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《离散的数学结构》课后习题答案.doc
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
刘国荣
交大电信学院计算机系
1
离散数学习题解答
习题一
（第一章集合）
1. 列出下述集合的全部元素：
1）A={x | x ∈N∧x 是偶数∧ x＜15}
2）B={x|x∈N∧4+x=3}
3）C={x|x 是十进制的数字}
[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}
2）B=
3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
2. 用谓词法表示下列集合：
1）{奇整数集合}
2）{小于 7 的非负整数集合}
3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}
[解] 1）{nnI(mI)(n=2m+1)}；
2）{nnIn0n<7}；
3）{ppNp>2p<30(dN)(d1dp(kN)(p=kd))}。
3. 确定下列各命题的真假性：
1）
2）∈
3）{}
4）∈{}
5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}}
6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})
7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}}
8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}
[解]1）真。因为空集是任意集合的子集；
2）假。因为空集不含任何元素；
3）真。因为空集是任意集合的子集；
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
2
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合 A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果 A∈B∧B∈C，则 A∈C。
2）如果 A∈B∧B∈C，则 A∈C。
3）如果 AB∧B∈C，则 A∈C。
[解] 1）假。例如 A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而 A∈B∧B∈C 但 A∈C。
2）假。例如 A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而 A∈B∧B∈C，但、A
∈C。
3）假。例如 A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而 ACB∧B∈．C，但 A∈C。
5．对任意集合 A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果 A∈B∧BC，则 A∈C。
2）如果 A∈B∧BC，则 AC。
3）如果 AB∧B∈C，则 A∈C。
3）如果 AB∧B∈C，则 AC。
[解] 1）真。因为 BCx（x∈Bx∈C），因此 A∈BA∈C。
2）假。例如 A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而 A∈B∧BC，但
AC。
3）假。例如 A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而 AB∧B∈C，但 AC。
4）假。例如 A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而 AB∧B∈C，但 AC。
6．求下列集合的幂集：
1）{a，b，c}
2）{a，{b，c}}
3）{}
4）{，{}}
5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}
[解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}
2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}
3）{，{}}
4）{，{}，{{}}，{，{}}}
5）{，{{a，b}}}
7．给定自然数集合 N 的下列子集：
3
A={1，2，7，8}
B={ x|x2＜50}
C={x|x 可以被 3 整除且 0≤x≤30}
D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}
列出下面集合的元素：
1） A∪B∪C∪D
2） A∩B∩C∩D
3） B\（A∪C）
4） （A′∩B）∪D
[解] 因为 B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，
D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此
1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，
30，32，64}
2）A∩B∩C∩D=
3）B\（A∪C）={4，5}
4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}
8．设 A、B、C 是集合，证明：
1）（A\B）=A\(B\C)
2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）
3）（A\B）\C=(A\C)\B
[证明] 1）方法一：（A\B）\C
=（A∩B′）∩C′
=A∩（B′∩C′）
=A∩（B∪C）′
=A\（B∪C）
（差集的定义）
（交运算的结合律）
（deMorgan 律）
（差集的定义）
方法二：对任一元素 x∈（A\B）\C，则 xC，同时，x∈A\B，x∈A，xB，
所以，x∈A，xB∪C，即 x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\CA\（B∪C）。
反之，对任一元素 x∈A\（B∪C），则 x∈A，且 xB∪C，也就是说 xA，xB，
xC。所以 x∈（A\B）\C，由此可见 A\（B∪C）（A\B）\C。
因此 A\（B\C）。
2）方法一：（A\B）\C
=A\（B∪C）
（根据 1））
4
=A\（C∪B）
=A\（（C∪B）∩Ⅹ）
=A\（（C∪B）∩（C∪C′））
=A\（C∪（B∩C′）
=（A\C）\（B∩C′）
=（A\C）\（B∩C）
（并运算交换律）
（0—1 律）
（0—1 律）
（分配律）
（根据 1）
（差集的定义）
方法二：对任一元素 x∈（A\B）\C，可知 x∈A，xB，xC，x∈A\C。又由 xB，
xB\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。所以（A\B）\C（A\C）\（B\C）。
反之，对任 x∈（A\C）\（B\C），可知 x∈A\C，xB\C。由 x∈A\C，可知 x∈A，
xC。又因为 xB\C 及 xC，可知 xB。所以，x∈（A\B）\C。因此（A\B）\C
（A\B）\C。
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）
=A\（C∪B）
=（A\C）\B
(根据 1))
（并运算交换律）
（根据 1））
方法二：对任一元素 x∈（A\B）\C，可知 x∈A，xB，xC。由为 x∈A，
xC，所以，x∈A\C。又由 xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得 （A\C）\B（A\B）\C。
9. 设 A、B 是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
(1)先证 ABA′∪B=X；
方法一：A′∪B=A′∪(A∪B)
=(A′∪A)∪B
=(A∪A′)∪B
=X∪B
=X
方法二：ABA∪B=B
B=A∪B
A′∪B=A′∪(A∪B)
A′∪B==(A′∪A)∪B
5
（因为条件 AB 及定理 4）
（∪的结合律）
（∪的交换律）
（互补律）
（零壹律）
（定理 4）
（等号=的对称性）
（两边同时左并上 A′）
（∪的结合律）
A′∪B=(A∪A′)∪B
A′∪B=X∪B
A′∪B=Ｘ
（∪的交换律）
（互补律）
（零壹律）
方法三：因为 A′X 且 BX，所以根据定理 2 的 3）就有 A′∪BＸ；
另一方面，由于 BA′∪B 及根据换质位律可得 B′A′A′∪B，因此，
由互补律及再次应用定理 2 的 3），可得 X=B∪B′A′∪B，即 XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
(2)次证 A′∪B=XA∩B′=；
A′∪B=X(A′∪B)′=X′
(A′)′∩B′=X′
A∩B′=X′
A∩B′=X′
(3)再证 A∩B′=AB；
方法一：A=A∩X
=A∩(B∪B′)
=(A∩B)∪(A∩B′)
=(A∩B)∪
=A∩B
B
方法二：A∩B′=B=B∪
=B∪(A∩B′)
=(B∪A)∩(B∪B′)
=(A∪B)∩(B∪B′)
=(A∪B)∩X
=A∪B
AB
（两边同时取补运算′）
（de Morgan 律）
（反身律）
（零壹律）
(零壹律)
(互补律)
(分配律)
(条件 A∩B′=)
(零壹律)
（定理 2 的 3)）
(零壹律)
（条件 A∩B′=）
(分配律)
(∪的交换律)
(互补律)
(零壹律)
（定理 4 的 2)）
10. 对于任意集合 A，B，C，下列各式是否成立，为什么？
1） A∪B=A∪CB=C
2） A∩B=A∩CB=C
[解] 1）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。显然有
A∪B=A∪C，但 B≠C。
2）不一定。例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。显然有
6
A∩B=A∩C，但 B≠C。
11．设 A，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：
1） A\B=B
2） A\B=B\A
3） A∩B=A∪B
4） AB=A
[解] 1）A\B=A∩B′，由假设可知 A\B=B，即 A∩B′=B。由此可知 B=A∩B′B′，
故此 B=B∩B′=。
由假设可知 A=A\=A\B=B=。所以当 A\B=B 时有 A=B=。
反之，当 A=B=时，显然 A\B=B。
因此 A\B=B 的充分必要条件是 A=B=。
2）设 A\B≠∈，则有元素 a∈A\B，那么，a∈A，而由假设 A\B=B\A。所以 a
∈B\A，从而 aA，矛盾。所以 A\B=，故 AB。另一方面由 B\A=A\B=。可得
BA。因此当 A\B=B\A 时，有 A=B。
反之，当 A=B 时，显然 A\B=B\A=
因此，A\B=B\A 的充要条件是 A=B。
3）由于 A∪B=A∩B，从而 AA∪B=A∩BB，以及 BA∪B=A∩BA 故此 A
∪B=A∩B，有 A=B。
5） 根据定理 6 的 1）有 A=A，由已知条件 AB=A，可得 AB=A。
从而由对称差的消去律可得 B=。
反之，若 B=，则 AB=A=A。
所以 AB=A 的充分必要条件为 B=。
12. 对下列集合，画出其文图：
1） A′∩B′
2） A\（B∪C）′
3） A∩（B′∪C）
[解]
X
A
B
A′∩B′
X
A
B C
X
A
B
C
A\ (B∪C)′
A∩(B′∪C)
7
13. 用公式表示出下面图中的阴影部分
[解]
x
A
B
C
(A∩C) \B
x
C
B
A
(A∪B∪C)∪(A∩B∩C)′
14. 试用成员表法证明
1）（AB）C=A（BC）
2）（A∪B）∩（B∪C）AB′
[解] 1）成员表如下
A B C
０ ０ ０
０ ０ １
０ １ ０
０ １ １
１ ０ ０
１ ０ １
１ １０
１ １ １
AB
０
０
１
１
１
１
０
０
（AB）C
０
１
１
０
１
０
０
１
BC
０
１
１
０
０
１
１
０
A（BＣ）
０
１
１
０
１
０
０
１
成员表中运算结果Ｃ及Ａ（ＢＣ）的两列状态表明，全集中的每一个
体对它俩有相同的从属关系，故
（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）
1） 成员表如下：
A B C A∪B （B∪C） (B∪C)′ (A∪B)∩(B∪C)′ B′ A∩B′
０ ０ ０
０ ０ １
０ １ ０
０ １ １
１ ０ ０
１ ０ １
１ １０
１ １ １
０
１
１
1
0
1
1
１
０
０
１
１
１
１
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０
0
0
０
１
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０
0
1
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0
0
1
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8
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