2016福建考研数学二真题及答案.doc-资料库

2016 福建考研数学二真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．时，若 ln ( x21 ) ， ( 1  cos x ) 1  均是比 x 高阶的无穷小，则的可能取值 x １．当  0 范围是（）（A） ,( 2 ) （B） ),( 21 （C） 1 ( 1 ), 2 （D） 10 ,( 2 ) 【详解】 ln  ( 21  x ~) 2  x ，是阶无穷小， (  1 cos x 1 ~)  2  x 是 2  1 1  2 阶无穷小，由题意可知  1    2     1 所以的可能取值范围是 ),( 21 ，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是（A） y sin x x （B） y  2 x sin x （C） y sin x 1 x （D） y  2 x sin 1 x 【详解】对于 y sin x 1 x ，可知 y lim  x x 1 且 lim x  ( y  x lim)   x sin 1  x 0 ，所以有斜渐近线 y  x 应该选（C） 3．设函数 (xf 具有二阶导数， ) ( xg )  f ( )( 10  x )  f )( 1 x ，则在 ],[ 10 上（）（A）当 (' xf 0) 时， ( xf )  ( xg ) （B）当 (' xf 0) 时， ( xf )  ( xg ) （C）当 f  (x ) 0 时， ( xf )  ( xg ) （D）当 f  (x ) 0 时， ( xf )  ( xg ) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解 1】如果对曲线在区间 ],[ ba 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 ( xg )  f ( )( 10  x )  f )( 1 x 就是联接 ,( 0 f ( 0 ,()), 1 f )) ( 1 两点的直线方程．故当 f  (x ) 0 时，曲线是凹的，也就是 ( xf )  ( xg ) ，应该选（D）

【详解 2】如果对曲线在区间 ],[ ba 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 ( xF )  ( xf )  ( xg )  ( xf )  f ( )( 10  x )  f )( 1 x ，则 F )( 0  F )( 1  0 ，且 (" xF )  f (" x ) ，故当 f  (x ) 0 时，曲线是凹的，从而 ( xF )  F )( 0  F )( 1  0 ，即 ( xF )  ( xf )  ( xg ) 0 ，也就是 ( xf )  ( xg ) ，应该选（D） 4．曲线    x y   2 2 t t   7 4 , t  1 上对应于 1t 的点处的曲率半径是（）（Ａ） 10 50 （Ｂ） 10 100 (Ｃ） 10 10 （Ｄ） 10 5 【详解】曲线在点 ( , ( xfx )) 处的曲率公式 K  " y y  ( 1 3 2 )' ，曲率半径 R 1 ． K 本题中 dx dt  2 t , dy dt  2 t  4 ，所以 dy dx  4 2 t  2 t 21  t 对应于 1t 的点处 y '  ", 3 y  1 ，所以 K  ( 1 R  1  K 10 10 ．应该选（C）， 2 yd 2 dx " y 2 )' y   2 2 t 2 t   1 3 t ，  3 1 10 10 ，曲率半径 5．设函数 ( xf )  arctan x ，若 ( xf )  )(' xf ，则 lim 0 x  x 2 2  （）（Ａ）1 （Ｂ）【详解】注意（1） (' xf ) 2 3 1 x  2 1 （Ｃ） 1 2 （Ｄ） 1 3 ，（2） x  时 0 , arctan x  x 1 3 3 x  3 ( xo ) ．由于 ( xf )  )(' xf ．所以可知 f )('   1 2   1  ) ( xf x  arctan x x 2  ， x  (arctan arctan ) x x 2 ，  lim 0 x  arx x  (arctan x tan x 2 ) x x  ( x   lim 0 x  1 x 3 3 x 3 )  3 ( xo )  1 3 ． lim  x  0 x 2 2 6．设 ( , yxu ) 在平面有界闭区域 D上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足

2 u  yx   0 及   2 u 2 x  u 2   2 y  0 ，则（）．（A） ( , yxu ) （B） ( , yxu ) （C） ( , yxu ) （D） ( , yxu ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D的边界上；的最大值点和最小值点必定都在区域 D的内部；的最大值点在区域 D的内部，最小值点在区域 D的边界上；的最小值点在区域 D的内部，最大值点在区域 D的边界上．【详解】 ( , yxu ) 在平面有界闭区域 D上连续，所以 ( , yxu ) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点 ( , 0 yx 0 ) ，也就是   u x  u  y  0 ，在这个点处 A    2 u 2 x , C  u 2   2 y , B  2 u  yx   2 u  xy  ，由条件，显然 AC  B 2  0 ，显然 ( , yxu ) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 ( , yxu ) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D的边界上．所以应该选（A）． 7．行列式 0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d 等于 ( （A） ad  bc 2)  （B） ( ad  bc 2) （C） 2 da 2  2 2 cb  （D） 2 2 da  2 2 cb  a a 0 c 0 d 0 b 0 d  b a 0 c 0 c 0 b 0 d  ad a c b d  bc a c b d  ( ad  2 bc ) a 0 c 0 【详解】 0 0 b 0 a b 0 0 d 0 c d 应该选（B）． 1  , 3 8．设 , 2 是三维向量，则对任意的常数 lk, ，向量 1  k 3 ， 2  l 线性无关是 3 向量 1  , 3 , 2 线性无关的（A）必要而非充分条件（C）充分必要条件 1  , 3 , 2 【详解】若向量线性无关，则（B）充分而非必要条件（D）非充分非必要条件

（ 1  k 3 ， 2  l ） 3  (  3 , , 2 1   )    01 10 k l       (  3 , , 2 1 ) K ，对任意的常数 lk, ，矩阵 K 的秩都等于 2，所以向量 1  k 3 ， 2  l 一定线性无关． 3 而当  1       1 0 0      ,  2       0 1 0      ,  3       0 0 0      时，对任意的常数 lk, ，向量 1  k 3 ， 2  l 线性 3 无关，但 1  , 3 , 2 线性相关；故选择（A）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 1 9．  1 2 2 x  x  5 dx  ．【详解】 1   1 2 2 x  x  5 dx  1   dx 2 ) 1 ( x   4  1 2 arctan 1 x  2 1 |   1   42   ) 2 (     10 ．设 (xf ) 为周期为 4 的可导奇函数，且 (' xf )  ( 2 x  ), 1 x  )(7f ．． 3  8 20  , ，则【详解】当  20,x 时， ( xf )   ( 2 x  ) 1 dx  2 x  2 Cx  ，由 0 )(f 0 可知 0C ，即 ( xf ) x 2  2 x ； (xf 为周期为 4 奇函数，故 ) f )( 7  f ( ) 1  f )( 1  1 ． 11 ．设 z  ( , yxz ) 是由方程 2 e yz  x 2 y  z 7 4 确定的函数，则 |dz     1, 2 1 2    【详解】设 ), zyxF ( , ． 2 yz  e  x 2 y  z 7 4 F ， x  , 1 F y  2 ze 2 yz  2 , Fy z  2 ye 2 yz  1 ，当 x  y 1 2 时， 0z ， z  x   F x F z 1 2 ， z  y   F F y z 1 2 ，所以   |dz    1, 2 1 2    1 2 dx  1 2 dy ．

12 ．曲线 L 的极坐标方程为 r ，则 L 在点 ,(r )      22 ,    处的切线方程为．【详解】先把曲线方程化为参数方程 x y      r r )( cos cos  sin)( sin    ，于是在  处，  2 x  0 , y   2 ， dy dx  |  2 sin cos   cos sin   2   |  2 ，则 L 在点 ,(r )      22 ,    处的切线方程为 y   2  2  ( x  0 ) ，即 y  . x  2  2  10, 上，若其线密度 13．一根长为 1 的细棒位于 x 轴的区间 ( x)  2 x  2 x  1 ，则该细棒的质心坐标 x ．【详解】质心坐标 x  1 0   ( x  1 (  0 ) dxx ) dxx  1 0  ( 1  0 3  x  2 2 x  ) dxx 2 (  x  2 x  ) 1 dx  11 12 5 3  11 20 ． 14．设二次型 ( , xxxf , 2 1 ) 3 2 x 1  x 2 2  2 xax 1 3  4 xx 2 3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是．【详解】由配方法可知 4 xx  3 2 2 ) 2 x  2 xax 1 ( x  ，所以 a 的取值范围是 3  4  ( 3 2 2 3 2 ) xa 22, ． ( xxxf , , 2 1 3 )  (  2 x 1 x 1   2 x 2 ax 3  2 ) 由于负惯性指数为 1，故必须要求 4  a 2  0 三、解答题 15．（本题满分 10 分）求极限 lim x  1 t tx ( 1  2 ( e 2 x ln( 1 t ) dt ． ) 1  1 x  ) 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】

lim x  1 t x 1  ( t 2 ( e 2 x ln( 1 t ) dt ) 1  1 x  ) x  1 1 t ( t 2 ( e t ) dt ) 1  x  lim x  ( 2 ( ex 1 x ) 1  x )  lim x   lim x     2 x ( 1 x  1 x 2 2  o ( 1 2 x )  x    1 2 16．（本题满分 10 分）已知函数 y  (xy ) 满足微分方程 2 x  2 yy ' 1  y ' ，且 2 )(y 0 ，求 (xy 的极大值和极 ) 小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到 ( 1  2 y ) dy dx 1  2 x ，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为： 1 3 3 y 即 1 3 3 y  x y 1 3 3 x  2 3 ．  x y 1 3 3 x  C ，由 2 )(y 0 得 2C 3 ，令 dy dx  1 1   2 2 x y  0 ，得 1x ，且可知  ( 12 x  2 yd 2 dx  22 ) y ( 1  ( 12 y  32 ) y  x 22 ) ；当 1x 时，可解得 1y ， 01 "y ，函数取得极大值 1y ；当 1x 时，可解得 0y ， 2 "y 0 ，函数取得极小值 0y ． 17．（本题满分 10 分）设平面区域  ( D  , yx |) 1  2 x  2 y  4 , x  0 . y  0 ．计算 D x sin( 2 x y x   2 y ) dxdy 【详解】由对称性可得 x sin(  2  x sin(  x y  x 1  D  1 2  D 2 y ) dxd  y sin(  x 2 x y   D  2 y ) dxd  1 2  D ( x  y ) sin(  x y  2 x  2 y ) dxdy 2  2 y ) dxd   2 0  1 2 2  d  1 r sin drr   3 4 18．（本题满分 10 分）设函数 )(uf 具有二阶连续导数， z  x ( ef cos y ) 满足 z 2 2  x   z 2   2 y  ( 4 z  e x cos ) ey 2 x ．若

f )( 0  0 , f )(' 0  0 ，求 )(uf 的表达式．【详解】设 eu  x cos y ，则 z  )( uf  x ( ef cos y ) ， z  x  z  y   )(' euf x cos y , z 2 2  x   f )(" eu 2 x 2 cos y  )(' euf x cos y ;  )(' euf x sin y , z 2   2 y  f )(" eu 2 x 2 sin y  )(' euf x cos y ； z 2 2  x   z 2   2 y  f )(" eu 2 x  f (" e x cos ) ey 2 x z 2 2  x   z 2   2 y 由条件可知  ( 4 z  e x cos ) ey 2 x ， f )(" u  4 )( uf  u 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为： )( uf 2 u eC 1  eC 2  2 u 其中 1 CC , 为任意常数． 2 对应非齐次方程特解可求得为 1* y 4 u ．故非齐次方程通解为 )( uf  2 u eC 1  eC 2  2 u  1 4 u ．将初始条件 f )( 0  0 , f )(' 0  0 代入，可得 C 1  1 16 , C 2  1 16 ．所以 )(uf 的表达式为 )( uf  1 16 2 u e  1 16  2 u e  1 4 u ． 19．（本题满分 10 分）设函数 ( ( xgxf ), ) 在区间 ba. 上连续，且 (xf 单调增加， ) 0  (xg )  1 ，证明：（1） 0 tgx )( dt  xax , ba  ,  ； a    b a a  a )( tg dt ( dxxf )  b  a ( dxxgxf () ) ．（2）【详解】

（1）证明：因为 0  (xg )  1 ，所以 x  a 0 dx  x  a )( tg dt  x  a 1 xdt  ba  , ．即 0 tgx )( dt   a  xax , ba  ,  ．（2）令 ( xF )  x  a )()( duuguf 则可知 0)(aF ，且 (' xF )  x )( tg  a  a   a ( () xgxf dt )( duuf ， )    ( afxg   )  x a )( tg dt    ，因为所以 (' xF 0 a dt tgx   )(    af   ( () xgxf  )( tg ) x a  ax , 且 (xf 单调增加， ) dt    ( af  ax )  ( xf ) ．从而 )    ( afxg   ) x  a )( tg dt    () ( xgxf )  ( ( xfxg ) ) 0 ，  ba , x 也是 (xF 在 ) ba, 单调增加，则 )( bF  )( aF 0 ，即得到 a b  a  a )( tg dt ( dxxf )  b  a ( dxxgxf () ) ． 20．（本题满分 11 分）设函数 ( xf )  x  1 x , x  10  , ，定义函数列 ( xf 1 )  ( xf ) ， ( xf 2 )  f ( ( xf 1 )) ，  , ( xf n )  f ( f n 1 ( x )),  设 nS 是曲线 y n (xf ) ，直线 x  , 1 y  0 所围图形的面积．求极限 lim n  nS n ．【详解】 ( xf 1 )  x  1 x , ( xf 2 )  ) ( xf 1 ( xf  1 ) 1  1  1 利用数学归纳法可得 ( xf n )  x nx  1 . x  1 x x   x 21  x ， ( xf 3 )  x 31  x , ， x S n   1 0 dxxf n ) (  1  0 x nx  1 dx  1 n 1  0 ( 1  1 nx  1 ) dx  11 ( n  ln( 1  n n )) ， lim n  nS n  lim n  1     ln( 1  n n )    1 ． 21．（本题满分 11 分）

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