非线性系统的描述函数法.doc-资料库

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第七章描述函数法 ----------------------------------- - 2 - 7.1 描述函数法原理 -------------------------------- - 2 - 7.1.1. 线性系统的方块图表示 ------------------- - 2 - 7.1.2. 非线性函数的等效线性化 ----------------- - 2 - 7.2 系统方块图的变换与简化 ----------------------- - 4 - 7.2.1 方块串联 -------------------------------- - 5 - 7.2.2 方块并联 -------------------------------- - 5 - 7.4 描述函数的实验确定 --------------------------- - 8 - 7.5 确定非线性系统周期解的图解法 --------------- - 10 - 7.5.1 自治系统 ------------------------------- - 10 - 7.5.2 非自治系统 ----------------------------- - 11 - 7.6 双输入描述函数 ----------------------------- - 12 - 7.6.1 频率不相关的双信号 --------------------- - 13 - 7.6.2 频率相关的双信号 ----------------------- - 14 - 7.7 增量描述函数 ------------------------------- - 14 - - 1 -

第七章描述函数法姓名：刘明涛学院：电子与信息工程学院 7.1 描述函数法原理 7.1.1. 线性系统的方块图表示在进行系统分析时，常常把工程问题变成数学问题。例如，用高阶微分方程或状态方程来描述系统，然后利用微分方程的数学理论或数值得到问题的解答。但是，要从数学方程极其计算结果中直观地看出各单元的作用极其在系统响应中的相互联系是相当困难的。这一缺点，在系统设计中尤为突出。另一方面，当系统想当复杂时，微分方程的建立和分析都不是容易的事情。相对而言,系统的方块图表示法在一定程度上减少了这些困难。这种方法，用一些方块表示系统的组成。一个方块可以表示有若干个原件组成的局部电路，而其数学运算作用可以只用一个专递函数来描述。对于许多方块组成的复杂系统，可以利用一套变换规则将他们合并，或通过运算处理化为一个简单的等效方块。这是线性系统理论中的一种有效方法，称为传递函数。这种方法可以推广到非线性系统。 7.1.2. 非线性函数的等效线性化许多非线性系统，都可以简化为一个单环反馈系统，见图 7-1.G(s) 为线性滤波器，N(A)表示一个非线性环节。 - 2 -

图 7-1 假定非线性环节的输入信号为正弦波 xi  A cos Awt  cos 输出信号则是周期函数，可展开成傅氏级数 x 0  A 0   n 1  ( a n cos n   b n sin ) n  式中 a n  b n  2  2  0 1   1   0 )( tx 0 cos dn  tx 0 sin)( dn  (7-1) (7-2) (7-3) 假定非线性特性是对称的，则 A0=0。有嘉定先行部分具有良好的低通滤波特性，则高次谐波的影响很小，可以忽略不计。在此情况下，式（7-2）变为  x 0 a 1   cos sin b 1 式中幅度 n 是 a1 和 b1 函数，即 a  1 n , ( ban   1 1 ) cos   jb 1 仿照线性环节传递函数的定义，可得  AN   x 0 x i a 1  jb 1  A (7-4) (7-5) (7-6) 式中 N(A)是非线性环节的传递函数，称为描述函数。式（7-6）可写 - 3 -

成 x 0   ixAN (7-7) 这意味着，在上述假定下，非线性环节的输入是正弦波，输出也是正弦波，N(A)相应于线性传递函数。式（7-7）与先行环节的描述方程在形式上是相同的。一般把图 7-1 称为等效线性化系统，而把包含 N(A)的系统方程称为等效线性化方程。从等效线性化的观点来看，非线性系统的分析方法与线性系统的分析方法没有多大差别，只要把非线性环节的描述函数表示为振幅 A 的函数就可以了。不过要注意，N(A)的振幅的函数，等效线性化方程在本质上仍然是非线性的。 7.2 系统方块图的变换与简化一个线性系统，可以用方块图表示。其中每一个单元均可用一个传递函数 W(s)来描述，其定义是 )( sW  )( sx 0 )( sx i (7-8) 式中，xi 和 x0 分别为该单元的输入和输出的拉氏变换的象函数。非线性环节的描述函数可以看成一种特殊的传递函数，因而非线性系统也可以用方块图来表示。对若干个单元组成的方块图进行变换，可以得到一个简化的等效方块。这样的方法，使系统传递函数的计算变得比较容易，特别适用于复杂系统的分析和设计。下面介绍方块图的基本变换规则。 - 4 -

7.2.1 方块串联若干个环节按顺序连接(没有反馈)，属于方块串联，见图 7-2。对于两个方块组成的系统，总传递函数为 (7-9) (7-10) (7-11) (7-12)   sW  )( sx 0 )( sx i  )( sx 0 )( sx 1 )( sx 1 )( sx i  )( sWsW )( 1 2 若系统由 n 个环节串联而成，则是 )( sW n  1 i )( sW 1 式中，Wi(s)为第 i 个环节的传递函数。 7.2.2 方块并联图 7-3 表示两个环节并联，其中 )( sW 1  )( sx 1 )( sx i , )( sxW 2 )( sx i  2 因为 x 0  )( sx 1  )( sx 2 图 7-2 图 7-3 总的传递函数为 - 5 -

)( sW  )( sx 0 )( sx i  )( )( sx sx  2 1 )( sx i  )( sWsW )(  2 1 (7-13) 若把可能有的减号移到缓解传递函数中去，则并联出一律为相加。N 个环节并联后的总传递函数为 )( sW  1. 部分反馈联结 n i )( sW i 1  (7-14) 图 7-4 为反馈连接，正、负号分别表示正、负反馈。图中 )( sW 1  )( sx 0 )( sx 1 , )( sW 2  )( sx 2 )( sx 0 由于 )( sx 1  )( sx i  )( sx 2 总的传递函数为作进一步变换 )( sW  )( sx 0 )( sx i  )( sx 0 )( )( sx sx  2 1 )( sW  )( sx 0 )( sx 1 )( sx 1  2 )( sx 1  )( sW 1 x x 1  0 2 x x 1 0 所以 )( sW  )( sW 1 )( 1 1 )( sWsW  2 (7-15) (7-16) (7-17) (7-18) (7-19) - 6 -

图 7-4 若在图 7-4 中 A 点处断开，则从 x1(s)到 x2(s)的传递函数 W0(s)称为开环传递函数，即 )( sWsWsW )( )(  0 1 2 (7-20) 相对而言，式(7-19)表示的 W2(s)称为闭环传递函数。 2. 全负反馈联结若系统的输出全部负反馈到输入端，则称为全反馈，见图 7-5。利用图 7-4，并设其中 )( sWsW  )( 0 1 ， 1)(2 sW (7-21) 将上式带入式(7-19)的 )( sW  )( sx 0 )( sx i  )( sW 0 )( sW  0 1 (7-22) 图 7-5 - 7 -

3. 非线性反馈连接图 7-6 是一个非线性系统，N(A)为非线性环节的描述函数，G(s) 为线性部分的传递函数。图 7-6 利用式（7-9），可将图 7-6 简化成图 7-5。利用式(7-22)可得到闭环传递函数 )( sW  )( sx 0 )( sx i  )( sW 0 )( sW  0 1  1 ( )( sGAN )( SGAN  ) ) ( （7-23） 7.3 典型非线性的描述函数简单非线性的描述函数，是输入振幅的函数，其表达式可以通过傅氏分析得到。对于复杂的非线性特性，可能得不到简单的描述函数表达式，此时可以用曲线族来表示。 7.4 描述函数的实验确定上一节已经说明，描述函数可以通过一定的积分运算来确定。但是，当非线性特性比较复杂时，积分运算想当繁琐，甚至可能遇到困 - 8 -

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