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2012年湖南高考文科数学试题及答案.doc
2012 年湖南高考文科数学试题及答案
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则 M∩N=
A.{-1，0，1}
D.{0}
【答案】 B
B.{0,1}
C.{1}
【解析】
N
0,1
M={-1,0,1} M∩N={0,1}
【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出
N
0,1
，再利用交集定义得出
B.-1+i
M∩N.
2.复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是
A.-1-i
【答案】 A
【解析】由 z=i（i+1）= 1 i
【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把 Z 化成标
，及共轭复数定义得
i
.
C.1-i
D.1+i
1
z
准的
a bi a b R
( ,
形式，然后由共轭复数定义得出
)
z
i
.
1
3.命题“若α=
，则 tanα=1”的逆否命题是
4
A.若α≠
4
，则 tanα≠1
B. 若α=
，则 tanα≠1
4
C. 若 tanα≠1，则α≠
D. 若 tanα≠1，则α=
4
4
【答案】C
【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 p ，则 q ”，所以 “若α=
的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠
4
”.
4
，则 tanα=1”
【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能
力.
4.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图
为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几
何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.
5.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数
据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中
不正确．．．的是
A.y 与 x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ）
C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg
D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg
【答案】D
【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关
系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 ˆ
y
bx a
bx
(
y bx a
y bx
)
，所以回归直线
过样本点的中心（ x ， y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确.
【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不
正确的答案，易错.
6. 已知双曲线 C ：
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为
A．
2
x
20
-
2
y
5
【答案】A
=1
B.
2
x
5
-
2
y
20
=1
C.
2
x
80
-
2
y
20
=1
D.
2
x
20
-
2
y
80
=1
【解析】设双曲线 C ：
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为 c ，则 2
c
10,
c
5
.
又C 的渐近线为
y
，点 P （2,1）在 C 的渐近线上， 1
，即 2
b
a
x
.
2b
a
2
2
x
a
b
a
又 2
c
2
a
2
，
b
a
2 5,
b
，C 的方程为
5
2
x
20
-
2
y
5
=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基
本运算能力，是近年来常考题型.
7 . 设 a＞b＞1， 0
c ，给出下列三个结论：
)
a c
；② ca ＜ cb ； ③ log (
b
1
＞
c
a
c
b
其中所有的正确结论的序号是 __ .
A．①
【答案】D
B.① ②
C.② ③
D.① ②③
log (
a
b c
，
)
【解析】由不等式及 a＞b＞1 知
1
b
质知②正确；由 a＞b＞1， 0
a c
，由对数函数的图像与性质知③正确.
【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性
质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.
1
a
c 知
，①正确;由指数函数的图像与性
，又 0
c ，所以
c
a
1
b c
c
b
＞
1
c
8 . 在△ABC 中，AC= 7 ，BC=2，B =60°，则 BC 边上的高等于
A．
3
2
B.
3 3
2
C.
6
3
2
D.
39
3
4
【答案】B
【解析】设 AB c ，在△ABC 中，由余弦定理知 2
AC
2
AB
BC
2
2
AB BC
cos
B
，
即
7
2
c
c
4 2 2
cos60
， 2 2
c
c
3 0,
即
1)
=0.又 0,
c
3.
( -3)(
c
c
1
2
AB BC
c
1
2
sin
B
BC h
，知
设 BC 边上的高等于 h ，由三角形面积公式
S
ABC
1
2
3 2 sin 60
2
1
2
h
，解得
h
3 3
2
.
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.
f x 是 f(x)的导函数，当
9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数， ( )
)
f x
2
时，0＜f(x)＜1；当 x∈（0，π） 且 x≠
( ) 0
时 ，(
2
0,
x
x
，则函数 y=f(x)-sinx
在[-2π，2π] 上的零点个数为
A .2
B .4
【答案】Ｂ
D. 8
C.5
【解析】由当 x∈（0，π） 且 x≠
2
时 ， (
x
)
f x
2
( ) 0
，知
x
0,
2
时,
( ) 0,
f x
( )
f x
x
为减函数；
2
， 时,
( ) 0,
f x
( )
f x
为增函数
又
0,
x
作出 sin
y
时，0＜f(x)＜1，在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数，在同一坐标系中
x
和
y
( )
f x
草图像如下，由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为 4
个.
2
y
1
o
1
y
( )
f x
x
2
sin
x
y
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
二、填空题，本大题共 7 小题，考生作答 6 小题.每小题 5 分共 30 分，把答案填在答题卡中对应
题号后的横线上.
（一）选做题，（请考生在第 10，,1 两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分）
10.在极坐标系中，曲线 1C ： ( 2 cos
sin ) 1
与曲线 2C ：
a (
a 的一个交点在极
0)
轴上，则 a=_______.
【答案】
2
2
【解析】曲线 1C 的直角坐标方程是 2
x
y ，曲线 2C 的普通方程是直角坐标方程
1
2
x
2
y
2
，因为曲线 C1： ( 2 cos
a
sin ) 1
与曲线 C2： a (
a 的一个交点在极轴
0)
上，所以 1C 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由
y
0,
x
2
2
，知 a ＝
2
2
.
【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、
方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线 1C 与曲线 2C 的极坐标方程都转化为
直角坐标方程，求出与 x 轴交点，即得.
11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为 29℃~63℃.
精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.
【答案】７
【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7.
【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.
(二)必做题（12~16 题）
12.不等式 x2-5x+6≤0 的解集为______.
【答案】
x
3
2
x
【解析】由 x2-5x+6≤0，得 (
x
3)(
x
2) 0
，从而的不等式 x2-5x+6≤0 的解集为
x
2
x
3
.
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.
13.图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得
分的方差为_________.
0 8 9
1 0 3 5
2图
(注：方差 2
s
【答案】6.8
1 (
n
x
1
2
x
)
(
x
2
x
)
(
x
n
2
x
)
2
，其中 x 为 x1，x2，…，xn 的平均数)
【解析】
2
s
，
1 (8 9 10 13 15) 11
x
5
1 (8 11)
5
(10 11)
(9 11)
2
2
2
(13 11)
2
(15 11)
2
6.8
.
【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.
14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 4.5
,则输出的数i =
x
.
【答案】4
【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得 0.5
【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力
的培养.
x ，输出 4
i .
15.如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P，
AP 且 AP AC
3
=
.
【答案】18
【解析】设 AC BD O
，则
AC
AP AB
2
AP BO
2
AP AB
2
2
2(
)
AB BO
AP AP PB
(
， AP AC
AP
=
2(
AB BO
)
AP
)
2
2
18
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价
转化思想等数学思想方法.
16.对于 Nn
，将 n表示为
n
a
k
k
2
a
k
1
k
1
2
a
1
1
2
a
0
0
2
,当i
k 时
ia ，当
1
0
时 ia 为 0 或 1，定义 nb 如下：在 n 的上述表示中，当 0
1,a a ，a2，…，ak中等于 1 的
1
k
i
个数为奇数时，bn=1；否则 bn=0.
（1）b2+b4+b6+b8=__；
（2）记 cm为数列{bn}中第 m个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数，则 cm的最大值是___.
【答案】（1）3；（2）2.
【解析】（1）观察知
1
a
0
0
2 ,
a
0
1,
b
1
1
；
1
2 1 2
0
0 2 ,
a
1
1,
a
0
0,
b
2
1
；
一次类推
1
3 1 2
0
1 2 ,
b
3
；
0
4 1 2
2
1
0 2
0
0 2 ,
b
4
1
；
5 1 2
2
1
0 2
0
1 2 ,
b
5
；
0
6 1 2
2
1
1 2
0 2
， 6
b ， 7
b
0
0
81,
b
，
1
b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知 cm的最大值为２.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位
顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1 至 4
件
顾客数（人） x
1
结算时间（分
钟/人）
5 至 8
件
9 至 12
件
30
1.5
25
2
13 至 16
件
y
2.5
17 件及以
上
10
3
已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％.
（Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 分钟的概率.（将频率视为概率）
【解析】（Ⅰ）由已知得 25
y
10 55,
x
35,
y
x
15,
y
，该超市所有顾客一次购物
20
的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简
单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:
1 15 1.5 30 2 25 2.5 20 3 10
1.9
(分钟).
100
（Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， 1
顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5 分钟”， “该顾客一
次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率，得
25
100
A A A 分别表示事件“该
(
P A
2
(
P A
3
3
10
(
P A
1
1
4
)
)
.
,
2
3
,
,
,
15
100
A
且
2
3
20
A
3
,
)
30
100
,
A A A
1
3
,
2
A A
1
是互斥事件，
(
)
P A
(
P A
1
A
2
A
3
)
(
P A
1
)
(
P A
2
)
(
P A
3
)
故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为
1
4
7
10
.
3
3
20 10
7
10
.
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和
100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％，知 25
解得 ,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过
设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得
一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 分钟的概率.
18.（本小题满分 12 分）
10 100 55%,
从而
35,
y
x
y
已知函数 ( )
f x
A
sin(
)(
x
x R
,
0,0
的部分图像如图 5 所示.
2
（Ⅰ）求函数 f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数 ( )
g x
(
f x
)
12
(
f x
)
12
的单调递增区间.
【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期
T
2(
,
2
.
5(
12
因为点
,0)
在函数图像上，所以
A
sin(2
,
0
又
5
2
6
4
,
3
又点 0,1（ ）在函数图像上，所以 sin
5
6
A
从而
1,
A
2
T
5
6
5
11
)
12
12
.
即
sin(
) 0
) 0,
5
12
5
6
，故函数 f（x）的解析式为 ( )
f x
.
6
，即 =
=
2
( )
g x
（Ⅱ）
2sin 2
x
2sin 2
x
12
6
6
12
6
2sin(2
x
).
6
2sin 2
x
2sin(2
x
)
3
2sin 2
x
2( sin 2
1
2
x
3
2
cos 2 )
x
sin 2
x
3 cos 2
x
2sin(2
x
由 2
k
),
3
2
2
x
3
2
k
得
,
2
k
x
k
5 ,
12
k
z
.
( )g x
的单调递增区间是
k
12
,
k
,
k
z
.
12
5
12
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期
T
2(
5
11
)
12
12
从
,
而求得
2
T
.再利用特殊点在图像上求出 , A ，从而求出 f（x）的解析式；第二问运用第
2
一问结论和三角恒等变换及
y A
19.（本小题满分 12 分）
sin(
)
x
的单调性求得.
如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
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