http://www.paper.edu.cn 齿轮减速器可靠性优化的 MATLAB 实现 黄滢1 ，于文华2 （北京林业大学工学院，北京 100083） E-mail:huangying0436@163.com 摘要: 以斜齿圆柱齿轮的体积为优化的目标函数，建立了单级齿轮减速器的可靠性优 化设计数学模型，并结合实例介绍了 MATLAB 优化工具箱（Optimization Toolbox）在优 化计算中的应用。利用 MATLAB 优化工具箱来求解优化问题，程序简单，算法可靠，大大 提高了设计效率。 关键词 优化设计；可靠性；MATLAB 优化工具箱；齿轮减速器 中图分类号：TH122 文献标识码：Ａ 1 引言 优化理论是一门实践性很强的学科，它在现代机械设计中占有非常重要的地位。本文 试图以可靠性优化理论为基础，利用 MATLAB 优化工具箱来实现对齿轮减速器有关参数的 优化。实例证明 MATLAB 不仅功能强大，而且方便实用、简单易学，是适合于工程技术人 员研究和开发的基本工具和首选平台。 2 单级斜齿圆柱齿轮减速器可靠性优化设计 2.1 可靠性优化设计基本理论与一般方法 可靠性是指产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。优化设计是指某项 设计在确定方案后寻求具有最佳性能（或品质）的一组结构参数，又称为参数优化设计[4]。 在现代设计方法中将优化技术与可靠性理论相结合,便形成了可靠性优化设计法。通常在 进行可靠性优化设计时应首先确定设计变量，并建立优化目标及对应的各个设计变量的约 束条件。考虑可靠性的要求，将可靠度作为追求的目标，使它作为设计的变量并建立相应 的数学模型，然后给出合适的算法和程序，编制相应代码。 2.2 单级斜齿圆柱齿轮减速器可靠性优化设计 2.2.1 数学模型的建立 2.2.1.1 设计变量与目标函数 对于圆柱齿轮传动，一般以体积最小或重量最轻为优化目标建立目标函数。本文以齿 轮减速器中心距为最小（体积最小）进行优化。单级斜齿圆柱齿轮减速器的中心距a 是法 向模数mn、小齿轮齿数z和螺旋角β的函数，故可取法向模数mn、小齿轮数z和螺旋角β作 为设计变量，即 X = [ m z , 1 n , ] T β = [ 于是，目标函数就可以写成： x x x , 1 3 , 2 ] T （2-1） ( ) f x = x x 1 2 x 2cos 3 (1 i+ ) （2-2） 2.2.1.2 约束条件 (1) 模数约束 对于动力传动，要求 nm m≥ 2 m ，即约束函数 g x ( ) 1 x= 1 − ≥ 2 0 ； (2) 小齿轮齿数约束 z 1min ≥ 17 ，即 g x ( ) 2 x= 2 − 17 0 ≥ ； 

(3) 接触疲劳强度的可靠度约束 R H R≥ H [ ] ，亦即 ( ) g x 3 = [ R H ] − R H ≤ ； 0 http://www.paper.edu.cn (4) 弯曲疲劳强度的可靠度约束 R F R≥ [ ]F ，亦即 ( ) g x 4 = [ R F ] − R F ≤ 。 0 下面通过具体的设计实例来说明如何建立可靠性优化设计的数学模型。 2.2.2 算例 试设计一单级斜齿圆柱齿轮减速器，要求传递功率P=11kw，输入轴转速n1=1200r/min， 传动比i=5，载荷平稳，三班制工作，使用寿命 3 年。已知大、小齿轮材料均为 20CrMnTi， 接触疲劳极限σHlim=1500Mpa，弯曲疲劳极限σFlim=420Mpa。并要求可靠度R=0.99。 过程如下： (1) 首先引入可靠度系数 、 （详细推导过程及各参数意义参见文献[5] ）： RHu RFu u RH = u RF = H lim / lim + ( ) ln σ σ H C C 2 2 ′ σ σ H H ( ) ln σ σ F C C 2 2 ′ σ σ F F / lim + lim F = = 1 0.1298 ⎡ ⎢ ⎣ 4.796 0.5ln − + ϕ d cos m z 3 3 n 1 4 β ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ ； （2-3） 1 0.2307 ⎡ ⎢ ⎣ 6.498 ln − + ϕ d cos m z 3 3 n 1 2 β ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ （2-4） 由应力-强度的统计理论可知可靠度系数与可靠度 R 之间存在一一对应的关系，从而 对可靠度的优化即可转化为对可靠度系数进行优化。 (2) 结合以上分析得到如下设计模型： 目标函数： ( ) f x = x x 1 2 x 2cos 4 (1 i+ ) （2-5） 设计变量： X = [ m z , 1 n , ] T ϕ β , d = [ x x x x , 1 4 , , 2 3 ] T ，式中ϕ 为齿宽系数。 d 边界条件：取 2 x≤ 1 ≤ 20 ；17 ≤ x ≤ ； 2 50 0.6 x≤ 3 ≤ ； 1.2 6 x≤ 4 ≤ 20 约束条件： u RH = 2.236 − 1 0.1298 ⎡ ⎢ ⎣ 4.796 0.5 ln − + × ⎛ ⎜ ⎝ x x x 3 3 2 3 1 x cos 4 4 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ = 2.236 − 1 0.1298 ⎡ ⎣ 4.796 0.5 3ln − + ( x 1 + 3ln x 2 + ln x 3 − 4ln cos x 4 ) ⎤ ⎦ ≤ 0 u RF = 2.236 − 1 0.2307 1 6.498 ln − + ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ ⎜ ⎝ x x x 3 3 2 3 1 x cos 2 4 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎦ − 6.498 ⎡ ⎣ + ( 3ln x 1 + 3ln x 2 + ln x 3 − 2ln cos x 4 ) ⎤ ⎦ ≤ 0 = 2.236 − 0.2307 综上所述可知，这是 4 个变量，10 个约束的优化问题。解决此种问题的工程方法很多， 一般情况下是要编写相应的算法和程序。但常见的编程语言在代码生成方面需要很长时 间，效率较低。而基于 MATLAB 优化设计工具箱解决此类问题则显得尤为便捷。因而本文 尝试通过 MATLAB 优化工具箱来求解。 3 MATLAB 优化工具箱及求解过程 2 

http://www.paper.edu.cn MATLAB 是由 Math Works 公司于 1987 年推出的一套科学计算软件，分为总包和若 干个工具箱。该软件用户界面方便、友好，且具有强大的扩展能力。目前 MATLAB 的最 新版本是 7.0，其优化工具箱（Optimization Toolbox）中含有一系列的优化算法函数，可以 方便有效地解决诸多工程实际问题。 下面利用 MATLAB 优化工具箱对以上实例中的数学模型进行优化求解。 3.1 首先对变量做如下变换： 2 y 1 y y 3 y 4 = = = = x ln 1 x ln 2 x ln 3 ln cos x 4 相应地有： min ( f y ) = e y 1 + y 2 0.693 y≤ 1 ≤ ； 3 2.833 y≤ 2 ≤ 4 i 1 + e y 2 3.912 （3-1） − ； 0.51 ≤ y 3 ≤ 0.18 0.062 − ； ≤ y 4 ≤ − 0.00549 RHu = [ 5.2779 0.5 3 − y 1 + 3 y 2 − 4 y 3 + y ≤ ； （3-2） 0 ] 4 RHu = 7.0346 − [ 3 y 1 + 2 y 2 − 2 y 3 3.2 编写 MATLAB 程序： + y ≤ （3-3） 0 ] 4 本例是单目标约束优化问题，可选用 MATLAB 优化工具箱中用于求解约束优化问题 的 fmincon 函数。以下是具体求解的 MATLAB 代码。 %首先编写目标函数的﹒m 文件： function f=myfun(y); f=exp(y(1)+y(2))*3*exp(-y(4)); %调用函数 fmincon： >> y0=[1.79,2.99,-0.22,-0.0622]; %起始点 >> A=[-1.5,-1.5,2,-0.5;-3.0,-2,2,-1]; >> b=[-5.2779;-7.0346]; >> lb=[0.693,2.833,-0.51,-0.0622]; >> ub=[3.0,3.912,0.18,-0.00549]; >>[y,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,y0,A,b,[],[],lb,ub) 有关fmincon函数及各参数的意义参见文献[1]。 结果输出： y = 0.6930 2.8330 -0.2200 -0.0055 fval = 102.5246 从而 nm x= 1 1.9997 = ； z 1 x= 2 16.9964 = ； xϕ = 3 d = 0.8025 ； xβ= 4 = 6.0037 圆整后得到 nm = 2 ； z = 1 17 ； dϕ = ； 0.8 6β= 即为所求。 4 结束语 3 

http://www.paper.edu.cn 本文建立了单级齿轮减速器的可靠性优化数学模型，给出了MATLAB计算程序及其结果。 用MATLAB优化工具箱来求解, 设计人员可以集中精力解决数学模型问题，而不用费时费力地 去寻找或编制优化程序。它无疑将成为机械优化设计领域中的重要工具。 参考文献 [1] 飞思科技产品研发中心编著．MATLAB6.5辅助优化计算与设计[M]．北京：电子工业出版社。2003. [2] 苏金明，王永利．MATLAB7.0实用指南[M].北京：电子工业出版社。2004. [3] 王沫然．MATLAB与科学计算（第二版）[M]．北京：电子工业出版社。2004. [4] 蔡学熙主编．现代机械设计方法实用手册[M]．北京：化学工业出版社。2004. [5] 陈满意，陈定方．基于MATLAB的齿轮减速器的可靠性优化设计[J]．机械传动，2002,26(3):34～36. [6] 金祥曙．基于MATLAB的齿轮传动优化设计[J]．机械，2004,31(4):27～29. To realize reliability optimization of gear reducer by MATLAB Huang Ying Yu Wen-hua (BEIJING Forestry University of Technology BEIJING 100083 ) Abstract This paper take the volume of the cylinder wheel gear as the goal function optimized, built up the mathematical model of reliability optimization design of one-stage gear reducer,and combined the examples to introduce the MATLAB optimization toolbox at the application in the optimized calculation.Utilizing the MATLAB optimization toolbox to resolve the optimized problems,which can make the procedure simple,make the algorithm reliable,and improve the design efficiency greatly. Keywords:optimization design; reliability; optimization toolbox of MATLAB; gear reducer 作者简介：黄滢，1974 年出生，女，汉族，黑龙江省佳木斯人，北京林业大学在读硕士研 究生，主要从事现代设计理论与方法方面的研究，联系地址：北京市海淀区清 华东路 35 号，北京林业大学 743 信箱，邮编：100083，电话：010-62391595， 手机：13641310436，邮箱：huangying0436@163.com 4