冬季北方室内空气交换问题的数学建模.pdf-资料库

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冬季北方室内空气交换问题的数学建模 http://www.paper.edu.cn 林紫雄 1，于良健 2，蒲天一 3 1 南京航空航天大学机电学院，南京 (210000) 2 中油管道天燃气管道德州压缩技术分公司，德州 (253000) 3 中国煤炭科学研究院太原分院，太原 (030000) E-mail: purple_paradise@126.com 摘要：北方冬季寒冷，室内外温差大。为保证室内空气质量和保暖需要，需要定期开窗户。本文以辽宁阜新地区气象统计数据为例，用数学模型解决室内外空气换气问题，在探讨特定人数下，不同面积的住房所需要的开窗次数和开窗换气时间。解决问题的依据在于保证室内温度和空气中 CO2 浓度达到国家规定的室内空气质量标准的要求。在解决温度上的问题，利用静压方程和热平衡方程；CO2 浓度的变化，结合生理数据和冷风侵入等因素建立数学模型，利用 MATLAB 软件绘出白天、晚上的开窗前后的室内 CO2 浓度随时间的变化曲线。这样可以直观的得出考虑 CO2 浓度的情况下说需要的开窗次数及开窗时间。最后结合温度变化与 CO2 浓度变化，确定最终需要的开窗次数及开窗时间。关键词：室内空气换气；自然通风；冷风侵入；数学建模中图分类号：TU 0. 引言北方冬季寒冷，室内外温差大。室内温度在 180 以上人们才感到舒适。为了保暖，各家各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，使得室内的空气不流通导致室内空气质量差，从而使人们易患呼吸道感染性疾病。“经常开窗换气，保持室内空气新鲜”，在北方已得到了人们的重视，那么，在房间面积一定的条件下，已知室内外温度，每天应开窗换气几次，每次应换气多长时间，假设房间高度 2.7m，家庭人口 3 人，试针对如下情况建立数学模型解决这一问题。 1．分别对居住面积 20，40，60，80 m2 的情况进行分析； 2．如果冬季不开窗，需至少有多大居住面积； 3．讨论室内空气质量还有哪些问题必须考虑。这里存在这样的问题： 1．门、窗缝隙冷空气渗入量的计算问题； 2．人呼吸产生 CO2 导致室内 CO2 浓度变化，由此决定开窗问题； 3．开窗后冷空气侵入，自然通风换气的流量计算，从而确定开窗时间问题； 4．根据确定的开关窗户时间确定每天开窗换气次数问题； 5．根据门、窗缝隙冷空气渗入量及房间空间大小，使房间空气能够自行达到质量标准的所需要的居住面积的最小值问题。 1. 模型假设 ①房屋在辽宁阜新，朝南，窗户及门等结构尺寸如图 1 所示，结构如图 2 示，护围结构参数[1]：外墙：一砖半厚内面抹灰砖墙，K=1.56W/（㎡·℃）；外窗：单层铝合金玻璃窗，尺寸为（宽×高）=1.5m×1.8m，K=6.40 W/（㎡·℃）；外门：单层木门，尺寸为（宽×高）=1.8m×2.5，K=4.65 W/（㎡·℃）；地面：不保温地面。 - 1 -

http://www.paper.edu.cn 气象条件[2]：室外平均温度为 T。=-17℃；室外风速为：v。=2.3m/s；主导风向北；室内供暖温度 Ti=18℃。 ②开窗时，通风换气流动按一维定常流动计算。 ③屋内供暖系统在关闭门窗时候理论上能够维持室内温度保持在 18℃，而且不考虑日照作用。 ④每多 20 2m 的住房我们就多一个假设的窗户。 0 0 6 0 0 2 1 0 5 4 0 5 0 2 500 500 500 1200 图 1 窗户及其机构尺寸图 2 门结构及尺寸 Fig.1 window size and its institutions Fig.2 door structure and its size p1 p2 物理模型图 3 房屋物理模型 Fig.3 housing physical model - 2 -

http://www.paper.edu.cn 2. 问题分析北方冬季寒冷，室内外温差大。为了保暖，各家各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，这样空气不流通，严重影响人的身体健康，属于室内污染。室内污染来源主要包括建筑材料、日用消费品和化学品的作用和个人活动。正常情况下，通过人体呼出气、汗液、大小便等排出的CO2、氨类化合物、硫化氢等内源性化学污染物，呼出气中排出的苯、甲苯、苯乙烯、甲醇、二硫化碳等外源性污染物；通过咳嗽、打喷嚏等喷出的流感病毒、结核杆菌、链球菌等生物污染物构成室内的主要污染源之一。[3]室内污染经常是多种有害物质的综合，常常以一种污染物作为评价空气质量的指标，或根据多种指标综合成“指数”来判断空气污染水平。室内CO2 主要来自人的呼吸和燃料的燃烧。成人在安静状态时，每小时呼出CO2 约20L；劳动时CO2 的呼出量为安静时的1.5～2 倍。[4]随着室内CO2 量的增高，身体其他部分也不断排出污染物，如汗的分解产物及其挥发的不良气味等。室内CO2 的蓄积逐渐增高的同时，氧的含量就相对降低。当CO2含量达0.07%时[4]，有少数敏感人就有不适的感觉；当含量达 0.1%时，空气中其他性状开始恶化，人们普遍有不舒适的感觉。因此CO2 在一定程度上可作为室内空气污染的一个指标。居室空气中CO2 含量应在0.07%以下，最高不超过0.1%。虽然有冷风侵入，能够实现一定的换气次数，但是人呼吸释放的CO2比较高，在房间体积没有足够大时，不能满足换气要求，因此，决定人为开窗在于室内CO2浓度过高，所以我们设定的开窗计算标准为：当室内CO2浓度达到0.07%时，开启窗户。开启窗户之后，在热压作用下，空气开始对流，冷风侵入。此时为自然通风换气，室内的温度也会因此而降低。所以设定的关窗计算标准为：当室内温度降低到16℃以下时（国家标准），并且计算开窗后的CO2浓度是否下降到标准以下，若达不到要求，继续开窗通风，直到CO2浓度低于0.07%。当房屋足够大时，通过门缝、窗缝的冷风渗入量足以使房间的 CO2 浓度在标准以下，整个冬季就可以不开窗。 3. 符号定义表 1 变量定义 Tab.1 definition of variables 含义室外温度室内温度变量 oT iT minT 国家标准的人感觉不舒服最低起始温度 h V0 0F A1 A2 mV mV 房间高房屋体积房间面积窗户的面积排风口的面积白天人呼吸释放的 CO2 量晚上人呼吸释放的 CO2 量 ∗ - 3 - 单位 ℃ ℃ ℃ m m3 ㎡㎡㎡ L/h L/h 备注不作热力学温度表示不作热力学温度表示不作热力学温度表示题目已设定生理学数据约 30 生理学数据约 20 hL / hL /

随机开门时冷风侵入量窗缝隙冷风侵入量每米长门窗缝隙每小时渗入室内的冷空气量室外计算风速度窗口截面的风速度排风口截面处的风速度排风口中心相对窗口中心的铅直高度门或窗的缝隙长度(缝隙周长) 冷风侵入量修正系数室内居住人数一天开窗次数标准空气含 CO2 量敏感不适空气中超标时 CO2 量晚上 20：00 时刻室内 CO2 量关闭窗户时间量开窗时间量门、窗冷空气侵入热量 http://www.paper.edu.cn hm /3 m3 /h M3/（m·h） m/s m/s m/s m m 人次％（V/V）％（V/V）％（V/V） h s W 行业规范标准 1.5m 行业规范标准题目已设定 0.032% 0.07% 空气定压比热 kJ/(kg· )℃ 相对收缩截面处风速的摩擦阻力系数流动系数开口处的阻力系数开口处的收缩系数 ζ 2,1 C 1(2 2,1 + = ζ kai 1 ζ+=Ψ 2,1 2,1 1) − 锐利开口取 0.6；光滑开口取 1 pV qV LV ov 1v 2v H L n N N η0 η1 τη 1t 2t qQ pc 2,1ζ 2,1Ψ kaiζ 2,1C 4. 模型的建立与求解过程 4.1 问题 1 的模型建立门窗缝隙的冷风渗入量，根据行业标准来取得。 ⋅ V q = ∑ j LVn j ⋅ L j j [5] (1) 式中，n 属于风向修正系数，按手册选取（n=1.0）。关于门窗缝隙的长度，随着房屋面积的增加，门窗的数目在某些情况下会相应的增加，缝隙长度也随之增大。这里面模型的建立，我们根据建筑行业的习惯，我们每增加一个房间我们就多设一个窗户，保守的算，每增加 20 平米的房屋我们多设一个房间，多一个如图 1 的窗户，这样缝隙长度随之增加。 - 4 -

4.2 问题 2 模型的建立及求解 1.白天情况下模型建立白天，人释放的 CO2 使室内 CO2 浓度提高，再考虑门窗缝隙的冷风渗入带入 CO2 的量， http://www.paper.edu.cn 当室内 CO2 浓度达到国家标准限值时，关闭窗户，建立如下模型： ρ o ρ i VV ( q dtV p dtV q Ndt ) η 0 V [ 0 V m 10 dt ∫ ∫ ∫ ∫ + − + + + 3 − ) ( ⋅ p 0 0 0 0 t t t t ] ηη + = V 0 ( − 0ηη η ∫ ) d 0 （2）生理学上，正常情况下每人每小时呼吸产生 CO2 量一定。式子中第一项是人呼吸产生的 CO2 量；第二项是门窗缝隙换气以及随机开门气体换气所含有的 CO2 量第三项是由于部分换气更新后房间里面的空气含 CO2 量。门窗缝隙，随机开门所换气体根据流体连续性方程，进入房间的空气和流出房间的空气质量相等，上式第三项进行了转换。右边的式子表示在某时刻房间中含有的 CO2 量，∫ − 0 0 3 − 10[ = η + ηη ηd 表示 CO2 量浓度的增量。 VNV ( m V 0 Vt ] ) + η 0 ρ o ρ i V q ) V ( q η 00 V + + + t p p （3）或者 t = t 当时， 1 则： ηη= ； 1 式子中 t = − V ( p + V q − V ( ηη 0 0 ρ )( o ηη 0 ρ i − ) ) + 10 − 3 NV m （4） t 1 = − V ( p + V q ) ρ o ρ i η 1 + V ( q V η 0 0 V + p ) ρρ o i + ρ i （5） η 0 + 10 − 3 NV m ρ o = 293.1 T 0 1 273 + , ρ i = 293.1 T 1 i 273 + （6） 2.白天情况下各模型的求解（1） 2 20m 2 F = 0 F = 0 Ti o18= 20m C 模型的求解 Vm 时，白天取，估算取 pV =60 当温度为，室外计算温度为 / hL 30= hm /3 。 T 0 −= o17 C ，室内采暖平均 1、由式（6）求出室内外的空气密度， 2、根据式（1）求出门、窗缝冷空气隙渗入量。取 n=1，窗户 LV =3.2 m3/（m·h），门 LV =6.4m3/ 21.1 mkg / mkg / 38.1 ρ o = 3 , ρ i = 3 （m·h）， qV =1.0×2×3.2×4×（0.5+1.2）+1.0×6.4×2×（1.2+2.05）=85.12 hm /3 - 5 -

3、把 η 0 = 032.0 , η 1 o o = 07.0 o o 代入式（5）中求得 1t =1.01h，CO2 浓度变化曲线如图 4 所示（横坐标为时间，单位为小时；纵坐标为室内 CO2 浓度（V/V），单位为%）。 http://www.paper.edu.cn 图 4. CO2 浓度变化曲线(1) Fig.4 CO2 concentration curve (One) 由图 4 可知，即使我们不开窗户，没有考虑晚上呼吸作用产生 CO2 少，在一天之内室内 CO2 浓度都不会超过 0.10%，不会有生命危险。（2）当 =106.88 = 把 η 0 2 模型的求解 40m 2 F = 0 F = 0 hm /3 032.0 o 40m 时，增加一个窗户，则 qV =1.0×3.2×4×（1.2+0.5）×3+1.0×6.4×2×（1.2+2.05） , η 1 o = 07.0 o o 代入式（5）中求得 1t =4.19h，CO2 浓度变化曲线如图 5 所示。图 5. CO2 浓度变化曲线(2) Fig.4 CO2 concentration curve (Two) - 6 -

由图可知，即使我们不开窗户，没有考虑晚上呼吸作用产生 CO2 少，在一天之内室内 CO2 浓度都不会超过 0.075%，不会有生命危险。 http://www.paper.edu.cn （3） F = 0 F = 0 60m 2 60m 2 模型的求解时，增加一个窗户，则 qV =106.88 当 hm /3 +1.0×3.2×4× （ 1.2+0.5 ） o = 07.0 hm /3 ， , η 1 hm /3 =128.64 032.0 = η 代入式（5），CO2 浓度变化曲线如图 6 所示（横坐标为时间，把 0 单位为小时；纵坐标为室内 CO2 浓度（V/V），单位为%）。但是，我们可以从图形可以知，在一天之内室内 CO2 浓度都不会超过 0.07%，也就是说，一天之内根本就不用开窗户，当时间为 12h 时，CO2 浓度为 0.0677%。 o o o 图 6. CO2 浓度变化曲线(3) Fig.6 CO2 concentration curve (Three) 在一天之内室内 CO2 浓度随时间变化如图 6 所示，我们可以得知，室内 CO2 浓度总是 2 （4）在 0.07%以下，则不用开窗户。模型的求解时， qV =128.64 = F = 0 F = 0 032.0 80m , η 1 80m 2 07.0 当 η 0 = o hm /3 +1.0×3.2×4×（1.2+0.5） hm /3 =210.40 hm /3 ， o 代入式（4），CO2 浓度变化曲线如图 7 所示。由图 7 可知，在把一天之内室内 CO2 浓度都不会超过 0.065%，也就是说，一天之内根本就不用开窗户，当时间为 12h 时，CO2 浓度为 0.0633%。 o o - 7 -

http://www.paper.edu.cn 图 7. CO2 浓度变化曲线(4) Fig.7 CO2 concentration curve (Four) 3.晚上模型的建立晚上，人的新陈代谢比较慢， mV 取值小，而且不开窗户，则室内 2co 浓度随时间的变化关系如下： t ∫ 0 3 − 10 V ∗ m ⋅ Ndt + t ∫ 0 V η q 0 dt + V [ 0 − ρ o ρ i 3 − 10[ VNV ∗ m q + t 0 dtV q ∫ ρρ o i ] ηη + = V 0 ( η 0 Vt ] η + 0 τ （7） − τηη η ∫ ) d 0 或者 = η 则 t = ρ o ρ i V + η q V q VV q 0 + t （8） ) V − 0 ρρ o ( ηη τ + η 0 ρ i i （9） + 10 − 3 NV ∗ m + ρ i ρ o ρ i ρρ o i + ρ i ρ o ρ i V 12 q 那么令晚上的时间 1t =12h，则早上 08：00 时刻室内空气中含 2co 浓度为 10[12 3 − VNV ∗ m q + ηη τ V 0 + ] 0 = η V 0 + 令 1ηη≤ ，则： ηητ 1 ≤ − [12 V q V 0 ρ o ρ i η 1 − 10 NV 3 − ∗ m V 0 − V q V 0 - 8 - ρρ o i + ρ i （10） η 0 ] （11）

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