现代控制理论张嗣灜版习题答案.doc-资料库

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前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。书中第 5、6、8 章习题由高立群教授组织编选和解答；第 4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第 1、2 章由郑艳副教授组织编选和解答。由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。编者 2005 年 5 月第 2 章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.1 有电路如图 P2.1 所示，设输入为 1u ，输出为 2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。图 P2.1 解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设 1C 两端电压为 1cu ， 2C 两端的电压为 2cu ，则 u 1 c  C 2 C 1 du 1 c dt 2 du c dt u 1 c R 1  R 2  u c 2  u 1  C 2 2 du c dt (1) (2) x 选择状态变量为 1 u ， 2 x 1c u ，由式(1)和(2)得： 2c

du 1 c dt   R R C u  1 2 R R C 1 2 1 1  1 c 1 R C 2 1 u c 2  1 R C 2 1 u 1 du c dt 2   1 R C 2 2 u 1 c  1 R C 2 2 u c 2  1 R C 2 2 u 1 状态空间表达式为： x  1   x  2   y  u 2          2 R R C  1 1 2 R R C 1 1 1 R C 2 u  1 x 1 x 1   2 x 1  1 R C 2 1 x 2  1 R C 2 1 u 1 1 R C 2 2 x 2  1 R C 2 2 u 1 即:    x  1 x  2           R R C  1 1 2 R R C 1 1 2 1 R C 2 2  1 R C 2 1 1 R C 2  2          x 1 x 2           1 R C 2 1 1 R C 2 2       u 1 y    1 0     x 1 x 2     u 1 2.2 建立图 P22 所示系统的状态空间表达式。图 P2.2 解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 ( ) t 为输入 f 量，即u f ， 1M ， 2M 的位移量 1y ， 2y 为输出量， dy 2 dt 2y ， 3x = 1dy dt x 4 ，  选择状态变量 1x  1y ， 2x = 。根据牛顿定律对 1M 有： M x  1 3   Kx B 1  1 ( d x x 1 )  2 dt

对 2M 有：经整理得：状态方程为： M x  2 4  f ( ) t  B 1 ( d x x 1 )  2 dt  B 2 dx 2 dt x  1 x  2 x  3   x 3 x 4   x  4            1 K M B 1 M 2 x 1  x 3  x 4 1  x 3 B B 1 1 M M 1 B B 2 1 M M  ( 2 ) x 4  1 M 2 u 2 输出方程为：写成矩阵形式为：    y 1  x 1 y 2  x 2       x  1 x  2 x  3 x  4        0 0 K M 1 0           0 0 0 0    y 1 y 2     1 0 0 0 0 1 0 0     1 0 B 1 M 1 B 1 M 2 x  1  x   2   x  3  x  4 0 1 B 1 M 1  B B 2 1 M M  2 2          )       x 1 x 2 x 3 x 4                0 0 0 1 M 2         u (        2.5 系统的结构如图 P2.5 所示。以图中所标记的 1x 、 2x 、 3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、 y 分别为系统的输入、输出， 1、 2 、 3 均为标量。图 P2.5 系统结构图解图 P2.5 给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有 ①： x  1 x 11  x 2 ②： x  2 2 x 2  x 3 ③：输出 y 为 y  x 1  ，得 du x 3   x 33  u      x  1 x  2 x  3       a 1 0 0      1 a 2 0 0 1 a 3           x 1 x 2 x 3       0     0     1   u y   1 0 0  x 1 x 2 x 3            du 2.7 试求图 2.8P 中所示的电网络中，以电感 1L 、 2L 上的支电流 1x 、 2x 作为状态变量的状态空间表达式。这里u 是恒流源的电流值，输出 y 是 3R 上的支路电压。解采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程图 P2.8 RL 电网络  x 1   x R 2 3   R x 2 2  L x  2 2 u  x 1  L x  1 1     x 1   x R 2 3   / R 1 y   x 1   x R 2 3 整理得状态空间表达式为

 R 2  R 3 L 1  L 2 R 3          x 1 x 2          R  1  L u  1 0   R R 1 3    x  1 x  2             y   R 3 R 3   L 1 R 3 L 2    x 1 x 2    2.8 已知系统的微分方程 (1)  y   y 4  y  5 y  3 u ； (2) 2  y  3  y   uu ； (3)  y  2  y  3  y  5 y  5  u  7 u 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解选择状态变量 y x ， 1 y x 2 ， y x 3 ，则有：状态空间表达式为： x  1 x  2 x  3 y        x  2 x  3 5   x  1 x 1  4 x 2  x 3  3 u x 1 x 2 x 3       0     0     3   u      x  1 x  2 x  3       0 0 5       y   1 0 0 1 0 4  x  1  x  2  x  3  0     1     1         (2) 解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得： 2 3 s Y s ( ) 3  ( ) sY s  ( ) Y s ( ) U s  2 3 s s   1 3 s 2  2 s 2 ( ) s U s U s 1 2 3 s ( )  1 2 s   3 2 由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为      x  1 x  2 x  3              0 0 0        0 1 0 1 0 3 2       x 1 x 2 x 3       0     0     1   u

y     1 2 10 2         x 1 x 2 x 3      (3) 解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得： 3 s Y s ( ) 2  2 s Y s ( ) 3  sY s ( ) 5 ( ) 5 Y s   3 s U s ( ) 7 ( ) U s  ( ) Y s ( ) U s  3 2 5 2 s s   7 3 s  5 3 s  在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下处理 3 2 3 s   5    5 2 s s 7 3 s 5   ( ) Y s ( ) U s 2 10 s   2 3 2 s s  再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为 0     0     1   0 0 5  1 0 3  0 1 2            x  1 x  2 x  3 x 1 x 2 x 3                       u 18 15 s  3 5 s   y   1 0 0  x 1 x 2 x 3            5 u 2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。 (1) ( ) g s  3 s 6 s 1   2 11 s s   6 3 s  (2) ( ) g s  s  2  2 s 2 s 2  3  3 s  1 3 s (1) 解首先将传函(1)化为严格真有理式即： ( ) g s  ( ) Y s ( ) U s 1   6  3  2 s 6 s  2 10 5 s  11 s   s 6 1    ( ) g s 令  ( ) g s   ( ) Y s  ( ) U s ，则有 ( ) Y s U s   ( )  6 s  1 6 s  1  3  2   5 s  2 6 s  ，  3 10 s  1 11 s  1 11 s  1 即：  ( ) ( ) E s U s  1 6  s  ，  2  3  6 s

 ( ) ( ) 6 E s U s    1 6 ( )  s E s Y s    s E s ( ) 10 ( ) 11  2  s E s ( ) 6 ( )   s E s s E s  3 ( ) ( ) 5  s E s   1 2 3 由上式可得状态变量图如下：由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式      x  1 x  2 x  3       0 0 6       1 0 11  0 1 6            x 1 x 2 x 3       0     0     1   u  = -6 -11 -6  y x 1 x 2 x 3            u    3 s  3  ， ( ) ( )   s 1 s 1 2  3 s  2  s  ( ) E s U s ( ) Y s U s 2 2 s 1 3  1 1 2 3 s s    1 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2   s E s E s U s s E s    3 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2    s E s s E s s E s Y s     s 2 ，   1  2  3 3 ( )  s E s (2) 解由已知得：令：得：状态变量图如下：状态表达式如下：

     x  1 x  2 x  3       0 0 1       1 0 3  0 1 2            x 1 x 2 x 3       0     0     1   u y    3 2 1 x 1 x 2 x 3           2.13 列写图 P2.10 所示系统的状态空间表达式。解设则由系统方框图 2.10 P 可得图 P2.10 ( ) x s 1  ( ) y s 1 ( ) x s 2  ( ) y s 2 ( ) x s 1   ( ) u s 1  ( ) x s 2 ( ) x s 2   ( ) u s 2  ( ) x s 1   c s a  d s b  (7) (8) (9) (10) 对式 7   10  进行拉氏反变换得 ( ) x t  1 ( ) x t  2 ( ) y t 1 ( ) y t 2 则系统状态空间表达式为   1       ( ) ax t ( ) dx t 1 ( ) x t 1 ( ) x t 2 2 ( ) cx t ( ) bx t 2   1 ( ) cu t ( ) du t 2 c    b   x   1   x   2 2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。 a    d   1 0   0 1  x  1 x  2 y 1 y             2       c 0    0 d    u 1 u 2       x  1  x  2   

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