
(D)1 2,3,2
【解析】设 P (,
2
1
3
,) ,若 P1AP 0 1 0 ,则, 应为 A 的属于特征值 1
1
0
0
0
0
1
1
3
的线性无关的特征向量, 2 应为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量。
这里根据题设,1,2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量,则1 2 也为
A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因3 为 A 的属于1的特征向量,则3 也
为 A 的属于特征值1的特征向量。且
0
0
1
( , ,) (,,) 1
3
1
2
3
1
2
2
0
1
0
1 可逆,
1,由于1
0 1 0
0 1 0
0
0
故r(1 2 , 3 ,2 ) r(1,2,3) 3,即1 2, 3,2线性无关
0
综上,若 P (,,) ( , , ) ,则 P1AP 0 1 0 .
1
1
0
0
0
1
2
3
1
2
3
2
因此选项(D)正确。
二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
设
(9)
x
y lnt
t2 1
t 2 1
d 2 y
2
d x t 1
,则
【答案】
2
1
t
t2 1
t t2 1
t 2 1
t
1
t
1
t 2
t2 1
t
t2 1
t3
d 2 y
d 2 x
d 2 y
d 2 x
(10)
【解析】
dy
dx
dy
dx
dt
dt
d 1
t dt
dx
dt
dy
dx
1
1
t 1
0 dy y
2 2
9
2
x 1dx
3
1
2
【答案】
【解析】交换积分次序,原式
2
1
x
0
0
x3 1dy 1 x2
dx
1 1 x3 1d x3 1 1 2 x3 12 1
0
3 0
x3 1dx
3 3
0
3
22
9
1
2
(11) 设 z arctan xy sin x y ,则 dz 0,
【答案】1 dx dy
【解析】
z
x
y cos x y
1 xy sin x y2 ,
z
y
x cos x y
1 xy sin x y2
将0, 带入得
z
x
1,
z
y
1
因此dz 0, 1 dx dy
(12) 斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板,铅直的沉没在水中,且斜边与水面相齐,记重力
加速度为 g ,水的密度为,则该平板一侧所受的水压力为
.
【答案】
1 ga3
3
【解析】以水面向右为 x 轴,以垂直于三角板斜边向上为 y 轴建立直角坐标系,则此时,三
角板右斜边所在的直线方程为 y x a ,取微元dy ,则此时
则一侧的压力 F
dF y2xgdy 2gy( y a)dy ,
0 2gy( y a)dy g( 2 y3 ay2 ) 0 1 ga3 .
a
3
3
a
(13)设 y y x 满足 y'' 2y' y 0 ,且 y0 0, y' 0 1,则 y xdx
【答案】1
【解析】由方程可得特征方程为2 21 0, 则特征方程的根为 1, 1,
0
1
2
则微分方程的通解为 y c e x c xex , 由 y0 0, y' 0 1 可得 c 0,c 1 , 则
1
2
1
2
y x xe x ,则 y x dx xe xdx 1
0
0
(14)行列式
a
0
1
1
0
a
1
1
1
1
a
0
1
1
0
a
【答案】a4 4a2
【解析】
a
0
1
1
a
0
a
1
1
1
1
1
1
1
0
a
0
a
0
a 2a
2
a 2a
a4 4a2
a
a 1
1 0
0
a a 1
1
1 0 a
0
a
1
a
1 a
a 2a a3 2a2
a
1 1
三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答.题.纸.指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
求曲线 y
x1 x
1 xx x 0 的斜渐近线
【答案】 y 1 x
e
1
2e
y
【解析】由k lim
lim
x x
x (1 x)x
xx
1
e
1
lim
x (1 1)x
x
x ln x
b lim ( y 1
e
x
e1 lim x(x ln
x
x) lim (
x
e
x1 x
(1 x)x 1 x) lim x(e
x 1) 1 t e1 lim ln 1
1 t
t 2
1 x
x
t0
x
1 x
1) e1 lim x(e
e
x
x ln x 1
1 x 1)
t
洛e1 lim 1
t0 2(1 t)
1 .
2e
故斜渐近线方程为: y 1 x 1 .
2e
e
(16)(本题满分 10 分)
已知函数 f x 连续且lim
x0
f x 1,g x 1 f xt dt ,求gx 并证明 gx 在 x 0
x
0
处连续.
1
【答案】 g ' x 2
f (x) 1
x
x
x2 0
f udu
x 0
x 0
f x
x
【解析】因为lim
x0
g x 1 f xtdt xt u 1 x f u du ,当 x 0 时, g(0) 0 .故
1 ,并且 f (x) 连续,可得 f (0) 0, f ' (0) 1 .
0
又
x 0
0
gx 1 x
x 0
x 0
f u du x 0
,
1 x f u du 0
g '0 lim
g x g 0 lim x 0
x 0
0 f udu
x0
x
x2
lim
x0
f (x)
2x
x0
lim
x0
x 0
导数定义
1
2
'
1
2
则 g x
f (x) 1
x
x
x2 0
x 0
x 0 ,又因为
f udu
lim g ' x lim f (x) 1
f u du
x
x
x0
x2 0
lim f (x) lim 1
x0 x2 0
1 1 1 g '0
x0
x
x
2
2
f udu
x0
所以 g x 在 x 0 处连续
(17)(本题满分 10 分)
求 f x, y x3 8y3 xy 极值
【答案】
f极小(
1 1
,
6 12
)
1
216
【解析】令
2
'
fx (x, y) 3x y 0
f ' (x, y) 24y2 x 0
y
A
当驻点为(0,0) 时, B
C
A '' 1 1
(
,
6 12
xx
'' 1 1
f
当驻点为
(
1 1
,
6 12
) 时, B fxy (
''
C f yy (
,
6 12
1 1
,
6 12
x 0
得 y 0
x 1
6
或
1
y
12
.
f ''(0, 0) 0
xx
f '' (0, 0) 1,则 AC B2 0 ,故(0, 0) 不是极值点.
xy
f '' (0, 0) 0
yy
) 1
) 1 ,则 AC B 0, A 1 0 ,故 (
2
1 1
,
6 12
) 为极
) 4