2005 年新疆高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至
10 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷
注意事项:
1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么
球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
4 R
S
2
如果事件 A、B 相互独立,那么
其中 R 表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k
球的体积公式
4 R
V
3
3
次的概率
)(
kP
n
k
PC
k
n
1(
P
)
kn
其中 R 表示球的半径
一、选择题:
Y
1.函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是
(
)
A.
4
B.
2
C.π
D.2π
2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点。那么,正方体的
过 P、Q、R 的截面图形是
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
3.函数
3
y
2
x
(1
x
)0
的反函数是
A.
y
(
x
3
()1
x
)1
B.
y
(
x
3
()1
x
)1
C.
y
(
x
3
()1
x
)0
D.
y
(
x
3
()1
x
)0
(
)
(
)
4.已知函数
y
tan
(
在x
)
2
2
,
内是减函数,则
(
)
5.设 a、b、c、d∈R,若
为实数,则
B.-1≤<0
a
c
B.bc-ad≠0
bi
di
C.≥1
D.≤-1
(
)
C.bc-ad=0
D.bc+ad=0
A.0<≤1
A.bc+ad≠0
6.已知双曲线
2
x
6
2
y
3
1
的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x轴,则 F1 到直线 F2M
的距离为
A.
63
5
B.
65
6
C.
6
5
D.
5
6
(
)
7.锐角三角形的内角 A、B 满足 tanA-
1
A2sin
=tanB,则有
(
)
A.sin2A-cosB=0
C.sin2A-sinB=0
B.sin2A+cosB=0
D.sin2A+sinB=0
8.已知点 A( 3 ,1),B(0,0)C( 3 ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,
那么有
BC
A.2
其中,CE
等于
(
)
B.
1
2
C.-3
D.-
1
3
9.已知集合 M={x|x2-3x-28≤0}, N={x|x2-x-6>0},则 M∩N 为
(
)
A.{x|-4≤x<-2 或 3
3}
D.{x|x<-2 或 x≥3}
10.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 v相同,
且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的
坐标为
(
)
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
11.如果 a1, a2, …,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则
(
)
A.a1a8>a4a5
B.a1a8a4+a5
D.a1a8=a4a5
12.将半径都为 1 的 4 个铅球完全装人形状为正四面体的容品里,这个正四面体的高最小值
为
(
)
B.
2
62
3
C.
4
62
3
34
D.
62
3
A.
62
3
3
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3.本卷共 10 小题,共 90 分。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.
Y
13.圆心为(1,2)且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为
.
14.设为第四象限的角,若
3sin
sin
则
,
13
5
tan
2
=
.
15.在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共
有
个.
16.下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其
中,真命题的编号是
(写出所有真命题的编号).
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
设函数
)(
xf
2
|
x
|1
|1
x
|
,
求使
)(
xf
22
x
的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)
已知 }{ na 是各项均为正数的等差数列, 1
lg a 、 2
lg a 、 4
lg a 成等差数列.又
b
n
,1
a
n
2
n
,3,2,1
.
(Ⅰ)证明 }{ nb 为等比数列;
(Ⅱ)如果无穷等比数列 }{ nb 各项的和
1S
3
,求数列 }{ na 的首项 a1 和公差 d.
(注:无穷数列各项的和即当
n
时数列前 n 项和的极限)
19.(本小题满分 12 分)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛
采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为
本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.(精确到 0.0001)
20.(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、
PB 的中点.
(Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAB;
(Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小.
21.(本小题满分 14 分)
P、Q、M、N 四点都在椭圆
2
x
2
y
2
1
上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知
PF
与
FQ
,
共线
MF
且线与
FN
,
PF
MF
.0
求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.
22.(本小题满分 12 分)
已知
a
函数
,0
)(
xf
2
(
x
xeax
)2
.
(Ⅰ)当 x为何值时,f (x)取得最小值?证明你的结论;
(Ⅱ)设 )(xf 在[-1,1]上是单调函数,求 a的取值范围.
参考答案
1-6: CDBBCC
7-12: ACACBC
13.
(
x
1)
2
(
y
2
2)
4
;
14.
.
3
4
15. 192; 16. ①,④
17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法,考查分析问题的能力和计算能力,
满分 12 分
解:由于 2x
y 是增函数, ( ) 2 2
f x
等价于
|
x
1|
|
x
1|
3
2
①
(1) 当 1x 时,|
x
1|
|
x
1| 2
,①式恒成立。
(2) 当 1
时,|
1x
x
1|
|
x
1| 2
,①式化为
x
2
x ,即
3
2
3
4
x
1
(3) 当
x 时,|
1
x
1|
|
x
1|
,①式无解
2
综上 x 的取值范围是
3 ,
4
18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分 12 分。
(Ⅰ)证明: 1
lg a 、 2
lg a 、 4
lg a 成等差数列,
2lg
a
2
lg
a
1
lg
a
4
,即 2
a
2
a a
1 4
又设等差数列 na 的公差为 d ,则
(
a
1
2
d
)
(
a a
1
1
3 )
d
,即 2
d
a d
1
d
0,
d
a
1
0
,
a
n
2
a
1
n
(2
1)
d
n
2
d
,
b
n
1
a
2
n
1 1
n
2
d
这时 nb 是首项 1
b
,公比为
1
2
d
1
2
的等比数列。
(Ⅱ)解:如果无穷等比数列 nb 的公比 1q ,则当 n 时其前 n 项和的极限不存在。
因而
d
a
1
,这时公比
0
q , 1
b
1
2
,这样 nb 的前 n 项和
1
2
d
S
n
n
) ]
.
1
2
d
1
[1 (
2
11
2
则
S
lim
n
S
n
lim
n
1
2
d
1
[1 (
2
11
2
n
) ]
1
d
.
d
3.
由
S 得公差 3
a
d ,首项 1
1
3
19.本小题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的
能力。满分 12 分
解:单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6,乙队胜甲队的概率为 1-0.6=0.4
比赛 3 局结束有两种情况:甲队胜 3 局或乙队胜 3 局,因而 P(=3)= 3
0.6
3
0.4
0.28
比赛 4 局结束有两种情况:前 3 局中甲队胜 2 局,第 4 局甲队胜;或前 3 局中乙队胜 2 局,
第 4 局乙队胜。因而
P(=4)= 2
3 0.6
C
2
0.4 0.6
+ 2
3 0.4
C
2
0.6 0.4 0.3744
比赛 5 局结束有两种情况:前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局,第 5 局甲胜或乙胜。因而
P(=5)= 2
4 0.6
C
2
2
0.4
所以的概率分布为
+ 2
0.6
4 0.4
C
2
2
0.6
0.4 0.3456
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3456
的期望 E =3×P(=3)+4×P(=4)+5×P(=5)=4.0656
20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想
象能力。满分 12 分。
证明:(Ⅰ)证明:连结 EP, PD
底面 ABCD,DE 在平面 ABCD 内, PD DE
。
又 CE=ED,PD=AD=BC,
Rt BCE Rt PDE
,
PE BE
.
F 为 PB 中点,∴
EF
.
PB
由三垂线定理得 PA AB
,∴在 Rt PAB
中,PF=AF。
又 PE=BE=EA,
Rt EFP Rt EFA EF
,
.
FA
PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线,∴EF 平面 PAB。
(Ⅱ)解:不妨设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2 ,
PA= 2 ,AC= 3
∴ PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2,F 为其斜边中点,BF=1,且 AF PB。
PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直,∴PB 平面 AEF。
连结 BE 交 AC 于 G,作 GH∥BP 交 EF 于 H,则 GH 平面 AEF, GAH 为 AC 与平面 AEF 所成
的角。
由 EGC∽ BGA 可知 EG=
1
2
GB EG
,
1
3
EB AG
,
2
3
AC
2 3
3
,
1
3
BF
,
1
3
由 ECH∽ EBF 可知
GH
∴
sin
GAH
GH
AG
3
6
.
∴ AC 与平面 AEF 所成的角为
arcsin
3
6
.
21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质,两条直线垂直的条件,两点间的距离,不等
式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。
解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ MN,直线
PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为
k 。
又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 方程为
y
kx
1
,
将此式代入椭圆方程得
(2
k
2
2
)
x
2
kx
1 0
设 P、Q 两点的坐标分别为
则
,x y 、
1
1
,x y ,
2
2
x
1
k
2
2
2
k
2
k
2
,
x
2
k
2
2
2
k
2
k
2
从而
|
PQ
2
|
(
x
1
x
2
2
)
(
y
1
y
2
2
)
8(1
(2
2 2
)
k
2 2
)
k
,
|
PQ
|
2
)
2 2(1
2
k
2
k
(1)当 0
k 时,MN 的斜率为-
1
k
,同上可推得
|
MN
|
2
) )
2 2(1 (
1
k
2 (
1
k
2
)
故四边形的面积
S
1 |
2
PQ MN
|
|
|
4(1
k
2
)(1
(2
k
2
)(2
1
2
k
1
2
k
)
)
4(2
k
2
5 2
k
2
)
1
2
k
2
2
k
1
2
k
S
)
4(2
5 2
u
u
2(1
1
5 2
u
)
,
2
2,
S
,且 S 是以u 为自变量的增函数,
16
9
令
u
2
k
,得
因为
2
k
u
1
2
k
u
k 时,
1
当
所以
16
9
S
2.
(2)当 0
k 时,MN 为椭圆长轴,|
MN
| 2 2,|
PQ
|
,
2
S
1 |
2
PQ MN
|
|
| 2
综合(1),(2)知,四边形 PMQN 面积的最大值为 2,最小值为
16 .
9
22.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
满分 12 分。
解:(I)对函数 ( )
f x 求导数,得
( )
f x
2
(
x
2 )
ax e
x
(2
x
2 )
a e
x
2
[
x
2(1
)
a x
2 ]
a e
x
.
已知 0a ,函数
)(
xf
(
x
2
xeax
)2
.
(Ⅰ)当 x 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(Ⅱ)设 f(x)在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.
令
f
x
)(
0
,得 2[
x
2(1
)
a x
2 ]
a e
x
,从而 2 2(1
0
x
)
a x
2
a
,
0
解得
x
1
1
a
1
2
,
a
x
2
1
a
1
2
a
x
,其中 1
x
2
当 x 变化时,
f
(
x
),
)(
xf
的变化情况如下表:
x
1, x
f
)(x
+
)(xf
1x
0
(
,
x x
1
2
)
-
2x
0
2,x
+
极大值
极小值
当 )(xf 在
x
x 处取到极大值,在
1
x
x 处取到极小值。
2
当 0
a 时, 1
x , 2
x , )(xf 在 1
1
0
(
x x 上为减函数,在
,
)
2
2,x 上为增函数,
而当 0
x 时, ( )
f x
(
x x
2 )
a e
x
;当 0
x 时, ( ) 0.
f x
0
所以当
x
1
a
1
2
时, )(xf 取得最小值。
a
(II)当 0
a 时, )(xf 在[ 1,1] 上为单调函数的充要条件是 2 1
x ,
即
a
1
1
a
2
,解得
1
a 。
3
4
综上, )(xf 在[ 1,1] 上为单调函数的充要条件
a 。
3
4
即 a 的取值范围是
3 ,
4
。